小學奧數(shù)之方陣問題—例題習題及含答案

1、方陣問題知識導航學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：一、實心方陣1方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）=每邊數(shù)×每邊數(shù)2方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）13方陣外一層每邊人數(shù)比內(nèi)一層每邊人數(shù)多24去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×215、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1）×4二、空心方陣1、外邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)2、總數(shù)=最外層人數(shù)2 - 最內(nèi)層人數(shù)2 =（最外層每邊數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)&#

2、215;4 =（最外層數(shù)+最內(nèi)層數(shù)）×層數(shù)÷23、 內(nèi)層數(shù)=外層數(shù)-84、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1）×45、實心方陣的總?cè)藬?shù)是一個完全平方數(shù)，空心方陣的總?cè)藬?shù)是4的倍數(shù)。例1 四年級同學參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣。排列這個方陣共需要多少名同學？解題分析 這是一道實心方陣問題，求這個方陣里有多少名同學，就是求實心方陣中布點的總數(shù)。排列成每行8人點，共8行，就是有8個8點。求方陣里有多少名同學，就是求8個8人是多少人？ 解：8×8=64（人） 答：排列這個方陣，共需要64名同學。例2 有一堆棋子，剛好可以排成每邊6只的正方形。問棋子的總數(shù)是多少

3、？最外層有多少只棋子？解題分析 依題意可以知道：每邊6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的實心方陣。根據(jù)方陣問題應用題的解題規(guī)律，求實心方陣總數(shù)的數(shù)量關系，總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)推薦精選×每邊人數(shù)，從而可以求出棋子的總數(shù)是多少只。而最外層棋子數(shù)則等于每邊棋子數(shù)減去1乘以行數(shù)4，即（6-1）×4只。解：（1）棋子的總數(shù)是多少？6×6=36（只）（2）最外層有多少只棋子？（6-1）×4=20（只） 答：棋子的總數(shù)是36只，最外層有20只棋子。例3.三年級一班參加運動會入場式,排成一個方陣,最外層一周的人數(shù)為20人,問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個方陣

4、共有多少人?分析:根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關系可知:每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1,可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù),那么這個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解:(1)方陣最外層每邊的人數(shù):20÷4+1=5+1=6(人)(2)整個方陣共有學生人數(shù):6×6=36(人)答:方陣最外層每邊的人數(shù)是6人,這個方陣共有36人。例4:學校學生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學生多少人?解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最

5、外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）整個方陣共有學生人數(shù)：16×16=256（人）?！眷柟?】某校五年級學生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學生多少人？解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷41=16（人）整個方陣共有學生人數(shù)：16×16=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。【鞏固2】晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.

6、晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？解析：方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù)推薦精選.知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解法1：最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1）×4=52（個）第二層棋子個數(shù)：（14-2-1）×4=44（個）第三層棋子個數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個）.擺這個方陣共用棋子：52+4436132（個）解法2：還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進行計算。（14-3）×3×4=132（個）答：擺這個方陣共需1

7、32個圍棋子?！眷柟?】一個正方形的隊列橫豎各減少一排共27人，求這個正方形隊列原來有多少人？解析：依據(jù)：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21可知每邊的人數(shù)是：（人）原人數(shù)是：（人）【鞏固4】小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？解析：這要用到方陣的公式逆運算，100必然是一個數(shù)的平方數(shù)因為（人），并且是實心的方陣，所以最外層有10人。例5 一堆棋子排成一個實心方陣，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？還剩下多少只棋子？解題分析 排成方陣的棋子，無論排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，無論去掉哪一行和哪

8、一列，總會有一只棋子被重復去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原來方陣中2行的棋子數(shù)少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的總數(shù)，然后減去去掉的棋子數(shù)，就是剩下的棋子數(shù)。 解：（1）去掉多少只棋子？ 8×2-1=15（只）（2）還剩多少只棋子？8×8-15=49（只）答：要去掉15只棋子，還剩下49只棋子。例6 育英小學四年級的同學排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，如果橫豎各增加一排，排成一個稍大的實心方陣，則缺少26人。育英小學四年級有多少人？解題分析 排成一個實心方陣隊列，還剩下5人，說明是多出5人，如果橫豎各增加一排后，缺少26人

9、，說明橫豎各增加一排所需要的人數(shù)是5人與26人的和，那么（5+26）人相當原來方陣中兩排的人數(shù)多1人，從（5+26）人中減去角上的1人，再除以2，就可求出原來方陣中一排的人數(shù)。因此，可求出原來方陣中的人數(shù)，然后加上剩下的5人，就可求出四年級的總?cè)藬?shù)是多少人。推薦精選 解：（1）原來方陣中每排有多少人？ （5+26-1）÷2=15（人）（2）四年級共有多少人？15×15+5=230（人） 答：育英小學四年級有230人。例7：參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？解析：如下

10、圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21解 ：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、

11、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù) 人方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為（人）【鞏固】 參加軍訓的學生進行隊列表演，他們排成了一個七行七列的正方形隊列，如果去掉一行一列，請問：要去掉多少名學生？還剩下多少名學生？解析：如上圖表示的是一個4行4列的實心正方形隊列，從圖中可以看出正方形隊列的特點：（1）正方形隊列每行、每列的人數(shù)相等，因此總?cè)藬?shù)每行人數(shù)×每列人數(shù)。（2）去掉橫豎各一排時，有且只有1人是同時屬于被減去的一行和一列的，如圖中點A所示。因此去掉的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)×21，或去掉的總?cè)藬?shù)減少后每行人數(shù)×21。本題中所求，即去掉的人數(shù)7&#

12、215;2113（人）或去掉的人數(shù)（71）×2113（人）還剩的人數(shù)（71）×（71）36（人）或還剩的人數(shù)7×713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名學生，還剩下36名學生。例8 同學們排成一個三層的空心方陣。已知最內(nèi)層每邊有6人，這個方陣共有多少人？推薦精選解題分析 要求出這個方陣有多少人，就要先示出這個方陣最外層每邊多少。已知最內(nèi)層每邊有6人，又知道這個空心方陣有3層，根據(jù)方陣問題應用題特點，可以求出這個方陣最外層每邊有6+（3-1）×2人，即10人。又根據(jù)方陣問題應用題數(shù)量關系：空心陣總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)&

13、#215;4，即可求出這個方陣共有多少人。 解：6+（3-1）×2-3×3×4=84（人） 答：這個方陣共有84人。例9.明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個,明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個三層空心方陣共用了多少個棋子?分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個數(shù)就減少2個,知道最外面一層,每邊放15個,可以求出最里層每邊的個數(shù),就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個空心方陣的層數(shù),再乘以層數(shù),再乘以4,計算出這個空心方陣共用棋子多少個。解:(1)最里層一周棋子的個數(shù)是:(15-2-2-1)&

14、#215;4=40(個)(2)這個空心方陣共用的棋子數(shù)是:(15-3)×3×4=144(個)答:這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個空心方陣共用144個棋子。例10：解放軍戰(zhàn)士排成一個每邊12人的中空方陣，共四層，求總?cè)藬?shù)？解法1：這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù)，看作中實方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù)。（1）中實方陣總?cè)藬?shù)：12×12=144（人）（2）第四層每邊人數(shù)：12-2×（4-1）=6（人）（3）空心方陣人數(shù)：（6-2）×（6-2）=16（人）（4）中空方陣人數(shù)：144-16=128（人）答：總?cè)藬?shù)是128人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)&

15、#215;外邊人數(shù)-（內(nèi)邊人數(shù)-2）×（內(nèi)邊人數(shù)-2）解法2：這樣想：把中空方陣分成四個相等的長方形。（1）每個長方形的長=外邊人數(shù)-層數(shù)12-4=8（人）（2）每個長方形的寬是層數(shù)：4人（3）總?cè)藬?shù)：8×4×4=128（人）答：總?cè)藬?shù)是128人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4推薦精選【鞏固】學校開展聯(lián)歡會，要在正方形操場四周插彩旗。四個角上都插一面，每邊插7面。一共要準備多少面旗子？解析：依據(jù)求外層個數(shù)的公式：（邊數(shù)-1）×4（面） 例11：一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三

16、角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？解析：從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為：（棵）。又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花：（棵）。.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.再計算大三角形栽花棵數(shù)時已經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：（棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（棵）中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（棵）整個花壇共栽花：（棵）答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69

17、棵。例12.玲玲家的花園中,有一個如下圖那樣,由四個大小相同的小等邊三角形組成的一個大三角形花壇,玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花,已知每個小三角形每邊上種雞冠花5棵,問大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?推薦精選分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三個頂點上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個頂點上重復計算的3棵花,

18、即:9×3-3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù),加上大三角形一周種花的棵數(shù),再減去重復計算的3棵花(因為里邊小三角形的三個頂點上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是:(5×2-1)×3-3=24(棵)(2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)×3=12(棵)(3)玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲一共種雞冠花33棵。例13.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,

19、問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?分析:根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種,假設黑點表示楊樹,白點表示柳樹觀察圖(1)(2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等,即最外層楊,柳樹分別為(7-1)×4÷2=12(棵)。當柳樹種在方陣最外層的角上時,最內(nèi)層的一棵是柳樹;當楊樹種在方陣最外層的角上時,最內(nèi)層的一棵是楊樹,即在方陣中,楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。解:(1)最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為:(7-1)×4÷2=12(棵)(2)

20、當楊樹種在最外層角上時,楊樹比柳樹多1棵:楊樹:(7×7+1)÷2=25(棵)柳樹:7×7-25=24(棵)(3)當柳樹種在最外層角上時,柳樹比楊樹多1樹柳樹(7×7+1)÷2=25(棵)楊樹7×7-25=24(棵)答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹12棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹24棵,或者有楊樹24棵,柳樹25棵。例14. 小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬

21、幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少？推薦精選解一設正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據(jù)公式可得方程組：N=4x4N=3y-3N=60y-x=5，因為每枚硬幣5分，所以總價值3元。注釋 這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。解二根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能圍成正三角形硬幣的個數(shù)是3的倍數(shù)硬幣的價值可以三等分根據(jù)選項選擇C。 例15. 要在一塊邊長為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?（）解析根據(jù)公式：棵數(shù)=總長÷間隔+1。邊長為48米，每橫行相距3米，共有48÷3+1=17行；邊長為48米，

22、每橫行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可種樹苗153棵。 【鞏固】同學們做早操，排成一個正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第5個，這個方陣共有多少人？解析：如圖，實心圓表示小明的位置，可以知道，這個隊列每行都是9人。解：每行每列數(shù)：（人） 共有：（人）練 一 練1.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣如果最外層每邊有20個學生,問這個空心方陣最里邊一周有多少個學生?這個四層空心方陣共有多少個學生?2.六一兒童節(jié)前夕,在校園雕塑的周圍,用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆?3.三年級(1)班的學生參加體

23、操表演,排成隊形正好是由每7個人為一邊的6個三角形組成的一個正六邊形,求正六邊形一周共有多少名學生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?推薦精選4.現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法,種成9行9列的方陣,問這個方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵?方陣中共有松樹柏樹各多少棵?練 一 練 答 案(1)(20-2×3-1)×4=42(個)(20-40×4×4=256(個)(2)最外層每邊人數(shù)=總數(shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)204÷4÷3+3=20(盆)(3)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(

24、人)(4)最外層松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)共有松柏樹是:(9×9+1)÷2=41(棵)81-41=40(棵)答:柏樹41棵,松樹40棵,或松樹41棵,柏樹40棵。例16：小明用圍棋子擺了一個五層中空方陣，一共用了200枚棋子，請問：最外邊一層每邊有多少枚棋子？解析1：利用“相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8”的特點，可知最外層共有棋子數(shù)：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷556（個）最外層每邊的棋子數(shù)：56÷4+115（個）解析2：如練習中的圖，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子數(shù)：2

25、00÷450（個）每一部分每排的棋子數(shù)：50÷510（個）最外層每邊的棋子數(shù)：10515（個）綜合列式為：200÷4÷5515（個）答：最外邊一層每邊有15枚棋子?！眷柟獭坑涡嘘犖橹校殖瞩r花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣，最外邊一層每邊12人，請問：彩車周圍的少先隊員共有多少人？解析1：請同學們自己畫一個圖，下圖是一個三層中空方陣的示意圖，不難發(fā)現(xiàn)，有如下特點：（1）外層每邊點的個數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點的個數(shù)多2；（2）每相鄰兩層之間，點的總數(shù)相差8個。最外層隊員的總數(shù)：（人）推薦精選三層共有隊員的總數(shù)：=（人）解析2：如下圖可分成相等的

26、四部分，每一部分的人數(shù)：（123）×39×327（人）三層共有隊員數(shù)：27×4108（人）答：彩車周圍的少先隊員共有108人。這個問題還有別的解法，請同學們自己試著做一下。例17. 有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（）。A. 296人  B. 308人  C. 324人  D. 348人答案B解一最外層68人，中間一層44人，則最內(nèi)層為44×26820人（成等差數(shù)列）。因此一共有：68-20817（層），總?cè)藬?shù)為44×7308。

27、 解二中間一層共44人，總?cè)藬?shù)是44×層數(shù)，是44的倍數(shù)，結(jié)合選項直接鎖定B。例18. 有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層的人數(shù)共48人，最內(nèi)層人數(shù)為24人，則該方陣共有多少人。A. 120  B. 144  C. 176  D. 194答案B解一設最外層每邊x人，最內(nèi)層每邊y人，根據(jù)公式：4x-4=484y-4=24x=13y=7因此外層每邊13人，內(nèi)部空心部分每邊7-25人，根據(jù)“逆向法思維”：共有132-52=144人。解二總?cè)藬?shù)（48+24）×層數(shù)÷236×層數(shù)，是36的倍數(shù)，直接鎖定

28、B。解三根據(jù)公式：相鄰兩圈相差8，因此很容易得到這幾圈分別為48、40、32、24，直接加起來即可。推薦精選例19. 軍訓的學生進行隊列表演，排成了一個7行7列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？    分析與解：如下圖：         方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為： （人）    剩下的人數(shù)為： （人）    方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形隊列，即 （人）    去掉的

29、人數(shù)為： （人）例20. 光明小學四年級原準備排成一個正方形隊列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問四年級原來準備多少人參加表演？    分析與解：此題剛好是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊列的特點可知：    原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）÷2    即：原來每行人數(shù)是 （人）    原來準備參加表演的人數(shù)： （人）    答：四年級原準備196人參加表演。例21. 參加中學生運動會團體操比賽的運

30、動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人?分析 如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等;最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2-1· · · · ·· · · · ·推薦精選· · · · ·· · · ·

31、·· · · · ·解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行(或一列)人數(shù)=(33+1)÷2=17方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17×17=289(人)例22. 軍訓的學生進行隊列表演，排成了一個7行7列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？    分析與解：如下圖：         方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為： （人）

32、0;   剩下的人數(shù)為： （人）    方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形隊列，即 （人）    去掉的人數(shù)為： （人）    例23. 光明小學四年級原準備排成一個正方形隊列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問四年級原來準備多少人參加表演？    分析與解：此題剛好是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊列的特點可知：    原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）÷2 

33、0;  即：原來每行人數(shù)是 （人）    原來準備參加表演的人數(shù)： （人）    答：四年級原準備196人參加表演。例24. 正方形舞廳四周均勻地裝彩燈，如果四個角都裝一盞，且每邊12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？    推薦精選分析與解：如下圖：         方法一：從圖（1）可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應為：   （盞）    方法二：按圖（2）

34、把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：    （盞）    答：這個舞廳四周共裝彩燈44盞。例25. 游行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣。最外層每邊12人，問彩車周圍的少先隊員共有多少人？    分析與解：    方法一：這是一個只有3層的中空方陣，最外層每邊有12人，最外層一共有 （人），第二層每邊少2人，即第二層每邊10人，第二層共有 （人），比第一層總數(shù)少8人，同理，第三層總數(shù)是 （人）    三層共有隊員的

35、總數(shù)： （人）    方法二：如下圖，可把隊員分成人數(shù)相等的四部分，每一部分的人數(shù)：    （人）        三層共有隊員數(shù)： （人）    方法三：從12行12列的中實方陣中減去中間的空心方陣，就是隊員人數(shù)：    （人）推薦精選例26. 小明用圍棋子擺了一個五層的空心方陣，共用了200個棋子，問最外邊一層每邊有多少個棋子？    分析與解：    方

36、法一：利用相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8的特點。可知最外層共有棋子數(shù)：    （個）    最外層每邊的棋子數(shù)： （個）    方法二：如下圖，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子數(shù)為： （個），每一部分每排的棋子數(shù)為： （個）    最外層每邊的棋子數(shù)為： （個）         列綜合算式：    （個）    答：最外層每邊有棋子15個。練

37、習題：    1. 運動員入場式要求排成一個9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運動員？    2. 學校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個中實方陣，最外一層有36盆花。求這個方陣共有花多少盆？    3. 一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應該有多少個圓片？    4. 有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓

38、片？    5. 解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？一共有多少人？   【練習題答案】    1. 運動員入場式要求排成一個9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運動員？推薦精選    （人）    （人）    （人）    答：要減少32名運動員。    2. 學校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個中實方

39、陣，最外一層有36盆花。求這個方陣共有花多少盆？    （盆）    （盆）    答：這個方陣共有花100盆。    3. 一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應該有多少個圓片？                （個）    答：最外層應該有28個圓片。 

40、   4. 有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓片？    （個）    （個）    （個）    答：應再增加16個圓片。    5. 解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？一共有多少人？    （層）    （人）

41、0;   答：這個方陣有5層，一共有160人。推薦精選例27 某小學四年級的同學排成一個四層空心方陣還多15人，如果在方陣的空心部分再增加一層又少21人。這個小學四年級的學生一共有多少人？解題分析 排成四層空心方陣多15人，在方陣的空心部分增加一層21人，說明增加這一層的人數(shù)就是從外向內(nèi)第五層的人數(shù)是（15+21）人，根據(jù)每相鄰兩層的人數(shù)相差8人，可分別求出每層人數(shù)，然后霜加，再加上多的15人，就可求出四年級的總?cè)藬?shù)。 解：（1）從外向內(nèi)第五層有多少人？ 15+21=36（人） （2）從外向內(nèi)第四層有多少人？ 36+8=44（人）（3）從外向內(nèi)第三層有多少人？ 44+8=5

42、2（人） （4）從外向內(nèi)第二層有多少人？ 52+8=60（人）（5）最外層有多少人？ 60+8=68（人） （6）四年級一共有多少人？ 44+52+60+68+15=239（人） 答：四年級的學生一共有239人。例28 一些解放軍戰(zhàn)士組成一個長方陣，經(jīng)一次隊列變換后，增加了6行，減少了10列，恰組成一個方陣，一個人也不多，一個人也不少。則原長方形陣共有（）人。解析設該正方形陣每邊x人，則原長方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，選擇B。例29. 有若干人，排成一個空心的四層方陣?，F(xiàn)在調(diào)整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少16人，層數(shù)由

43、原來的四層變成八層，則共有（）人。A. 160  B. 1296  C. 640  D. 1936答案C解析設調(diào)整前最外層每邊x人，調(diào)整后每邊y人，根據(jù)“逆向法思維”：x-y=16x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44y=28因此：442-（44-8）2=640（人）。 課后作業(yè)1、若干名同學排成中實方陣則多12人，若要將這個方陣改擺成縱橫兩個方向各增加1人的方陣則還差9人排滿，請問：原有學生多少人？推薦精選解析：由于縱橫兩個方向各增加1人，因此不但將剩余12人擺上，而且還差9人，說明一橫行與一豎行的人數(shù)總和是12921人。

44、又由于縱橫兩個方向各增加1人，因此只有1人同屬于橫行與縱行，在數(shù)每邊上的人數(shù)時，總被多數(shù)一次，因此可以用21人先加上被重復數(shù)過的1人，再除以2，也就得到每邊人數(shù)。列式為（211）÷211人。求出每邊人數(shù)，就可求出假設排滿后的人數(shù)，列式為11×11121人，用121人減去差的9人就是原來人數(shù)，列式為1219112人。也可以根據(jù)原來的方陣再加上12，請你試一試。答：原有學生112人。2、 有一隊士兵排成一個中實方陣，最外一層有100人，請問：方陣中一共有士兵多少人？解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有100人，用100

45、47;425人，每邊是不是25人呢？不是的，因為平均分成4份后，還需要再加上1，才正好是每邊上的人數(shù)，列式應該為100÷4126人。因此方陣中一共有26×26676人。答：一共有676人。3、 小剛用若干枚棋子擺成一個中實方陣，最外層每邊擺6枚，請問：要擺成這樣一個中實方陣至少需要多少枚棋子？最外一層的棋子總數(shù)是多少？解析：如圖，最外一層每邊擺6枚，根據(jù)方陣每行每列個數(shù)相等特點，因此一共有6×636枚棋子。最外一層每邊有6枚，如果用6×424枚，就認為是最外一層棋子數(shù)的答案的話，那就錯了。因為正方形每個頂點上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計算總數(shù)時就被

46、多數(shù)了一次，這樣的頂點一共有4個，需要把多數(shù)的減去，才能得到正確的結(jié)果。列式是6×4420枚。說明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時，可以按上圖先劃分成4個相等的塊，這樣每邊就有5枚了，因此用5×420枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法，請同學們試一試。4、一隊學生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？解析1：把去掉4行4列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉，就可用例6的結(jié)論： 去掉一行一列的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)×21反復利用4次這個公式，只要注意“原每行人數(shù)”的變化，即可列式為：推薦精選去掉4行4列的總?cè)藬?shù)20×21+（2

47、01）×21（202）×21+（203）×21401=381+361+341144（人）解析2：我們還可以這樣想：原來是一個7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個小正方形方陣，因此去掉4行4列的總?cè)藬?shù)原正方形方陣每邊人數(shù)4，即去掉的總?cè)藬?shù)20×20（204）×（204）400256144（人）答：去掉4行4列，要減少144人。5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈，如果四個角都裝一盞且每邊裝12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？解析（1）：自己畫圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應為：12×4444（2）：還可以把彩燈分

48、成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：（121）×444（盞）答：這個舞廳四周共裝彩燈44盞。6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣，請你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆?解析：分析思路參見例6，最外層每邊人數(shù)=總數(shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)204÷4÷3+3=20(盆)答：最外面一層每邊有鮮花20盆7、四年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，請問：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個方陣共有多少人?解析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出這個方陣最外

49、層每邊的人數(shù)，那么這個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求出來了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20÷4+1=5+1=6（人） （2）整個方陣共有學生人數(shù)：6×6=36（人）答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6人，這個方陣共有36人。8、明明用圍棋子擺成一個三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，明明擺這個方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個三層空心方陣共用了多少枚棋子？推薦精選解析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個，知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。（2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再

50、乘以4，計算出這個中空方陣共用棋子多少個。解：（1）最里層一周棋子的個數(shù)是：（15-2-2-1）×4=40（個） （2）這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）×3×4=144（個）答：這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個中空方陣共用144個棋子。9、若干戰(zhàn)士排成一個四層中空方陣，只知道最外一層每邊有12人，請你求出總?cè)藬?shù)。解析：我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進行。解：由于最外層每邊有12人，因此最外層一共有（121）×444人，又根據(jù)方陣相鄰兩層，外層比內(nèi)層人數(shù)多8的特點，因此第二層有44836人，第三層有36828人，第四層有28820

51、人。因此一共有44+36+28+20128人。還可以這樣想，把四層中空方陣劃分如例5的形狀，我們發(fā)現(xiàn)每個長方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有8人組成。因此一個長方形有8×432人，一共有4個長方形，32×4128人。當然還可以先把中空方陣看成中實方陣，然后再減去補上的小中實方陣人數(shù)，也可以求出一共有多少人，看成中實方陣后，最外一層每邊12人，因此一共有12×12144人。又因為在方陣中相鄰兩個正方形每邊人數(shù)相差2，因此第二層每邊有12210人，第三層每邊有1028人，第四層每邊有826人，第五層每邊有624人。因此小的中實方陣有4×416人。14416128人

52、就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。答：一共有128人。10、有若干盆鮮花擺成一個中空方陣，最外層共擺48盆，最內(nèi)層共擺24盆，請問：共擺了多少盆鮮花？解析：由于方陣中相鄰兩個正方形每邊相差8，因此第二層應擺鮮花48840盆，第三層有花40832盆，第四層有花32824盆。這樣通過枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花的總數(shù)。因此一共擺了48403224144盆。答：一共擺了144盆。11、有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵?解析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設黑點表示楊樹，白點表示柳樹觀察圖（1）（2）不管

53、是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等。即最外層楊，柳樹分別為（7-1）×4÷2=12（棵）。推薦精選當柳樹種在方陣最外層的角上時，最內(nèi)層的一棵是柳樹;當楊樹種在方陣最外層的角上時，最內(nèi)層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。解：（1）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7-1）×4÷2=12（棵） （2）當楊樹種在最外層角上時，楊樹比柳樹多1棵：楊樹：（7×7+1）÷2=25（棵）柳樹：7×7-25=24（棵） （3）當柳樹種在最

54、外層角上時，柳樹比楊樹多1樹柳樹（7×7+1）÷2=25（棵）楊樹7×7-25=24（棵）答：在兩種方法中，方陣最外層都有楊樹12棵，柳樹12棵，方陣中總共有楊樹25棵，柳樹24棵，或者有楊樹24棵，柳樹25棵。練習題：    1. 運動員入場式要求排成一個9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運動員？    （人）    （人）    （人）    答：要減少32名運動員。    2. 學校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個中實方陣