一元二次方程及其解法

1、戴氏高考中考學(xué)校 一對(duì)一vip 袁游老師 2013.7.21高二暑期vip 第一講一元二次方程及其解法一、知識(shí)概述1、整式方程等號(hào)兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程2、一元二次方程一個(gè)整式方程整理后如果只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)為2次的方程，叫做一元二次方程3、一元二次方程的一般形式方程ax2bxc=0(a、b、c為常數(shù)，a0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別叫做二次項(xiàng)，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)4、一元二次方程的解能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解5、直接開方法形如x2=a(a0)和(xm)2=n(n0)的方程

2、，根據(jù)平方根的定義，可采用直接開平方法解方程6、配方法解一元二次方程例如：將方程x26x7=0的常數(shù)項(xiàng)移到右邊，并將一次項(xiàng)6x改寫成2·x·3得：x22·x·3=7可以看出，為了使左邊成為完全平方式，在方程兩邊都加上32(即一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方)得x26x32732，整理得(x3)22，解這個(gè)方程得這種解一元二次方程的方法叫做配方法這種方法就是先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接利用開平方法求出它的解7、一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2bxc=0(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)的根為該式稱為一元二次方

3、程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法，簡(jiǎn)稱公式法8、一元二次方程的根的判別式(1)當(dāng)b24ac0時(shí)，一元二次方程ax2bxc=0(a0)有實(shí)數(shù)根，；(2)當(dāng)b24ac=0時(shí)，一元二次方程ax2bxc=0(a0)有實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)b24ac0時(shí)，一元二次方程ax2bxc=0(a0)沒有實(shí)數(shù)根 其中b24ac叫做一元二次方程ax2bxc=0(a0)的根的判別式9、因式分解法(1)分解因式法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們就可以將一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解，從而求出原方程的解，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法(2)用分解

4、因式法解一元二次方程的步驟：將方程的右邊化為0；將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每一個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1、一元二次方程的解法2、一元二次方程根的判別式三、典型例題剖析例1、關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m=_；解：由題意得解得故填例2、(1)已知關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2xa21=0的一根是0，則a的值為（ ）a1 b1c1或1d(2)關(guān)于x的方程(m2)2x23m2xm24=0有一根為0，則2m24m3的值為（ ）a3b19c±2d3或19思路：根據(jù)方程的根的定義可知數(shù)0都滿足方程，但不

5、同的是第(1)題給出的是關(guān)于x的一元二次方程，而第(2)題是關(guān)于x的方程，即后者有可能是關(guān)于x的一元一次方程，即(m2)2有可能為0，也有可能不為0，前者的二次項(xiàng)系數(shù)(a1)一定不為0(1)將x=0代入方程(a1)x2xa21=0得a21=0，a=1或a=1，又因?yàn)殛P(guān)于x的方程(a1)x2xa21=0是一元二次方程，a10即a1，故a的值為1；(2)將x=0代入原方程得m24=0，m=±2，當(dāng)m=2時(shí)，2m24m3=3，當(dāng)m=2時(shí)，此時(shí)方程為一次方程，符合題意，且此時(shí)2m24m3=19，故所求的代數(shù)式的值為3或19解：(1)b；(2)d總結(jié)：(1)代解、求解是解決與方程的根有關(guān)的問(wèn)題

6、的兩種基本方法；(2)要注意關(guān)于x的方程與關(guān)于x的一元二次方程的區(qū)別，后者必須滿足二次項(xiàng)系數(shù)不能為0例3、已知m、n都是方程x22006x2008=0的根，試求(m22006m2007)(n22006n2007)的值思路：根據(jù)一元二次方程的根的定義，由于m、n都是方程x22006x2008=0的根，所以m22006m2008=0，n22006n2008=0，由此不難求出(m22006m2007)和(n22006n2007)的值解：m、n是方程x22006x2008=0的根，m22006m2008=0，n22006n2008=0m22006m2007=1n22006n2007=4015(m220

7、06m2007)(n22006n2007)=1×4015=4015總結(jié)：要善于運(yùn)用根的定義，求出某些代數(shù)式的值例4、解方程(1)x24x3=0；(2)2x23=7x思路：(1)方程x24x3=0的二次項(xiàng)的系數(shù)已經(jīng)是1，可以直接運(yùn)用配方法求解；(2)方程2x23=7x先化為一般形式，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)是2，為了便于配方，可把二次項(xiàng)系數(shù)先化為1，為此，把方程的各項(xiàng)都除以2解：(1)移項(xiàng)得x24x=3配方得x24x(2)2=7即(x2)2=7解這個(gè)方程得x2=±，即；(2)移項(xiàng)得2x27x=3把方程兩邊都除以2得配方得即解這個(gè)方程是，x2=3總結(jié)：配方法是解一元二次方程的重要方

8、法，熟練掌握完全平方式是配方法解題的基礎(chǔ)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程，在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可配方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，一般應(yīng)先將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?，然后再配方比較簡(jiǎn)便，熟練后，根據(jù)具體情況可靈活處理例5、小明、小華和小英三人共同探討代數(shù)式x24x5的值的情況，他們進(jìn)行了明確的分工，小明負(fù)責(zé)找出最小值，小華負(fù)責(zé)找出值為0的x的值，小英負(fù)責(zé)求出最大值，5分鐘后，各自通報(bào)自己的成績(jī)小華說(shuō)：當(dāng)x24x5=0時(shí)，方程沒有解，故找不到滿足條件的x值，使x24x5的值為零小明說(shuō)：我考察了很多數(shù)，發(fā)現(xiàn)最小值為1小英說(shuō)：x24x5的值隨x取值改變而改變，我暫時(shí)沒有找到它的最大值聰明的同學(xué)，你能用什

9、么方法很快對(duì)他們的結(jié)論作出準(zhǔn)確的判斷嗎？我想，你一定行的！思路：將x24x5配方易得出結(jié)論解：因?yàn)閤24x5x24x221=(x2)21當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值最小，最小值為1，所以小明結(jié)論正確，由此可知找不到滿足條件的x值，使x24x5的值為零，也可以知道代數(shù)式?jīng)]有最大值(在此處配方的威力可大?。?總結(jié)：配方法是一種最重要的數(shù)學(xué)方法，通過(guò)配方，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的形式，然后利用完全平方式的特點(diǎn)，使問(wèn)題得到解決例6、解下列方程：(1)；(2)；(3);(4)思路：用求根公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計(jì)算，解：(1)a=1，c=10(2)原方程可化為a=1，c=2

10、(3)原方程可化為a=1，c=1；(4)原方程可化為；總結(jié)：(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母，通常先將其化為整數(shù)，求出的根要化為最簡(jiǎn)形式；(2)用求根公式法解方程按步驟進(jìn)行。例7、解方程：思路：因?yàn)椋粼O(shè)則原方程可化為：3y25y2=0，解此方程求得y值，再代回原式，求出x的值，也可以直接把看作一個(gè)整體，先求出的值，再求x解：設(shè)，原方程化為3y25y2=0a=3，b=5，c=2，b24ac=254×3×(2)=49，y1=2，當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)y=2時(shí)，解得原方程的解為，總結(jié)：使用換元法的關(guān)鍵在

11、于換元式的確定本例中求出y1=2，后還沒有達(dá)到解題的目的因?yàn)楸纠胁皇墙怅P(guān)于y的方程，而是解關(guān)于x的方程，因此，必須反代回去，求出x例8、(1)解下列方程：x22x2=0； 2x23x1=0；2x24x1=0；x26x3=0(2)上面四個(gè)方程中，有三個(gè)方程一次項(xiàng)系數(shù)有共同特點(diǎn)，請(qǐng)你用代數(shù)式表示這個(gè)特點(diǎn)，并推導(dǎo)出具有這個(gè)特點(diǎn)的一元二次方程的求根公式思路：利用求根公式法求出方程的根觀察四個(gè)方程可知：方程的一次項(xiàng)系數(shù)均為偶數(shù)即一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)2n(n為整數(shù))，再利用求根公式推導(dǎo)解：(1)解方程x22x2=0得解方程2x23x1=0得解方程2x24x1=0得解方程x26x3=0得；(2)其中方程的一次

12、項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)2n(n為偶數(shù))一元二次方程ax2bxc=0其中b24ac0，b=2n，n為整數(shù)因?yàn)閎24ac0，即(2n)24ac0，n2ac0所以一元二次方程ax22nxc=0(n2ac0)的求根公式為總結(jié)：找出方程中一次項(xiàng)系數(shù)的共同特點(diǎn)，然后再運(yùn)用一元二次方程的求根公式推導(dǎo)出新的表達(dá)式例9、如果關(guān)于x的一元二次方程kx22(k2)xk5=0沒有實(shí)數(shù)根，試說(shuō)明關(guān)于x的方程(k5)x22(k2)xk=0必有實(shí)數(shù)根思路：由一元二次方程kx22(k2)xk5=0沒有實(shí)數(shù)根，可以得出k0，b24ac0，從而求出k的取值范圍，再由k的范圍來(lái)說(shuō)明方程(k5)x22(k2)xk=0必有實(shí)數(shù)根解：因?yàn)殛P(guān)于x的

13、一元二次方程kx22(k2)xk5=0沒有實(shí)數(shù)根，所以解得k4所以當(dāng)k=5時(shí)，方程(k5)x22(k2)xk=0為一元一次方程，此時(shí)方程的根為當(dāng)k5時(shí)，方程(k5)x22(k2)xk=0為一元二次方程所以b24ac=2(k2)24(k5)·k=4(9k4)因?yàn)閗4，且k5，所以4(9k4)0，即b24ac0所以此時(shí)方程必有兩個(gè)不等實(shí)根綜上可知方程(k5)x22(k2)xk=0必有實(shí)數(shù)根總結(jié)：(1)方程“有實(shí)數(shù)根”與“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”有著質(zhì)的區(qū)別，方程有實(shí)數(shù)根“表示方程可能為一元一次方程”，此時(shí)方程有一實(shí)數(shù)根，方程也可能為一元二次方程，此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；而方程“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”則表示此時(shí)方程一定為一元二次方程；(2)運(yùn)用根的判別式時(shí)，一定要注意其成立的前提條件是二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即方程是一元二次方程例10、用因式分解法解下列方程(1)3(2x5)2=4(52x)；(2)(3x4)2=(4x3)2；(3)9(2x3)2=25(13x)2思路：用因式分解法解方程時(shí)，一定要通過(guò)分解因式的方式，使方程的左邊變成積的因式，而右邊為零，(1)中可提取公因式2x5，(2)、(3) 中沒有公因式，但發(fā)現(xiàn)可用平方差公式a2b2=(ab)(ab)來(lái)分解解：(1)原方程化為3(2x5)24(52x)=0即3(2x5)24(2x5)=0(2x5)3(2x5)4=0；