全等三角形全章復(fù)習(xí)講義

1、全等三角形專題一 全等三角形基本性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)1】能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（兩個(gè)三角形全等是指兩個(gè)三角形的大小和形狀完全一樣，與他們的位置沒(méi)有關(guān)系。）【知識(shí)點(diǎn)2】?jī)蓚€(gè)三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做 對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角?！局R(shí)點(diǎn)3】 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（由定義還可知道，全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線和高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等）【例題1】如圖，已知圖中的兩個(gè)三角形全等，填空：(1) ab與 是對(duì)應(yīng)邊，bc與 是對(duì)應(yīng)邊， ca與 是對(duì)應(yīng)邊；(2)a與 是對(duì)應(yīng)角，abc與 是對(duì)應(yīng)角，bac與 是對(duì)應(yīng)角【方法總結(jié)】在兩個(gè)

2、全等三角形中找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的方法。(1)有公共邊的，公 共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(2)有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；(3)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；(4)在兩個(gè)全等三角形中，最長(zhǎng)的邊對(duì)最長(zhǎng)的邊，最短的邊對(duì)最短的邊，最大的角對(duì)最大的角，最小的角對(duì)最小的角?！揪毩?xí)1】 如圖，圖中有兩對(duì)三角形全等，填空：(1)bod ； (2)acd .【例題2】已知圖2中的兩個(gè)三角形全等，則度數(shù)是（ ）a.72° b.60° c.58° d.50°【例題3】如圖，abcc1a1b1若，且，則 【練習(xí)1】如圖，30°，則的度數(shù)為（ ）caba 20° b3

3、0° c35° d40°【練習(xí)2】如圖，abd繞著點(diǎn)b沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到ebc， 且abd90°。（1）abd和ebc是否全等？如果全等，請(qǐng)指出對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角。（2）若ab3cm,bc5cm,你能求出de的長(zhǎng)嗎？（3）直線ad和直線ce有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由專題二 全等三角形的判定 - （以圖形常見(jiàn)類型為標(biāo)準(zhǔn)）三角形全等的判定方法1、如圖：abc與def中 2、如圖：abc與def中 abcdef（ sss ） abcdef（ sas ）3、如圖：abc與def中 4、如圖：abc與def中 abcdef（ asa ） abcdef

4、（ aas ）5、如圖：rtabc與rtdef中， 90° rtabcrtdef（ hl ）【題型一】公共邊類型的全等三角形圖形1 圖形2 圖形3 a b c d d c b a 注意隱含條件adad 隱含條件abba 隱含條件accaa b c d b c a dd 【例1】 在中，ab=ac,ad平分bac，求證：【針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知：如圖bdcd,12,求證：bc.2. 如圖，已知：，. 求證：. 3. 已知：在中，m在bc上，d在am上，（如圖）求證：4. 如圖所示，已知，e是ac上一點(diǎn). 求證：. 5. 如圖，在中,m在bc上，d在am上，abac , dbdc 。求證：

5、mbmc6.【例2】如圖, abcdcb, acbdbc,求證：acdb.a b c dd 【針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知：（如圖）. 求證：2. 如圖：acbc,adbd,adbc,ceab,dfab,垂足分別是e,f，求證：cedf.c d a e f b 【例3】已知：如圖，abcd，abcd求證：adbc【題型二】邊加減類型的全等三角形圖形1 圖形2 圖形3 圖形4 a d b e f c (1) a bb f e d c (2) a b e f d c (3) a b f e c d (4) be=cf be+ef=cf+ef bf=ce be=cf be-ef=cf-ef bf=ce be

6、=cf be+ef=cf+ef bf=ce be=cf be-ef=cf-ef bf=ce 【例4】已知點(diǎn)b,e,c,f在同一條直線上，abdf,acde,becf. 求證：ad.a d b e c f 【例5】如圖，已知：求證：.【例6】如圖，已知：.求證：（1）;(2)aedf. 【例7】已知：如圖，a、c、f、d在同一直線上，afdc，abde，bcef，bcdefa求證：abcdef【針對(duì)訓(xùn)練】1. 已知a,b,c,d在同一條直線上，abcd，deaf，且deaf，求證：afcdeb.2. 已知b,e,f,d在同一條直線上，abcd, bd,bfde.求證：（1）aecf, (2) a

7、ecf，(3) afeced3. 已知：如圖，abdc,acdb,bece.求證：aede.【題型三】公共角類型的全等三角形右圖中全等的三角形有 寫(xiě)出他們所有的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角 【例7】如圖，ab=ac,be和cd相交于p，pb=pc,求證：pd=pe.【針對(duì)訓(xùn)練】1. 如圖，已知：，.求證：.2、已知：如圖，pmpn，mn求證：ambnaedbco123. 如圖，已知：becd，bc，求證：12。4. 已知：如圖，abac，bdac，ceab，垂足分別為d、e，bd、ce相交于點(diǎn)f，求證：becdacbdef5. 已知：如圖abc中，bdac，ceab，bd、ce交于o點(diǎn)，且bdce求證：ob

8、oc.6. 如圖，已知點(diǎn)d、e分別是線段ab、ac上的點(diǎn)，abac，adae.求證：cdebed.【題型四】對(duì)頂角類型的全等三角形圖形1 圖形2 【例8】如圖1，已知：ab=cd，ad=cb.求證：b=d.【針對(duì)訓(xùn)練】已知：如圖，acbd，adac，bcbd 求證：adbc；【例9】如圖，兩條直線ac,bd相交于o，bo=do,ao=co，直線ef過(guò)點(diǎn)o且分別交ab、cd于點(diǎn)e,f，求證：oe=ofd f c o a e b 【針對(duì)訓(xùn)練】1、如圖4，abde，ab=de，1=2.求證：bg=df.2.如圖已知：ab=cd，ad=bc，o是bd中點(diǎn)，過(guò)o點(diǎn)的直線分別交da和bc的延長(zhǎng)線于e，f.

9、求證：ae=cf. dfcobae【題型五】旋轉(zhuǎn)類型的全等三角形圖形1 圖形2 圖形3 圖形4 【例10】已知：如圖(1)，ab=ad，bc=de，1=2.求證：(1)ac=ae； (2) cae=cde.【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，點(diǎn)e在abc的外部，點(diǎn)d在bc邊上，de交ac于點(diǎn)f，若1=2 =3，ac=ae，求證：ab=ad。2.已知：如圖，abad，acae，12求證：bcde【例11】已知：如圖(2)，e=f=90°，b=c，ae=af，給出下列結(jié)論：1=2；be=cf；canabm；cd=dn.其中正確的結(jié)論是_.【例12】如圖，已知ab=ad， b=d，1=2，證明：bc=d

10、e【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，在abe中，abae,adac,badeac, bc、de交于點(diǎn)o.求證：(1) abcaed； (2) oboe .2.如圖，已知：，.求證：點(diǎn)b是線段ac的中點(diǎn).【例13】已知a、c、b共線，acd和bce為等邊三角形，直線bd、ae交與f，ae、cd相較于點(diǎn)m， bd、ae相較于點(diǎn)n。如圖1， 求證：ae=bd 求afb的度數(shù) 求證：cm=cn 求證：mnab 求線段bf、ef、cf的關(guān)系【題型六】大山型的全等三角形【例14】已知：如圖，abcd,edbd，ab=cd，bc=de，求證：acce.【針對(duì)訓(xùn)練】1、已知：如圖，在mpn中，h是高mq和nr的交點(diǎn)，且m

11、qnq求證：hnpm.2已知：如圖，aeab，bcab，aeab，edac 求證：edac3. 已知，如圖14，在abc中，adbc，ad=bd，e是ad上一點(diǎn)，ed=cd，連結(jié)be并延長(zhǎng)交ac于f， 求證：be=ac，beac.4.已知，如圖7， ad為abc的高， e為ac邊上一點(diǎn)，be交ad于f，且有bf=ac，fd=cd. 求證：（1）beac；（2）若把條件bf=ac和結(jié)論beac互換，那么這個(gè)命題成立嗎？5.如圖，將兩個(gè)一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （a、b、d三點(diǎn)共線，abcb，ebdb，abcebd90°），連接ae、cd，試確定ae與cd的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你

12、的結(jié)論c e b a f d 6.如圖所示：在abc和dbc中，acb=dbc=,e是bc的中點(diǎn)，efab,垂足為f，且ab=de. （1）求證：bd=bc; （2）若bd=8cm，求ac的長(zhǎng).【題型七】以等腰直角三角形為背景的全等三角形【例15】如圖，在abc中，acb90°，acbc，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)c，過(guò)a、b兩點(diǎn)分別作l的垂線ae、bf，e、f為垂足（1）當(dāng)直線l不與底邊ab相交時(shí)，求證：efaebf（2）如圖，將直線l繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊ab交于點(diǎn)d，請(qǐng)你探究直線l在如下位置時(shí)，ef、ae、bf之間的關(guān)系adbd；adbd；adbd【題型八】角的平分線的性質(zhì)1如圖，c

13、dab，beac，垂足分別為d，e，be，cd相交于點(diǎn)o，ob=oc求證1=22如圖，oc是aob的平分線，p是oc上的一點(diǎn)，pdoa交oa于d，peob交ob于ef是oc上的另一點(diǎn)，連接df，ef求證df=ef3如圖，在abc中，d是bc的中點(diǎn)，deab，dfac，垂足分別是e，f，be=cf求證：ad是abc的角平分線4如圖, 在abc中, a90°, bd平分b, debc于e, 且beec, (1)求abc與c的度數(shù)；(2)求證：bc2ab. 【題型九】倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短法1在abc中，ab=5，ac=3，ad為bc邊的中線，則ad的長(zhǎng)的取值范圍是（ ）.a.1<<

14、;4 b.3<<5 c.2<<3 d.0<<52ad是abc中bc邊上的中線，ab=4，ac=6，則ad的取值范圍是 .3如圖,abd和ace是abc外兩個(gè)等腰直角三角形,bad=cae=900.（1）判斷cd與be有怎樣的數(shù)量關(guān)系;（2）探索dc與be的夾角的大小.（3）取bc的中點(diǎn)m，連ma，探討ma與de的位置關(guān)系。4如圖，四邊形abcd中，adbc，e是cd上一點(diǎn)，且ae、be分別平分bad、abc. （1）求證：aebe； bcead（2）求證：e是cd的中點(diǎn)； （3）求證：ad+bc=ab.5如圖abc中，a=500，ab>ac，d、e分別在ab、ac上，且bd=ce,bcd=cbe，be、cd相交于o點(diǎn)，求boc的度數(shù).6abc中，d是bc中點(diǎn)，dedf，e在ab邊上，f在ac邊上，判斷并證明be+cf與ef的大小？.7已知：如圖，在abc中，a=90°，ab=ac，1=2， 求證：bc=ab+ada21cbd（分別用截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法各證一次）8已知，如圖，在正方形abcd中ab=ad，bd90°（1）如果bedfef，求證：eaf45°；fa平分dfe（2）如果eaf45°，求證：bedfeffa平分dfe（3）如果點(diǎn)