12子空間與子空間的分解

1、§2 線性子空間與子空間的分解在通常的三維幾何空間中，考慮一個通過原點(diǎn)的平面。不難看出，這個平面上的所有向量對于加法和數(shù)量乘法組成一個二維的線性空間，這就是說，它一方面是三維幾何空間的一個部分，同時它對于原來的運(yùn)算也構(gòu)成一個線性空間。一般地，我們不僅要研究整個線性空間的結(jié)構(gòu)，而且要研究它的線性子空間，一方面線性子空間本身有它的應(yīng)用，另一方面通過研究線性子空間可以更深刻地揭示整個線性空間的結(jié)構(gòu)。一、線性子空間的定義定義7 設(shè)是數(shù)域上的一個線性空間，是的一非空子集。如果對于中所定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域上的一個線性空間，則稱為的一個線性子空間，簡稱子空間。驗(yàn)證是否為的子空間，實(shí)際上只

2、需考察對于中加法和數(shù)乘運(yùn)算是否封閉就行了。因?yàn)榫€性空間定義中的規(guī)則在對線性運(yùn)算是封閉的情況下必是滿足的。例1任何線性空間有兩個平凡子空間或假子空間；一個是它自身，另一個是，稱為零元素空間（零子空間）。除此之外的子空間稱為非平凡子空間或真子空間。下面舉幾個常見的例子。例2 給定，集合 分別是和上的子空間，依次稱為的零空間(核)和列空間（值域），零空間的維數(shù)稱為零度的零空間是齊次線性方程組的全部解向量構(gòu)成的維線性空間的一個子空間。因?yàn)榻饪臻g的基就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。所以，。的左零空間和行空間 ，。表示的廣義逆，滿足，則有 且，冪等。所以 例3 設(shè)是的個向量，它們所有可能的線性組合所成的集合

3、是的一個子空間，稱為由生成的子空間。若記，則 由子空間的定義可知，如果的一個子空間包含向量，那么就一定包含它們所有的線性組合。也就是說是的一個子空間。注：容易證明(1)。(2),，特別若可表示為的線性組合，則。定理2 設(shè)是的一個維子空間，是的一個基，則這個向量必定可擴(kuò)充為的基。 證明 若，則定理已成立。若，則中必存在一個向量不能由線性表出，從而線性無關(guān)。如果，則定理已成立。否則繼續(xù)上述步驟。經(jīng)過次，則可得到內(nèi)個線性無關(guān)的向量，使為的基。二、子空間的分解子空間作為子集，有子集的交（），和（）等運(yùn)算，對它們有如下定理。定理3 設(shè)是線性空間的子空間，則有(1) 與的交集是的子空間，稱為與的交空間。(

4、2) 與的和 是的子空間，稱為與的和空間。證明 (1)由,可知,因而是非空的.其次，如果,即而且,因此,因此.同樣,由,知.因此是的子空間.(2)由定義,而且非空.,則有.由 ，因是子空間,則,所以 即是的子空間.子空間的交與和的概念可以推廣到多個子空間的情形。定理4 (維數(shù)定理)設(shè)和是線性空間的兩個子空間，則有+=+ (1)證明 設(shè), , 基為，由定理2知，它們可分別擴(kuò)充為：的基，的基，則 =， =， .下面證明為線性無關(guān)組。任取數(shù)使. (2)因?yàn)?所以 從而有 即 由是的基,線性無關(guān),故.代入(2)式,得而是的基,于是故線性無關(guān)，dim,定理得證.從(1)式知，若，則有dim(+)<

5、dim+dim,這時其表達(dá)式中與不是唯一的。 例如 ，有，即。這時可有兩種表達(dá)式和 例4 設(shè)中的兩個子空間是求及的基和維數(shù)。解 =由于且線性無關(guān)，故的一個基為，其維數(shù)=3。由維數(shù)定理知=-=2+2-3=1根據(jù)，得到，從而為的一個基，其維數(shù)=1。三、直和子空間子空間的和的定義僅表明，其中的任一向量可表示為 。但這種表示法不一定唯一。定義8 設(shè)是線性空間的兩個子空間，如果中每個向量的分解式 是唯一的，則稱為的直和，記為。定理5 設(shè)，是線性空間的兩個子空間，則下面幾條等價(1) 是直和；(2) 向量表示法唯一，即由得；(3) =；(4) 證明 采用輪轉(zhuǎn)方式證明這些命題。按定義，內(nèi)任一向量表示法唯一，

6、因而的表示法當(dāng)然唯一。用反證法。若，則有，于是，。而，這與零向量的表示是唯一的假設(shè)矛盾。利用維數(shù)定理即得。由維數(shù)定理知dim()=0,即=.對任一,如果 則有于是，即。這說明因而表示法唯一。定理證畢。定理6 設(shè)是的一個子空間，則必存在的子空間，使。證明：設(shè)dim()=,且是的一個基，根據(jù)定理2 它可擴(kuò)充為的基，令，顯然就滿足要求。子空間的交、和及直和的概念可以推廣到多個子空間的情形。四、內(nèi)積空間前文中，我們對線性空間的討論主要是圍繞著向量之間的加法和數(shù)量乘法進(jìn)行的。與幾何空間相比，向量的度量性質(zhì)如長度、夾角等在實(shí)際應(yīng)用中更重要。因此，我們在一般線性空間中定義內(nèi)積，導(dǎo)出內(nèi)積空間的概念。定義9 設(shè)

7、是實(shí)數(shù)域上的實(shí)線性空間。如果對于任意的，都有一個實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，且滿足(1);(2);(3);(4)當(dāng)且僅當(dāng)時.則稱為與的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為內(nèi)積空間，又稱歐幾里得空間或euclid空間（簡稱為歐氏空間）。例如，在中，定義內(nèi)積。這時成為內(nèi)積空間。在內(nèi)積空間中，如果，則稱與正交，記為。設(shè)歐氏空間中的基為，歐氏空間中有兩個向量，下面我們來計(jì)算的內(nèi)積。記 ，則有注：(1)方陣稱為向量組的gram矩陣，或度量矩陣。(2) 線性無關(guān)的充要條件是。(3) 對稱正定。因?yàn)榉疥?4)若,則表示長度的平方；時,則,表示面積的平方；呢？(5)若是規(guī)范正交基，則，內(nèi)積。即向量內(nèi)積等于坐標(biāo)的內(nèi)積，計(jì)算簡單，

8、所以內(nèi)積空間的基常采用規(guī)范正交基。 另外，在規(guī)范正交基下向量的坐標(biāo)的計(jì)算簡單不需要解線性方程組就能得到,即 .設(shè)是內(nèi)積空間的一個子空間。顯然也是一個內(nèi)積空間。如果的一個向量與的每一個向量正交，則稱與正交，記為。對于中的兩個子空間，如果任取，都有，即，則稱與是互相正交的。記為。定義10 設(shè)為中的子空間，記容易證明也是線性空間，稱為的正交補(bǔ)空間。定理7設(shè)為矩陣。記為滿足條件且具有最大秩的矩陣，則證明 設(shè)；反之，.推論：；.證明：只證第一式,因?yàn)榘训谝皇街械目闯杉吹玫诙?由 .和證畢.對于一個線性空間，如果存在個子空間，使得對任意，可唯一地分解為,則稱為的直和，記為，若進(jìn)一步假設(shè)，對任意的，有，則稱為的正交直和，記為，特別，對于中子空間都成立。設(shè)則；若進(jìn)一步假設(shè)則容易證明。容易證明對于內(nèi)積空間的子空間有下面的性質(zhì)(1); (2); (3); (4). 定理8 對任意矩陣，恒有。證明 顯然,故