材料力學慣性矩經典實用

1、材料力學慣性矩第六章第六章 截面的幾何性質截面的幾何性質 靜矩和形心 慣性矩和慣性積 慣性矩和慣性積的 平行移軸和轉軸公式 主慣性軸和主慣性矩 組合截面慣性矩的計算 小結材料力學慣性矩第六章第六章 截面的幾何性質截面的幾何性質 第一節(jié) 靜矩和形心一、靜矩(面積矩）定義： 微面積da對z軸和y軸的靜矩分別為 和daydaz 截面（面積a)對z軸和y軸的靜矩分別為：;aydazs;azdays 靜矩為代數值。靜矩單位：;33mmm 不同截面對同一坐標軸的靜矩不同；同一截面對不同坐標軸的靜矩也不同。 若截面形心坐標為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等厚、均質薄板的重力），由合力矩定理可得：;ca

2、zyadays;cayzadazs 當sz=0或sy=0時，必有yc=0或zc=0，可知截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；反之，若某軸通過形心，則截面對該軸的靜矩為零。材料力學慣性矩 二、形心公式：.;aszasyyczc 三、組合截面的靜矩：n個簡單圖形組成的截面，其靜矩為：;1niciizyas;1niciiyzas四、組合截面形心公式：;11niiniciicayay;11niiniciicazaz 例5-1 求圖示t形截面形心位置。 解：取參考坐標軸y、z,由對稱圖形,zc=0。 分解圖形為、兩個矩形，則;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 0222121mymam

3、yma;36. 148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211maayayayc若分解為、三個矩形，則;16. 04 . 22 . 0252. 26 . 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc材料力學慣性矩第二節(jié) 慣性矩和慣性積一、極慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積da與它到坐標原點的距離平方的乘積2da,稱為該面積da對于坐標原點o的極慣性矩。 截面對坐標原點o的極慣性矩為：apdai;2 簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。 實心圓截面：;3224202ddaidp 空心圓截面：)();1 (3244dddip 二、慣性矩： 定義：平面

4、圖形中任一微面積da對z軸、y軸的慣性矩分別為：y2da和z2da；則整個圖形（面積為a)對z軸、y軸的慣性矩分別為：;2azdayi;2aydazi材料力學慣性矩 定義:平面圖形內，微面積da與其兩個坐標z、y的乘積zyda在整個圖形內的積分稱為該圖形對z、y軸的慣性積。;azydayzi 特點：慣性積是截面對某兩個正交坐標軸而言。不同截面對同一對軸或同一截面對不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數值。 單位：;,44mmm 若截面有一根為對稱軸,則該截面對包括此對稱軸在內的一對正交坐標軸的慣性積必為零。 慣性矩是對某軸而言的，同一截面對不同軸的慣性矩值不同。 慣性矩單位：m4或mm4； 慣性矩

5、恒為正值。 簡單圖形對軸的慣性矩由定義式積分計算。三、慣性積：材料力學慣性矩 例5-2 求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。 解：取yoz坐標系。取微面積da=bdy,則：;1232/2/22bhbdyydayihhaz;1232/2/22hbhdzzdazibbay取微面積da=hdz,則：例5-3 圓形截面對其形心軸的慣性矩。 解：取yoz坐標系。取微面積da=2zdy,則：;6442442222drdyyrydayirraz;644diizy由對稱性：,222zy 由幾何關系：.)(222yzaapiidazydai取微面積da=dzdy，則：; 0zyi材料力學慣性矩第三節(jié) 慣性矩和

6、慣性積的平行移軸和轉軸公式 一、平行移軸公式：daaydaadaydaaydayaz222112)(;21abyy;11abaiizyyz;21aaizz注意：y、z軸必須是形心軸。二、轉軸公式：;2sin2cos221zyyzyzziiiiii;2sin2cos221zyyzyzyiiiiii;2cos2sin211zyyzyziiii;)sincos(2211aazdazydayi材料力學慣性矩 第四節(jié) 主慣性軸和主慣性矩： 主慣性軸（主軸）使截面對zo、yo軸的慣性積 的這對正交坐標軸；特點：特點：兩個形心主慣性矩是截面對過形心所有各軸的慣性矩中的極大值和極小值； 有一根對稱軸的截面，形

7、心主軸是對稱軸和與之垂直的形心軸； 有兩根對稱軸的截面，形心主軸是兩根對稱軸； 無對稱軸的截面，由轉軸公式求對形心的慣性積為零的 角，即 形心主慣性軸。0ooyzi 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩； 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。o第五節(jié) 組合截面慣性矩的計算 工程中常遇到組合截面。計算其形心主慣性矩時，應先確定形心位置、形心主軸，再求形心主慣性矩。材料力學慣性矩例例54:試計算圖示t形截面的形心主慣性矩。解解:(1)確定形心坐標yc. ;2050050025105005500212211cmyyyc;1017. 25

8、002035125010;1017. 1500520121050452322222452312111cmacmazzzz;1034. 31017217145521cmzzz (2)計算形心主慣性矩： (z、y軸即形心主軸）材料力學慣性矩小小 結結一、靜矩：;cazyadays;cayzadazs性質：截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；apdai;2;324dip)();1 (3244dddip 二、極慣性矩：實心圓截面： 空心圓截面：三、慣性矩：;2azdayi;2aydazi;azydayzi 四、慣性積：矩形截面： 圓形截面：;123bhiz;123hbiy;644diizy.)(222yzaapiidazydai幾何關系：五、平行移軸公式：;21abyy;11abaiizyyz;21aaizz材料力學慣性矩 六、主慣性軸和主慣性矩： 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。 主慣性軸（主軸）使 的這對正交坐標軸； 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩；0ooyzi七、平面圖形幾何性質的幾何意義： 1. 靜矩：圖形的形心相對于指定坐標軸之間距離的遠近程度； 2. 極慣性矩：圖形的面積相對于指定坐標原點之間分布的集中或分散程度；