不定積分的基本公式和直接積分法

1、第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的基本公式和直不定積分的基本公式和直 接積分法接積分法一、不定積分的基本公式一、不定積分的基本公式二、直接積分法二、直接積分法實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 一、基本積分公式一、基本積分公式1 常量函數(shù)：常量函數(shù)：0()dxC 常常數(shù)數(shù)0()C 2 冪函數(shù)：冪函數(shù)：1111( )()xx dxC 11()xx 12( )lndxxCx 1(ln)xx 3

2、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)101( )(,)lnxxaa dxC aaa ()ln )xxaaa 2( )xxe dxeC ()xxee 4 三角函數(shù)：三角函數(shù)：1 ( ) sincosxdxxC )sin)(cos(xx2( ) cossinxdxxC )cos)(sin(xx3( ) sectansecxxdxxC )tansec)(sec(xxx4( ) csccotcscxxdxxC )cotcsc)(csc(xxx)sec)(tan(2xx25( ) sectanxdxxC 26( ) csccotxdxxC )csc)(cot(2xx5 反三角函數(shù)反三角函數(shù)211( )arcsinarcco

3、sdxxCxCx 221111(arcsin ),(arccos )xxxx 221( )arctancotdxxCarcxCx 221111(arctan ),(cot)xarcxxx 基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx3( )ln|;dxxCx 說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為ln|.dxxCx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx

4、 xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 依據(jù)微積分的互逆性以及導(dǎo)數(shù)計算基本公式，有依據(jù)微積分的互逆性以及導(dǎo)數(shù)計算基本公式，有上面的積分計算基本公式，它們是積分計算的基礎(chǔ)，上面的積分計算基本公式，它們是積分計算的基礎(chǔ)，所有積分的計算都必需依據(jù)其中的某一個才能得出結(jié)所有積分的計算都必需依據(jù)其中的某一個才能得出結(jié)論，因此這些公式必須象求導(dǎo)基本公式一樣要論，因此這些公式必須象求導(dǎo)基本公式一樣要熟記熟記

5、。例例1 1 求下列不定積分求下列不定積分2xxdx dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 二、直接積分法二、直接積分法 直接利用積分的基本公式和基本運算法則求出積分結(jié)直接利用積分的基本公式和基本運算法則求出積分結(jié)果，或者將被積函數(shù)經(jīng)過果，或者將被積函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃芜m當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，再利用積分的，再利用積分的基本公式和基本運算法則求出積分結(jié)果，這樣的積分方法基本公式和基本運算法則求出積分結(jié)果，這樣的積分方法就叫做就叫做直接積分法直接積分法. .21 ( ) xxdx 解：解：221( )()xxedx 解：解：2122()()xxx

6、xedxedxdx 222222122()()ln()lnlnlnxxxxeeCCe 32131( )xxdxx 解：解：3211xxdxx 21dxxdxx 22arctanxxC 22111( )()xxdxxx 2211()()xxdxxx dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln|.xxC2221221( )()xdxxx dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 練練習(xí)習(xí)12(sin )xxC12cos xdx 112(cos )x dx 12cosdxxdxsincosxxC22cossincossinxxdxxx (cossin

7、 )xx dx 例例2 2 求下列不定積分求下列不定積分22cos( )cossinxdxxx 212( ) sinxdx 解解(1)原式原式(2)原式原式2211( ) tan(sec)xdxxdx2sectanxdxdxxxC 21 ( ) tan xdx 練習(xí)練習(xí)221222( )sincosdxxx 222211222244( )sinsincoscsccotdxdxxxxxdxxC 三、小結(jié)三、小結(jié) 恒恒等等變變形形直直接接積積分分法法 積積分分性性質(zhì)質(zhì)基基本本積積分分公公式式 分分項項積積分分常常用用恒恒等等變變形形方方法法：加加項項減減項項利利用用三三角角公公式式，代代數(shù)數(shù)公公式式， 不定積分的計算一般是先對被積函數(shù)進(jìn)行變形處理，將不定積分的計算一般是先對被積函數(shù)進(jìn)行變形處理，將被積函數(shù)化簡，然后利用基本積分公式得出結(jié)果，在變形化被積函數(shù)化簡，然后利用基本積分公式得出結(jié)果，在變形化簡時簡化的方