2020年貴州省高考文科數(shù)學(xué)試卷(word版)和答案

1、2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標HI）一. 選擇題(共12小題)1. 已知集合A = 1, 2, 3, 5, 7, 11, B=XI3VXV15,則 APIB 中元素的個數(shù)為()A. 2B. 3C. 4D. 52. 若匚(1+0 =l-i,則2=()A. 1-/B. 1+ZC. -iD. i3. 設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Q, x2,兒的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10X1, 10X2,，10心的方差為()A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10 4. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I （r） a的單位：天）的

2、Logistic模型：I （/）=K一 7 23（t-53），其中K為最大確診病例數(shù).當/ （D =095K時，標志著已初步遏制 1+e疫情，則廣約為（）ai93）B.63C. 66D. 695. 已知 sing+sin ( 9=1,則 sin ( 9 -t)=(B.A- 2D*乎6.在平面內(nèi)，A, B是兩個定點，C是動點.若&CBC=1，則點C的軌跡為（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線7.設(shè)O為坐標原點，直線x=2與拋物線G y2=2px （p>0）艾于D, E兩點，若OD丄OEf則C的焦點坐標為（）A.（寺 0） B.（寺,0）C. （1, 0）8.點（0, -1）到直線y

3、=k （x+1）距離的載大值為（）A. 1B. V2C. V3D. (2, 0)D. 29.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A. 6+4伍B. 4+42C. 6+23D. 4+2310.設(shè) a=lo邸2,2/>=logs3, c=,則()A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b11.在2XABC 中,2cosCAC=4, BC=3,o則 tanB=()a. VsB. 25C. WsD. 8街12. 已知函數(shù)/ (x) =sinx ,則()smxA. f (x)的最小值為2B. f (x)的圖象關(guān)于y軸

4、對稱C. f (x)的圖象關(guān)于直線x=n對稱D. f (x)的圖象關(guān)于直線兀=今對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。k丹0,13. 若"，$滿足約束條件2x-y>0,則z=3x+2y的最大值為14.設(shè)雙曲線Ct 2y-=l (fl>0, >0)的一條漸近線為j=V2r,則C的離心率a b"為.15設(shè)函數(shù)f (x)=丄.若廣(1)=壬則a=x+a416. 已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題, 每個試題考生都必須作答。第22、23

5、題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(-)必考題：共 60分。17. 設(shè)等比數(shù)列為滿足Ql+fl2 = 4, «3-«1 = &(1) 求&的通項公式；(2) 記S”為數(shù)列10即M的前項和.若S十SgSz,求應(yīng).18. 某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天):(200, 400(400, 600鍛煉人次0, 200空氣質(zhì)量等級1 (優(yōu))216252 (良)510123 (輕度污染)6784 (中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2, 3, 4的概率；(2) 求一天中到該公

6、園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值 為代表)；(3) 若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等 級為3致4,則稱這天“空氣質(zhì)童不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表，并 根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣 質(zhì)量有關(guān)？人次400人次W400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2=n(ad-bc)'G十b) (c十d) (a+c) (b十d)0.0500.0103.8416.6350.00110.82819. 如圖，在長方體ABCD-AxBiCiDi中，點E, F分別在棱DDh BB】上，且2

7、DE=EDhBF=2FB.證明：(1) 當 AB=BC 時，EF±AC；(2) 點Ci在平面AEF內(nèi).20.已知函數(shù)f (x) =x3-kx+k2.(1) 討論/ M 的單調(diào)性；21.已知橢圓C：(2) 若f (x)有三個零點，求R的取值范圍.=1 (0V/WV5)的離心率為斗A, B分別為C的左、右頂點.4(1) 求C的方程；(2) 若點P在C上，點0在直線x=6上，且IBP| = IB0, BP丄BQ,求"P0的面積.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修44：坐標系與參數(shù)方程9x=2t t 922. 在直角坐

8、標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)且, C與ky=2-3t+t2坐標軸交于A, B兩點.(1) 求IABI；(2) 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.選修45：不等式選講23. 設(shè) a, b9 ceR, a+b+c=Qf abc=l.(1) 證明：ab+bc+ca<0；(2) 用maxaf b9 c表示心bf c的最大值，證明：maxa9 bf參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是特合題目要求的。1. 已知集合A = 1, 2, 3, 5, 7, 11, B=xl3VxV15,則中元素的

9、個數(shù)為()A. 2B. 3C. 4D. 5【分析】求出集合A, B,由此能求出進而能求出AC1B中元素的個數(shù).解：.集合4 = 1, 2, 3, 5, 7, 11, B = xl3VxV15),AriB=5, 7, 11,:.ACB中元素的個數(shù)為3.故選：B.2. 若匚(1+0 =l-i,則2=()A. -iB. 1+ZC. -iD. i【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用共輒復(fù)數(shù)的概 念得答案.解：由ZM吩;A嵩1仁7:.Z=i.故選：D.3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)小，x2,，心的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10X1, 10X2,，10x”的方差為()A. 0.01B. 0.1

10、C. 1D. 10【分析】根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時擴大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L，求出新數(shù)據(jù)的方差即 可.解：樣本數(shù)據(jù)XI, X2,，心的方差為0.01,根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時擴大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L，數(shù)據(jù) 10X1, 10X2,，10Xn 的方差為：100X0.01=1,故選：C.4. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I (r) (f的單位：天)的Logistic模型：I 0)=；-0.23(t-53)，其中K為載大確診病例數(shù).當I (O =0.95K時，標志著已初步遏制 1+e疫情，則廣約為()(加19心3)B.

11、 63C. 66D. 69解出f即可.5.已知 sinO+sin ( B=1,則 sin ( 9 十尋=(【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程打023(t53) =095K, 1+e'解：由已知可得十尹2心53) =0$5K,解得嚴”心！兩邊取對數(shù)有-0.23 a-53)=-加19,故選：C.A- 2【分析】利用兩角和差的三角公式，進行轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式進行化簡即可.解：/ sin6+sin ( 9= 1sin0得伍)=b+-sin01 c os0 = 1,曾2即Tlsin ( 9 -t) =1 得 sin ( 9 -r-)-故選：B.6.在平面內(nèi)，A9 B是兩個定點，(：是動點.若疋

12、祝=1,則點C的軌跡為()A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線【分析】設(shè)出A、B. C的坐標，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解C的軌跡方程，推出結(jié)果即解：在平面內(nèi)，A, B是兩個定點，C是動點， 不妨設(shè)A (-«, 0) , B S, 0，設(shè)C (x, >), 因為 AC*BC=t所以(x+a9 j) (x-fl, j) =1,解得 X2+J2=fl2+1,所以點C的軌跡為圓.故選：A.7. 設(shè)O為坐標原點，直線x=2與拋物線G y2=2px (p>0)交于D, E兩點，若OD丄OEt則C的焦點坐標為()A.(寺 0)B.(寺 0)C. (1, 0)D. (2, 0)【分析】利用已知條

13、件轉(zhuǎn)化求解E、D坐標，通過肋”koE= - 1,求解拋物線方程，即 可得到拋物線的焦點坐標.解：將x=2代入拋物線y2=2pxf可得y=±2五,OD丄OE,可得 Sk()E= - 1, 即爭解得円，所以拋物線方程為：y2=lxt它的焦點坐標(寺，0).故選：B,8. 點(0, -1)到直線y=k (x+1)距離的最大值為()A. 1B. V2C. 3D. 2【分析】直接代入點到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式即可求解結(jié)論.解：因為點(0, -1)到直線y=k (x+1)距離 #=£；：；要求距離的最大值，故需R>0；=(互；當R=1時等號成立;9.如圖為某幾何體的三視圖

14、，則該幾何體的表面積是()A. 6+42B. 4+42C. 6+2伍D. 4+23【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表而積公 式計算即可.解：由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖：幾何體是正方體的一個角，PA=AB=AC=2t PA、AB、AC 兩兩垂直，故 PB=BC=PC=2©%幾何體的表面積為：3XyX2X2-X（2V2）2=6+2故選：C.設(shè) 6r=10g32, b=o39則（A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b【分析】利用指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解解:Vfl=lo

15、g32=log3b=log?3 =log5 /27> lo§5 2蠢=尋，2c=3，：.a<c<b.故選：A.211.在AABC 中，cosC, AC=49 BC=3,則 tanB=()oA. VsB. 25c. 4<5D. 85【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值，利用余孩定理可求AB的值，可得A=C9利用三角形的內(nèi)角和定理可求B=h-2C9利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)公式即可求解tanB的值.2解：V cosC, AC=49 BC=3,C5 tanC=J -1 =乎，v co s C /AA5=7aC2+BC2-2AC*BC*cosC

16、=a；42 +32-2><4><3><魯=3,可得A=C,則 taiiB=tan (n 一 2C) = 一 tan2C故選：C12.已知函數(shù)/ (x) =sinx+ 9 則()A. f (x)的最小值為2B. f (x)的圖象關(guān)于丿軸對稱C. f(X)的圖象關(guān)于直線X = K對稱D. f (x)的圖象關(guān)于直線x=今對稱【分析】設(shè)sinx=r, «' y=f (x) =f+*, /曰-1, 1,由雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，y M2或yW-2,故可判斷A；根據(jù)奇偶性定義可以判斷正誤；根據(jù)對稱性的定義可以 判斷C,。的正誤.解：由siiu*0可得

17、函數(shù)的定義域為xx*kn9 keZ9故定義域關(guān)于原點對稱；設(shè)siiir=r,則y=f (x) =/*,1, 1J,由雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)得，或yW-2,故A錯誤；又有f ( -x) =sin ( -x)t = 一 (sinx ) = -/ (x),故/ (x)是奇函sinl-x)smx數(shù)，且定義域關(guān)于原點對稱，故圖象關(guān)于原點中心對稱；故B錯誤；=sinx+ ,故f (n+x)(n-x)，/ (x)的圖象不關(guān)于直線x=ir對稱，C錯誤;=/ (-x),定義域為xxkn9 /reZ),f W 的圖象關(guān)于直線對稱；D正確;故選：D.二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分?！庇媦0,13.若x

18、, y滿足約束條件丿2:y>0,則z=3x+2_y的最大值為7 .【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=3x+2y表示直線在y 軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的裁距最大值即可.f x=l解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由廠/解得A (1, 2),2x-y=0如圖，當直線z=3x+2y it點A (1, 2)時，目標函數(shù)在y軸上的截距取得最大值時，此時Z取得最大值,即當 X = lf 丿=2 時'Zmax = 3 X 1+2 X 2 = 7.v2 214.設(shè)雙曲線C： 筈-牛=1 («>0, b>0)的一條漸近線為j=V2v

19、,則C的離心半為【分析】由雙曲線的方程求出漸近線的方程，再由題意求出心b的關(guān)系，再由離心率的公式及心b9 c之間的關(guān)系求出雙曲線的離心率.解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：y=±Er,a由題意可得字屈所以離注故答案為：V3.數(shù)心=為若廣哼則7(x+a-1) pex(x+a)2【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)廣（1） =-|,求得a的值.解：；函數(shù)/（X）=-, :.r mx+aae pa若廣=芮產(chǎn)孑芮產(chǎn)孑則日' 故答案為：1.16. 已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為【分析】由條件易知該圓錐內(nèi)半徑最大的球為該圓錐的內(nèi)接球，作圖，數(shù)形結(jié)合即可

20、解：當球為該圓錐內(nèi)切球時，半徑最大,如圖：BS=39 BC=lf 則圓錐SC=7b S2-BC 2=V9Z1= 2V2,設(shè)內(nèi)切球與圓錐相切與點D,半徑為幾 則NSODs'SCB,419所以該球的體積為Trr3=-T-故答案為:B三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟。第1721題為必考題, 每個試題考生梆必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60分。17. 設(shè)等比數(shù)列心滿足ai+a2=49心-心=8.(1) 求心的通項公式；(2) 記S“為數(shù)列10gjfl/f的前項和若Sm+Sm+1Sg,求加.f a! +a 1廿4【分析】(1)設(shè)

21、其公比為心則由已知可得2，解得山=i，q=3$可求其21 q -aL=S通項公式.(2)由(1)可得logy/H=/-l,是一個以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求S”=n(n-l) 亠hem(nrl).(m+3) (m+2) 譏丁 “,由已知可彳尋+=,進而解得加 的值.f a! +a iW4解：(1)設(shè)公比為乞則由2,bq -at=8可得ni = l, ?=3,所以an=y.(2) 由(1)有 ,.=11 - 1,是一個以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以,所以吧+*嚴=*產(chǎn)刃，加-56=0,解得加=6,或m= - 1 (舍去)，所以m=6.18. 某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每

22、天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次0, 200(200, 400(400, 600空氣質(zhì)量等級1 (優(yōu))216252 (良)510123 (輕度污染)6784 (中度污染)720(1) 分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1, 2, 3, 4的概率；(2) 求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3) 若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表，并 根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的

23、人次與該市當天的空氣 質(zhì)量有關(guān)？人次400人次W400空氣質(zhì)董好空氣質(zhì)童不好附：K2=n(ad-bc)'(a十b) (c+d.) (a+c) (b十d)0.0500.0103.8416.6350.00110.828【分析】(1)用頻率估計概率，從而得到估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1, 2, 3, 4 的概率；(2)采用頻率分布直方圖估計樣本平均值的方法可得得答案;計算R的值，從而查表即可.解：(1)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為：少監(jiān)5=蓋;2的概率為：5+10+1227100100,3的概率為：6+7+821loo 100 ;4的概率為：7+2+0100 9100 ;該市一天的空

24、氣質(zhì)量等級為該市一天的空氣質(zhì)量等級為該市一天的空乞質(zhì)量等級為(2)由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為：x= 10()X0.20+300X0.35+500 X ().45=350；人次W400人次>40()總計空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2X2列聯(lián)表,總計55100Q5.802由夷申教根可傳.陷一"Gdbc)2_100X(33X8七7X22)2T一仏)(+) (”c) (b十d) 70X 30X 55X45_>3.841,所以有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).19. 如圖，在長方

25、體ABCD-AxBiCiDi中，點E, F分別在棱DDi9 BB】上，且2DE=EDhBF=2FBi.證明：(1) 當 AB=BC 時，EF±AC；(2) 點Ci在平面AEF內(nèi).【分析】(1)因為ABCD-AXBXCXDX是長方體，AB=BCf可得AC丄平面BBXDXD, 因為EFu平面BBiDjD,所以EF±AC.(2)取AAi上靠近A的三等分點M,連接DM9 CiF, MF.根據(jù)已知條件可得四邊形 AEDiM為平行四邊形，得DiM/AE9再推得四邊形CiDiMF為平行四邊形，所以 /7C1F,根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得AECF,所以A, E, F, Ci四點共而，即點Ci在

26、 平面AEF內(nèi).解：(1)因為ABCD-AiBiCiDi是長方體，所以BBi丄平面ABCD,而ACu平面ABCD, 所以AC丄BBi,因為ABCD-AxBxCxDx是長方體，且AB=BC,所以ABCD是正方形，所以AC±BD9 又 BDCBBi=B.所以AC丄平面又因為點E, F分別在梭DD- BBi上，所以EFu平面所以EF丄AC.(2)取AAi上靠近如的三等分點M,連接DiM, CiF, MF因為點 E 在 DDh 且 2DE=EDi9 所以 ED/AM,且 ED=AM9所以四邊形AEDiM為平行四邊形，所以DxM/AE9且DiM=AE,又因為 F 在 BBi 上，且 BF=2F

27、Bx9 所以 AxM/FBx9 且 A,M=FBi9所以AxBxFM為平行四邊形,所以 FM/AiBi9 FM=AxB9 即 FM/CiDh FM=CD,所以CxDxMF為平行四邊形，所以 DMCF,所以AE/CiFt所以A, E, F, G四點共面.所以點C在平面AEF內(nèi).20已知函數(shù)f (x) =x3-kx+k2.(1) 討論/ (x)的單調(diào)性；(2) 若f M有三個零點，求R的取值范圍.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論R的范國，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，得到關(guān)于R的不等式組，解出即可.解：(1) f (x) =x3 - kx+k2. f (x)

28、 =30 一 心RWO 時，廣(x) >0, f (x)在/?遞增,令廣(X)<0,A/ CO在(r>o時，令y7 (x) >o,解得：x>扌號或遞減，在,+°°)遞增,煤上，RWO時，f (x)在R遞增,增;«>0 時,/ (x)在(8,遞增，在(-遞減，在+ 8)遞(2)由(1)得：R>0, f (x)，卜值=/,/ (兀)鼻丸S=f (-若/(X)有三個零點,rk>of只需丿° ,解得：°VRV尋, f(弋)>04故 aw (0,).2 v221.已知橢圓C： 2L.=1 (0<

29、w/<5)的離心率為25 m2琴,A, B分別為C的左、右頂點.(1)求C的方程;(2)若點P在C上，點0在直線工=6上，且BP=BQ9 BP丄BQ,求ZUP0的面積.【分析】根據(jù)垃宀25,代入計算亦的值，求出c的方程即可;(2)設(shè)出P, 0的坐標，得到關(guān)于片t9 "的方程組，求出AP (8, 1) , AQ (11, 2),cb2解：由二得宀一尹J5(朋 25 即IT 一壽“=蒔2 2故"方程是：詁詈=1由A (5, 0),設(shè)P根據(jù)對稱性，只需考慮>0的情況，5 此時-5<5<5, 0V/W=,49：BP=BQ, 有(5-5) 2+r2=w2+l,又:BP丄BQ, s-5+M=0,又邑亠J=1，25255S-3X 聯(lián)立得丿t=l或< 1=1 ,s=3t二 1 時，AP (8, 1) , AQ (11, 2),n=22 -AQ2- (AP-AQ) 2=-|l8X2-11X1I=|,s=-