1、第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1); 解 =2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8 -0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3
2、-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然數(shù)從小到大為標準次序, 求下列各排列的逆序數(shù): (1)1 2 3 4; 解 逆序數(shù)為0 (2)4 1 3 2; 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序數(shù)為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解 逆序數(shù)為: 3 2 (1
3、個) 5 2, 5 4(2個) 7 2, 7 4, 7 6(3個) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解 逆序數(shù)為n(n-1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) × × × × × × (2n-1
4、)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解 含因子a11a23的項的一般形式為(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項分別是
5、(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3 . (2); 證明 . (3); 證明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d
6、); 證明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明 用數(shù)學歸納法證明. 當n=2時, , 命題成立. 假設(shè)對于(n-1)階行列式命題成立, 即 dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則dn按第一列展開, 有 =xd n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式d=det(ai
7、j), 把d上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90°、或依副對角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, d3=d . 證明因為d=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計算下列各行列式(dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解 (按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3); 解 根據(jù)第6題結(jié)果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展開) . 再按最后一行展開得遞推公式
8、 d2n=andnd2n-2-bncnd2n-2, 即d2n=(andn-bncn)d2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) d=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an¹0. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1); 解 因為 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因為 , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 . 令d=0, 得 m
9、=0或l=1. 于是, 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令d=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. 第三章矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2¸(-1), r3¸(-2). ) (下一步: r3-r2.
10、 ) (下一步: r3¸3. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r2´2+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r1¸2. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-
11、3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1«r2, r2´(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 設(shè), 求a. 解 是初等矩陣e(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣e(1, 2(1), 其逆矩陣是 e(1, 2(-1) . . 3. 試利用矩陣的初等變換, 求下列方陣的逆矩陣: (1); 解 故逆矩陣為. (2). 解 故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求x使ax=b; 解 因為 , 所以 . (2)設(shè), , 求x使xa=b. 解 考慮atxt=bt. 因為 ,
12、所以 , 從而 . 5. 設(shè), ax =2x+a, 求x. 解 原方程化為(a-2e)x =a. 因為 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r-1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r-1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , r(a)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣a中劃去一行得到矩陣b, 問a, b的秩的關(guān)系怎樣? 解 r(a)³r(b). 這是因為b的非零子式必是a的非零子式, 故a的秩不會小于b的秩. 8. 求作一個秩是4的方陣, 它的兩個行向量是(1, 0, 1, 0, 0
13、), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個最高階非零子式: (1); 解 (下一步: r1«r2. ) (下一步: r2-3r1, r3-r1. ) (下一步: r3-r2. ) , 矩陣的, 是一個最高階非零子式. (2); 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) (下一步: r3-3r2. ) , 矩陣的秩是2, 是一個最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (
14、下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r2¸16r4, r3-16r2. ) , 矩陣的秩為3, 是一個最高階非零子式. 10. 設(shè)a、b都是m´n矩陣, 證明ab的充分必要條件是r(a)=r(b). 證明 根據(jù)定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設(shè)r(a)=r(b), 則a與b的標準形是相同的. 設(shè)a與b的標準形為d, 則有ad, db.由等價關(guān)系的傳遞性, 有ab. 11. 設(shè), 問k為何值, 可使 (1)r(a)=1; (2)r(a)=2; (3)r(a)=3. 解 . (1)當k=1時, r(a)=1; (2)當k=-2且k¹1時,
15、r(a)=2; (3)當k¹1且k¹-2時, r(a)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1); 解對系數(shù)矩陣a進行初等行變換, 有 a=, 于是 , 故方程組的解為 (k為任意常數(shù)). (2); 解 對系數(shù)矩陣a進行初等行變換, 有 a=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). (3); 解 對系數(shù)矩陣a進行初等行變換, 有 a=, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對系數(shù)矩陣a進行初等行變換, 有 a=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1); 解 對增廣矩陣b進行初等行變
16、換, 有 b=, 于是r(a)=2, 而r(b)=3, 故方程組無解. (2); 解 對增廣矩陣b進行初等行變換, 有 b=, 于是 , 即 (k為任意常數(shù)). (3); 解 對增廣矩陣b進行初等行變換, 有 b=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). (4). 解 對增廣矩陣b進行初等行變換, 有 b=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù)). 14. 寫出一個以為通解的齊次線性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價地可以寫成 , 或 , 或 , 這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組. 15. l取何值時, 非齊次線性方程組. (1)有唯一解; (2)無解; (3)有無窮
17、多個解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須r(a)=3. 因此當l¹1且l¹-2時方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須r(a)<r(b), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2¹0. 因此l=-2時, 方程組無解. (3)要使方程組有有無窮多個解, 必須r(a)=r(b)<3, 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0. 因此當l=1時, 方程組有無窮多個解. 16. 非齊次線性方程組當l取何值時有解？并求出它的解. 解. 要使方程組有解, 必須(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 當
18、l=1時, , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當l=-2時, , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 17. 設(shè). 問l為何值時, 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時求解. 解 b= . 要使方程組有唯一解, 必須r(a)=r(b)=3, 即必須 (1-l)(10-l)¹0,所以當l¹1且l¹10時, 方程組有唯一解. 要使方程組無解, 必須r(a)<r(b), 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)¹0, 所以當l=10時, 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須r(a)=r(b)<
19、;3, 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以當l=1時, 方程組有無窮多解.此時，增廣矩陣為 b,方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數(shù)). 18. 證明r(a)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bt, 使a=abt. 證明 必要性. 由r(a)=1知a的標準形為 , 即存在可逆矩陣p和q, 使 , 或. 令, bt=(1, 0, ×××, 0)q-1, 則a是非零列向量, bt是非零行向量, 且a=abt. 充分性. 因為a與bt是都是非零向量, 所以a是非零矩陣, 從而r(a)³1. 因為 1
20、63;r(a)=r(abt)£minr(a), r(bt)=min1, 1=1, 所以r(a)=1. 19. 設(shè)a為m´n矩陣, 證明 (1)方程ax=em有解的充分必要條件是r(a)=m; 證明 由定理7, 方程ax=em有解的充分必要條件是r(a)=r(a, em),而| em|是矩陣(a, em)的最高階非零子式, 故r(a)=r(a, em)=m. 因此, 方程ax=em有解的充分必要條件是r(a)=m. (2)方程ya=en有解的充分必要條件是r(a)=n. 證明 注意, 方程ya=en有解的充分必要條件是atyt=en有解. 由(1) atyt=en有解的充分必
21、要條件是r(at)=n. 因此，方程ya=en有解的充分必要條件是r(a)=r(at)=n. 20. 設(shè)a為m´n矩陣, 證明: 若ax=ay, 且r(a)=n, 則x=y. 證明 由ax=ay, 得a(x-y)=o. 因為r(a)=n, 由定理9, 方程a(x-y)=o只有零解, 即x-y=o, 也就是x=y.第四章向量組的線性相關(guān)性 1. 設(shè)v1=(1, 1, 0)t, v2=(0, 1, 1)t, v3=(3, 4, 0)t, 求v1-v2及3v1+2v2-v3. 解 v1-v2=(1, 1, 0)t-(0, 1, 1)t =(1-0, 1-1, 0-1)t =(1, 0, -
22、1)t. 3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)t +2(0, 1, 1)t -(3, 4, 0)t =(3´1+2´0-3, 3´1+2´1-4, 3´0+2´1-0)t =(0, 1, 2)t. 2. 設(shè)3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)t, a2=(10, 1, 5, 10)t, a3=(4, 1, -1, 1)t. 解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)t. 3. 已知向量組 a: a1=(0, 1, 2, 3)t,
23、a2=(3, 0, 1, 2)t, a3=(2, 3, 0, 1)t; b: b1=(2, 1, 1, 2)t, b2=(0, -2, 1, 1)t, b3=(4, 4, 1, 3)t, 證明b組能由a組線性表示, 但a組不能由b組線性表示. 證明 由 知r(a)=r(a, b)=3, 所以b組能由a組線性表示. 由 知r(b)=2. 因為r(b)¹r(b, a), 所以a組不能由b組線性表示. 4. 已知向量組 a: a1=(0, 1, 1)t, a2=(1, 1, 0)t; b: b1=(-1, 0, 1)t, b2=(1, 2, 1)t, b3=(3, 2, -1)t, 證明a
24、組與b組等價. 證明 由,知r(b)=r(b, a)=2. 顯然在a中有二階非零子式, 故r(a)³2, 又r(a)£r(b, a)=2, 所以r(a)=2, 從而r(a)=r(b)=r(a, b). 因此a組與b組等價. 5. 已知r(a1, a2, a3)=2, r(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3線性表示. 證明 (1)由r(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4線性無關(guān), 故a2, a3也線性無關(guān). 又由r(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3線性相關(guān), 故a1能
25、由a2, a3線性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3線性表示, 則因為a1能由a2, a3線性表示, 故a4能由a2, a3線性表示, 從而a2, a3, a4線性相關(guān), 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3線性表示. 6. 判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān): (1) (-1, 3, 1)t, (2, 1, 0)t, (1, 4, 1)t; (2) (2, 3, 0)t, (-1, 4, 0)t, (0, 0, 2)t. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為a. 因為 , 所以r(a)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān). (2)以所給向量為列向量的矩陣記為b.
26、 因為 , 所以r(b)=3等于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相無關(guān). 7. 問a取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)t, a2=(1, a, -1)t, a3=(1, -1, a)t. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為a. 由 知, 當a=-1、0、1時, r(a)<3, 此時向量組線性相關(guān). 8. 設(shè)a1, a2線性無關(guān), a1+b, a2+b線性相關(guān), 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因為a1+b, a2+b線性相關(guān), 故存在不全為零的數(shù)l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設(shè), 則 b=ca1-(1+c)a2,
27、cÎr. 9. 設(shè)a1, a2線性相關(guān), b1, b2也線性相關(guān), 問a1+b1, a2+b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當a1=(1, 2)t, a2=(2, 4)t, b1=(-1, -1)t, b2=(0, 0)t時, 有 a1+b1=(1, 2)t+b1=(0, 1)t, a2+b2=(2, 4)t+(0, 0)t=(2, 4)t, 而a1+b1, a2+b2的對應(yīng)分量不成比例, 是線性無關(guān)的. 10. 舉例說明下列各命題是錯誤的: (1)若向量組a1, a2, × × ×, am是線性相關(guān)的, 則a1可由a2, &#
28、215; × ×, am線性表示. 解 設(shè)a1=e1=(1, 0, 0, × × ×, 0), a2=a3= × × × =am=0, 則a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), 但a1不能由a2, × × ×, am線性表示. (2)若有不全為0的數(shù)l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0成立
29、, 則a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性相關(guān). 解 有不全為零的數(shù)l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam +l1b1+ × × × +lmbm =0,原式可化為l1(a1+b1)+ × × × +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, × × ×, am=em=-bm, 其
30、中e1, e2, × × ×, em為單位坐標向量, 則上式成立, 而a1, a2, × × ×, am和b1, b2, × × ×, bm均線性無關(guān). (3)若只有當l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0才能成立, 則a1, a2, × × ×, am線性無關(guān), b1, b2, ×
31、5; ×, bm亦線性無關(guān). 解 由于只有當l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式由l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm =0成立, 所以只有當l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ × × × +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, × × ×, am+bm線性無關(guān). 取a1=a2=
32、× × × =am=0, 取b1, × × ×, bm為線性無關(guān)組, 則它們滿足以上條件, 但a1, a2, × × ×, am線性相關(guān). (4)若a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性相關(guān), 則有不全為0的數(shù), l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam=0, l1b1+ × × ×
33、; +lmbm=0同時成立. 解 a1=(1, 0)t, a2=(2, 0)t, b1=(0, 3)t, b2=(0, 4)t, l1a1+l2a2 =0Þl1=-2l2,l1b1+l2b2 =0Þl1=-(3/4)l2,Þl1=l2=0, 與題設(shè)矛盾. 11. 設(shè)b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 證明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 證明 由已知條件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3
34、-b4+a1,從而 b1-b2+b3-b4=0, 這說明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 12. 設(shè)b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量組a1, a2, × × × , ar線性無關(guān), 證明向量組b1, b2, × × × , br線性無關(guān). 證明 已知的r個等式可以寫成,上式記為b=ak. 因為|k|=1¹0, k可逆, 所以r(b)=r(a)=r, 從而向量組b1, b2, ×
35、× × , br線性無關(guān). 13. 求下列向量組的秩, 并求一個最大無關(guān)組: (1)a1=(1, 2, -1, 4)t, a2=(9, 100, 10, 4)t, a3=(-2, -4, 2, -8)t; 解由 , 知r(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線性無關(guān), 所以a1, a2是一個最大無關(guān)組. (2)a1t=(1, 2, 1, 3), a2t=(4, -1, -5, -6), a3t=(1, -3, -4, -7). 解 由, 知r(a1t, a2t, a3t)=r(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1t與a2t的
36、分量不成比例, 故a1t, a2t線性無關(guān), 所以a1t, a2t是一個最大無關(guān)組. 14. 利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組: (1); 解 因為,所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組. (2). 解 因為,所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組. 15. 設(shè)向量組(a, 3, 1)t, (2, b, 3)t, (1, 2, 1)t, (2, 3, 1)t的秩為2, 求a, b. 解 設(shè)a1=(a, 3, 1)t, a2=(2, b, 3)t, a3=(1, 2, 1)t, a4=(2, 3, 1)t. 因為, 而r(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5
37、. 16. 設(shè)a1, a2, × × ×, an是一組n維向量, 已知n維單位坐標向量e1, e2,× × ×, en能由它們線性表示, 證明a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 證法一 記a=(a1, a2, × × ×, an), e=(e1, e2,× × ×, en). 由已知條件知, 存在矩陣k, 使e=ak. 兩邊取行列式, 得|e|=|a|k|.可見|a|¹0, 所以r(a)=n, 從而a1, a2, ×
38、 × ×, an線性無關(guān). 證法二 因為e1, e2,× × ×, en能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 所以r(e1, e2,× × ×, en)£r(a1, a2, × × ×, an),而r(e1, e2,× × ×, en)=n, r(a1, a2, × × ×, an)£n, 所以r(a1, a2, × × ×, an)=
39、n, 從而a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 17. 設(shè)a1, a2, × × ×, an是一組n維向量, 證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是: 任一n維向量都可由它們線性表示. 證明 必要性: 設(shè)a為任一n維向量. 因為a1, a2, × × ×, an線性無關(guān), 而a1, a2, × × ×, an, a是n+1個n維向量, 是線性相關(guān)的, 所以a能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一
40、n維向量都可由a1, a2, × × ×, an線性表示, 故單位坐標向量組e1, e2, × × ×, en能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 于是有n=r(e1, e2, × × ×, en)£r(a1, a2, × × ×, an)£n,即r(a1, a2, × × ×, an)=n, 所以a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 18. 設(shè)向
41、量組a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), 且a1¹0, 證明存在某個向量ak (2£k£m), 使ak能由a1, a2, × × ×, ak-1線性表示. 證明 因為a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), 所以存在不全為零的數(shù)l1, l2, × × ×, lm, 使l1a1+l2a2+ × × × +lmam=0,而且l2, l3,× × ×, lm不全為零. 這是因為,
42、如若不然, 則l1a1=0, 由a1¹0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2£k£m), 使lk¹0, lk+1=lk+2= × × × =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ × × × +lkak=0,ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+ × × × +lk-1ak-1),即ak能由a1, a2, × × ×, ak-1線性表示. 19. 設(shè)向量組b: b1, × × ×, br能由向量組a: a
43、1, × × ×, as線性表示為(b1, × × ×, br)=(a1, × × ×, as)k, 其中k為s´r矩陣, 且a組線性無關(guān). 證明b組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣k的秩r(k)=r. 證明令b=(b1, × × ×, br), a=(a1, × × ×, as), 則有b=ak. 必要性: 設(shè)向量組b線性無關(guān). 由向量組b線性無關(guān)及矩陣秩的性質(zhì), 有 r=r(b)=r(ak)£minr(a), r(k)
44、3;r(k), 及 r(k)£minr, s£r.因此r(k)=r. 充分性: 因為r(k)=r, 所以存在可逆矩陣c, 使為k的標準形. 于是 (b1, × × ×, br)c=( a1, × × ×, as)kc=(a1, × × ×, ar). 因為c可逆, 所以r(b1, × × ×, br)=r(a1, × × ×, ar)=r, 從而b1, × × ×, br線性無關(guān). 20. 設(shè),證
45、明向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn等價. 證明 將已知關(guān)系寫成,將上式記為b=ak. 因為,所以k可逆, 故有a=bk -1. 由b=ak和a=bk -1可知向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn可相互線性表示. 因此向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn等價. 21. 已知3階矩
46、陣a與3維列向量x滿足a3x=3ax-a2x, 且向量組x, ax, a2x線性無關(guān). (1)記p=(x, ax, a2x), 求3階矩陣b, 使ap=pb; 解 因為 ap=a(x, ax, a2x) =(ax, a2x, a3x) =(ax, a2x, 3ax-a2x) , 所以. (2)求|a|. 解 由a3x=3ax-a2x, 得a(3x-ax-a2x)=0. 因為x, ax, a2x線性無關(guān), 故3x-ax-a2x¹0, 即方程ax=0有非零解, 所以r(a)<3, |a|=0. 22. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: (1); 解對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有 ,
47、 于是得 . 取(x3, x4)t=(4, 0)t, 得(x1, x2)t=(-16, 3)t; 取(x3, x4)t=(0, 4)t, 得(x1, x2)t=(0, 1)t. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(-16, 3, 4, 0)t, x2=(0, 1, 0, 4)t. (2). 解 對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)t=(19, 0)t, 得(x1, x2)t=(-2, 14)t; 取(x3, x4)t=(0, 19)t, 得(x1, x2)t=(1, 7)t. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(-2, 14, 19, 0)t, x2=(1, 7, 0,
48、19)t. (3)nx1 +(n-1)x2+ × × × +2xn-1+xn=0. 解 原方程組即為xn=-nx1-(n-1)x2- × × × -2xn-1. 取x1=1, x2=x3= × × × =xn-1=0, 得xn=-n; 取x2=1, x1=x3=x4= × × × =xn-1=0, 得xn=-(n-1)=-n+1; × × × ; 取xn-1=1, x1=x2= × × × =xn-2=0, 得xn=
49、-2. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 0, 0, × × ×, 0, -n)t, x2=(0, 1, 0, × × ×, 0, -n+1)t, × × ×, xn-1=(0, 0, 0, × × ×, 1, -2)t. 23. 設(shè), 求一個4´2矩陣b, 使ab=0, 且r(b)=2. 解 顯然b的兩個列向量應(yīng)是方程組ab=0的兩個線性無關(guān)的解. 因為 , 所以與方程組ab=0同解方程組為 . 取(x3, x4)t=(8, 0)t, 得(x1, x2)t=(
50、1, 5)t; 取(x3, x4)t=(0, 8)t, 得(x1, x2)t=(-1, 11)t. 方程組ab=0的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 5, 8, 0)t, x2=(-1, 11, 0, 8)t. 因此所求矩陣為. 24. 求一個齊次線性方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為x1=(0, 1, 2, 3)t , x2=(3, 2, 1, 0)t . 解 顯然原方程組的通解為, 即, (k1, k2Îr), 消去k1, k2得,此即所求的齊次線性方程組. 25. 設(shè)四元齊次線性方程組 i: , ii: . 求: (1)方程i與ii的基礎(chǔ)解系; (2) i與ii的公共解. 解 (1)由方程i得
51、. 取(x3, x4)t=(1, 0)t, 得(x1, x2)t=(0, 0)t; 取(x3, x4)t=(0, 1)t, 得(x1, x2)t=(-1, 1)t. 因此方程i的基礎(chǔ)解系為 x1=(0, 0, 1, 0)t, x2=(-1, 1, 0, 1)t. 由方程ii得. 取(x3, x4)t=(1, 0)t, 得(x1, x2)t=(0, 1)t; 取(x3, x4)t=(0, 1)t, 得(x1, x2)t=(-1, -1)t. 因此方程ii的基礎(chǔ)解系為 x1=(0, 1, 1, 0)t, x2=(-1, -1, 0, 1)t. (2) i與ii的公共解就是方程 iii: 的解. 因
52、為方程組iii的系數(shù)矩陣 , 所以與方程組iii同解的方程組為 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)t=(-1, 1, 2)t, 方程組iii的基礎(chǔ)解系為 x=(-1, 1, 2, 1)t. 因此i與ii的公共解為x=c(-1, 1, 2, 1)t, cÎr. 26. 設(shè)n階矩陣a滿足a2=a, e為n階單位矩陣, 證明r(a)+r(a-e)=n. 證明 因為a(a-e)=a2-a=a-a=0, 所以r(a)+r(a-e)£n. 又r(a-e)=r(e-a), 可知r(a)+r(a-e)=r(a)+r(e-a)³r(a+e-a)=r(e)=n,由此r(a)+r(a-e)=n. 27. 設(shè)a為n階矩陣(n³2), a*為a的伴隨陣, 證明. 證明 當r(a)=n時, |a|¹0, 故有 |aa*|=|a|e|=|a|¹0, |a*|¹0, 所以r(a*)=n. 當
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