數(shù)學(xué)在物理解題中的應(yīng)用1

1、數(shù)學(xué)在物理解題中的應(yīng)用（洛陽市第十九中學(xué) 徐學(xué)金 65660131）數(shù)學(xué)是解決物理問題的基本工具和途徑，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題是新課標(biāo)高考考試大綱中要求考查的五種能力之一。考試大綱中明確要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。因此，培養(yǎng)學(xué)生熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題是中學(xué)物理教學(xué)的任務(wù)之一，教師在平時的教學(xué)工作中要特別注意物理問題和數(shù)學(xué)方法的有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生能夠熟練利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題。利用數(shù)學(xué)解決物理問題的流程圖如下：物理問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解物理問題的解分析、聯(lián)想、抽象概括推理演算

2、還原說明本文梳理了一下數(shù)學(xué)知識在解決物理問題的具體應(yīng)用，與各位同仁商榷。1、 三角形知識在解決物理問題中的應(yīng)用1、 正弦定理的應(yīng)用 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即圖1 例1.（2008年四川延理綜考卷）兩個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連，放置在一個光滑的半球面內(nèi)，如圖1所示。己知小球a和b的質(zhì)量之比為，細(xì)桿長度是球面半徑的倍。兩球處于平衡狀態(tài)時，細(xì)桿與水平面的夾角是 a450 b300 c22.50 d150abo圖2解析：由題目中的數(shù)據(jù)可以得出，abo三點(diǎn)組成一個等腰直角三角形。所以兩底角都為。對兩球進(jìn)行受力分析，由于球面光滑，所以兩球都只受到

3、3個力，如圖2所示：重力、球面的支持力、剛性細(xì)桿的彈力。由于是剛性細(xì)桿，所以剛性細(xì)桿對兩球的彈力均沿著桿方向，且對兩球的彈力大小相等。兩球處于平衡狀態(tài)是，兩球受到的合力都為零。兩球受到的三個力都組成一個封閉的力的矢量三角形。再由正弦定理列出等式。對球：，對球：，所以：，即，所以。答案d正確。2、 余弦定理的應(yīng)用 余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍。 例2、（2007寧夏理綜）在半徑為r的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b。一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑ad方向raopdq圖3經(jīng)p

4、點(diǎn)（apd）射入磁場（不計重力影響）。如果粒子恰好從a點(diǎn)射出磁場，求入射粒子的速度。如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)q點(diǎn)從磁場中射出，出射方向與半圓在q點(diǎn)切線方向的夾角為（如圖3）。求入射粒子的速度。解析：由于粒子垂直ap入射，則ap是粒子圓軌跡的直徑有 r1=0.5d設(shè)粒子速度為v1，根據(jù)牛頓第二定律drr2圖4 解得 連接pq，并且作pq的中垂線交ap于o點(diǎn)，則o為軌跡的圓心，如圖4。設(shè)粒子的入射速度為v2，軌道半徑為r2。在o oq中有 o o= r+ r2 d，oq=r，oq=r2，根據(jù)余弦定理有（r+ r2 d）2= r2+ r22-2 r r2cos又 連立以上二式化簡得 3、 相似三角形相似三角

5、形法：通常是尋找一個矢量三角形與一個幾何三角形相似，由對應(yīng)邊成比例列出方程求解。這一方法常用來解決三力平衡問題和幾何光學(xué)問題。（1）相似三角形在力學(xué)中的應(yīng)用圖5例3、（1993年全國高考試題）兩根長度相等的輕繩,下端懸掛一質(zhì)量為m的物體,上端分別固定在水平天花板上的m、n點(diǎn),m、n兩點(diǎn)間的距離為s,如圖5所示已知兩繩所能經(jīng)受的最大拉力均為t,則每根繩的長度不得短于       解析：以質(zhì)量為m的物體為研究對象進(jìn)行受力分析可知：物體受三個力作用：重力mg、兩根繩子的拉力大小相等。如圖6所示。設(shè)每根繩子的長度不得低于l，繩子的最大拉力為t

6、。將重力mg沿繩子方向分解為g1和g2，g1=g2=t。由題意和平行四邊形定則可知：平行四邊形og1cg2是菱形。利用obn與odg1相似可得：圖6解得：圖7又例：（09·江蘇物理）用一根長1m的輕質(zhì)細(xì)繩將一副質(zhì)量為1kg的畫框?qū)ΨQ懸掛在墻壁上，如圖7所示，已知繩能承受的最大張力為，為使繩不斷裂，畫框上兩個掛釘?shù)拈g距最大為（?。?（ ） a b c d此題也可以用相似三角形法，解題思路與例3題一樣。答案a。例4、試推導(dǎo)物體做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度的表達(dá)式：乙甲圖8推導(dǎo)：推導(dǎo)向心加速度大小關(guān)鍵是用線速度v和半徑r等物理量表示中的v。如上圖8所示，va vb是時間間隔t前后的速度，為了

7、求兩個之差v=va-vb，移動va使它們的起點(diǎn)放在一起，這樣就構(gòu)建起一個矢量三角形，由圖8（乙）可見，這個矢量三角形與幾何三角形aob相似。則對應(yīng)邊成比例。 由于是勻速圓周運(yùn)動， 上式可以寫成： 兩邊同除以t得 當(dāng)時， 上式就可以寫成（2）相似三角形在光學(xué)中的應(yīng)用例5、（2010年全國卷）某人手持邊長為6cm的正方形平面鏡測量身后一棵樹的高度。測量時保持鏡面與地面垂直，鏡子與眼睛的距離為0.4m。在某位置時，他在鏡中恰好能夠看到整棵樹的像；然后他向前走了6.0m，發(fā)現(xiàn)用這個鏡子長度的5/6就能看到整棵樹的像。這棵樹的高度約為a4.0m b4.5m c5.0m d5.5m眼睛樹的像樹圖9解析：如

8、圖9是恰好看到樹時的反射光路，由圖中的三角形相似可得，即。人離樹越遠(yuǎn)，視野越大，看到樹所需鏡面越小，同理有，以上兩式解得l=29.6m，h=4.5m。答案：b2、 一元二次函數(shù)在解決物理問題中的應(yīng)用 許多物理過程，一個物理量隨另一個物理量的變化可以用一元二次函數(shù)來表示，因此，我們可以用根的判別式、極值法等來解決物理問題。1、判別式法：對于一元二次方程+b+c0，若判別式0，則方程有實(shí)數(shù)解；0，則方程無實(shí)數(shù)解。圖10例6、（08年四川卷）如圖10示，一半徑為r的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上。整個空間存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下。一電荷量為q（q0）、質(zhì)量為m的小球p在球面上做水

9、平的勻速圓周運(yùn)動，圓心為o/。球心o到該圓周上任一點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為（0）。為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值及小球p相應(yīng)的速率。重力加速度為g。 解析：據(jù)題意，小球p在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動，該圓周的圓心為o。p受到向下的重力mg、球面對它沿op方向的支持力n和磁場的洛侖茲力                   fqvb  根據(jù)牛頓第二定律：  

10、0;   解得：    由于v是實(shí)數(shù)，必須滿足：0    由此得： b     可見，為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值為                    此時，帶電小球做勻速圓周運(yùn)動的速率為：    解得：2、極值法：對于一元二次函數(shù)y=+b+

11、c，若0，則當(dāng)=時，有ymin=；若0，則當(dāng)=時，有ymax=。 例7、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時一輛自行車以6m/s的速度駛來，從后面超越汽車。求汽車從路口開動后，汽車追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？此時兩車間距離是多少？解析：設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)t秒兩車相距最遠(yuǎn)，則：即因?yàn)?，所以?yīng)存在最大值；當(dāng)時，m。即汽車追上自行車之前經(jīng)過2s兩車相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為6m。3、 圖像法：利用二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)來解決問題。圖11例8、如圖11所示，半徑為r的光滑圓環(huán)固定在光滑水平面上，圓環(huán)中心安放一帶電量為q的正電荷，另有磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻

12、強(qiáng)磁場垂直圓環(huán)平面已知一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球貼著圓環(huán)內(nèi)壁做圓周運(yùn)動，若小球的運(yùn)動速率從零開始逐漸增大，請?zhí)骄繄A環(huán)對小球的水平彈力fn將如何變化？解析：帶電小球在做圓周運(yùn)動的過程中受到電場力fe、洛倫茲力fb和彈力fn的作用，其合力即為小球做圓周運(yùn)動的向心力，由圖可知：其中fb=qvb，fe=kqq/r2，代入上式可得：上式中m、r、b、q、k、q均為常數(shù)，所以fn為v的二次函數(shù)對照y=ax2+bx+c，有a=m/r，b=bq，c=kqq/r2 因a>0，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小值，圖像是先遞減在遞增。當(dāng)時，fn最小，最小值為可見，隨著小球運(yùn)動速度的增大，圓環(huán)對小球的

13、彈力fn先減小、后增大，且最小值出現(xiàn)在v=bqr/2m時。 3、 均值不等式在解決物理問題中的應(yīng)用1、如果a，b為正數(shù)，那么有： ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，上式取“=”號。推論：兩個正數(shù)的積一定時，兩數(shù)相等時，其和最小。兩個正數(shù)的和一定時，兩數(shù)相等時，其積最大。2、如果a，b，c為正數(shù)，則有 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，上式取“=”號。推論：三個正數(shù)的積一定時，三數(shù)相等時，其和最小。三個正數(shù)的和一定時，三數(shù)相等時，其積最大。圖12例9、在電視節(jié)目中我們常常能看到一種精彩的水上運(yùn)動滑水板，如圖12所示.運(yùn)動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設(shè)滑板是光滑的.若運(yùn)動員與滑板的總質(zhì)量為m=

14、70 kg，滑板的總面積為s=0.12 m2，水的密度為=1.0×103 kg/m3.理論研究表明：當(dāng)滑板與水平方向的夾角（板前端抬起的角度）為時，水對板的作用力大小為nsv2sin2，方向垂直于板面.式中v為快艇的牽引速度，s為滑板的滑水面積，求為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度.解析：選取滑板和運(yùn)動員作為研究對象，對其受力分析如圖13所示，滑板和運(yùn)動員共受三個力的作用，即：重力g，水對滑板的彈力fn（方向與滑板板面垂直）及繩子對運(yùn)動員的拉力f。由物體的平衡條件可得：，圖13fnmgf又由題中所給的理論模型：，可得：由式中可知：快艇的最小速度只由決定。令，則有：由

15、基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，y有最大值：?？焱ё钚∷俣鹊谋磉_(dá)式為：代入數(shù)據(jù)，得：4、 三角函數(shù)在解決物理問題中的應(yīng)用 三角函數(shù)在解決物理中應(yīng)用十分廣泛，此處僅舉一例，利用三角函數(shù)求極值的問題。對函數(shù)y=，可將該式化為y=，從而得到。（其中，）例10、質(zhì)量為m=10kg的木箱置于水平地面上，它與地面間動摩擦因數(shù)，受到一個與水平方向成角斜向上的拉力f，為使木箱做勻速直線運(yùn)動，拉力f的最小值多大？ 此時為多大？（g=10n/kg）解析：木箱受四個力作用，如圖14所示。由平衡條件知：圖14 （1） （2） （3）由（1）、（2）、（3）式可得：f=其中將代入上式得： 當(dāng)30°時，。五、數(shù)

16、列知識在解決物理問題中的應(yīng)用 多過程和重復(fù)性是涉及到數(shù)列求解物理問題所具有的特點(diǎn)，這類問題求解的基本思路是：利用數(shù)學(xué)歸納法找出物理量之間的遞推關(guān)系，最后得出結(jié)論?？偨Y(jié)歸納出問題的數(shù)學(xué)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵。圖15例11、（2008年四川理綜）一傾角為45°的斜血固定于地面，斜面頂端離地面的高度h01m，斜面底端有一垂直于斜而的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？解析：設(shè)小物塊從高為h處由靜止

17、開始沿斜面向下運(yùn)動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運(yùn)動的加速度為a，依牛頓第二定律得 設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則 以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為 由式得 設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運(yùn)動的加速度大小為a， 依牛頓第二定律有 小物塊沿斜面向上運(yùn)動的最大高度為 由式得 式中 同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量 由式得 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項(xiàng)為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 n·s 六、導(dǎo)數(shù)在解決物理問題中的應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)選修2-2（人教版）第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”已列入高中數(shù)學(xué)教學(xué)大

18、綱，導(dǎo)數(shù)與微積分初步知識在物理中的應(yīng)用，將成為高考的熱點(diǎn)之一。圖161、一般地，函數(shù)在處的瞬時變化率為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。由此，物體的位移關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時速度，磁通量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)即為感應(yīng)電動勢等等，實(shí)際上導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率。例12、（2003廣東高考）如圖16所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，每根導(dǎo)軌每米的電阻為r00.10/m，導(dǎo)軌的端點(diǎn)p、q用電阻可忽略的導(dǎo)線相連，兩導(dǎo)軌間的距離l0.20m。有隨時間變化的勻強(qiáng)磁場垂直于桌面，已知磁感強(qiáng)度b與時間t的關(guān)系為bkt，比例系數(shù)k0.020t/s，一電阻不計的金屬桿可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導(dǎo)軌垂直，

19、在t0時刻，金屬桿緊靠在p、q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒樱笤趖6.0s時金屬桿所受的安培力。解析：設(shè)金屬桿運(yùn)動的加速度為，則時刻t穿過回路的磁通量為 其中 因此，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律e回路的總電阻r= 回路中的感應(yīng)電流i=作用于桿的安培力 解得 ，代入數(shù)據(jù)n該題同時涉及動生電動勢和感生電動勢，難度較大，但用導(dǎo)數(shù)計算回路中的感應(yīng)電動勢思路清晰、方法簡潔，避免了學(xué)生錯誤地只應(yīng)用公式e或e進(jìn)行計算。2、利用導(dǎo)數(shù)求物理極值一般地，求函數(shù)極值的方法是：解方程，當(dāng)時（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)則是極大值（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)則是極小值如果在某一區(qū)間內(nèi)只有一個極

20、值則該極值即為最值。例13、 一輛小車在軌道上行駛的速度為可達(dá)50km/h，在軌道外的平地上行使速度可達(dá)40km/h，與軌道的垂直距離為30km的處有一基地，如圖所示，問小車從基地出發(fā)到離點(diǎn)100km的處的過程中最短需要多少時間（設(shè)小車在不同路面上的運(yùn)動都是勻速運(yùn)動，啟動時的加速時間可忽略不計）？解析 ： 如圖17所示，設(shè)段的距離為則小車走完全程所用時間可表示為：dbfanm圖17求的導(dǎo)數(shù)得令即，解得。當(dāng)時，；當(dāng)時時，（左負(fù)右正）。因此當(dāng)時，時間有最小值，即 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識求物理極值的目的在于拓寬學(xué)生的解題思路，開拓視野，展示物理和數(shù)學(xué)的密切關(guān)系，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。7、 微

21、積分思想在解決物理問題中的應(yīng)用 微積分思想的核心是“以直代曲”，具體實(shí)施步驟有分割、近似代替、求和、取極限即所謂“四步曲”，具體計算時應(yīng)用微積分基本定理：一般地，如果函數(shù)是區(qū)間a b上的連續(xù)函數(shù)，并且，則。圖18例14、（上海高考）為研究靜電除塵，有人設(shè)計了一個盒狀容器，容器側(cè)面是絕緣的透明有機(jī)玻璃，它的上下底面是面積a0.04m2的金屬板，間距l(xiāng)0.05m，當(dāng)連接到u2500v的高壓電源正負(fù)兩極時，能在兩金屬板間產(chǎn)生一個勻強(qiáng)電場，如圖18所示，現(xiàn)把一定量均勻分布的煙塵顆粒密閉在容器內(nèi)，每立方米有煙塵顆粒1013個，假設(shè)這些顆粒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，每個顆粒帶電量為q+1.0×1017c，

22、質(zhì)量為m2.0×1015kg，不考慮煙塵顆粒之間的相互作用和空氣阻力，忽略煙塵顆粒所受重力。求合上電鍵后(1)經(jīng)過多長時間煙塵顆?？梢员蝗课?？(2),除塵過程中電場對煙塵顆粒共做了多少功？(3) 經(jīng)過多長時間容器中煙塵顆粒的總動能達(dá)到最大？解：（1）當(dāng)最靠近上表面的煙塵顆粒被吸附到下板時，煙塵顆粒就被全部吸附。煙塵顆粒受到的電場力為顆粒運(yùn)動的位移為 所以 （2）在距離下極板為y遠(yuǎn)處取平行于極板厚度為dy 的介質(zhì)薄層，此微元的帶電量這一微元從該處運(yùn)動至下極板處，電場力做功兩板間全部塵埃從初位置運(yùn)動至下極板電場力做的總功為即 ，代入數(shù)據(jù)得，j（3）當(dāng)最靠近上表面的煙塵顆粒下落距離為時，由動能定理可得尚未被吸附的顆?？倓幽?令解得顯