第十四講典型試題分析

1、第十四講典型試題分析小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽實(shí)際上就是解題能力的競(jìng)賽多做好題是提高解題能力的有效途徑本講中精選了各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一些典型試題進(jìn)行分析與解答，希望對(duì)開(kāi)拓思路能起一點(diǎn)作用例1龜兔賽跑，全程5.2公里，兔子每小時(shí)跑20公里，烏龜每小時(shí)3公里，烏龜不停地跑，但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分鐘后玩20分鐘，又跑2分鐘然后玩20分鐘，再跑3分鐘然后玩20分鐘，問(wèn)先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快多少分鐘？分析 只要分別求出烏龜和兔子到達(dá)終點(diǎn)各用了多少分鐘解：烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)所用時(shí)間為：如果兔子不停地跑，那么它到達(dá)終點(diǎn)所用時(shí)間為：達(dá)終點(diǎn)了，共用時(shí)間：所以烏龜比兔子早到例2下圖是兩個(gè)互相嚙合的齒輪，大的是主動(dòng)輪，小的是從

2、動(dòng)輪，大齒輪半徑為105，小齒輪半徑為90現(xiàn)在兩個(gè)齒輪的標(biāo)志線在同一直線上，問(wèn)大齒輪至少轉(zhuǎn)了多少整圈后，兩條標(biāo)志線又在同一直線上？分析 這道題可以看成下面的問(wèn)題：在a點(diǎn)有甲、乙二人，同時(shí)、同速出發(fā)分別沿著兩條跑道跑圈，問(wèn)甲沿左邊大圈至少跑了多少圈后，乙沿右邊小圈跑到了a點(diǎn)或b點(diǎn)？解：由于要求乙到達(dá)a點(diǎn)或b點(diǎn)，所以乙跑的路程應(yīng)該是小圓周長(zhǎng)一半的倍數(shù)；又由于乙與甲跑的路程相等，所以問(wèn)題就變成了：大圓周長(zhǎng)的至少多少倍是小圓周長(zhǎng)一半的倍數(shù)？設(shè)甲跑了n圈，則有 答：主動(dòng)輪至少轉(zhuǎn)3圈，兩條標(biāo)志線又在一條直線上說(shuō)明：變換問(wèn)題的敘述方式，往往是發(fā)現(xiàn)解題思路的重要手段例3王師傅在某個(gè)特殊崗位上工作，他每上8天班

3、后，就連續(xù)休息兩天，如果這個(gè)星期六和星期天他休息，那么至少再過(guò)幾個(gè)星期后，他才能又在星期天休息？分析 首先應(yīng)該計(jì)算出至少過(guò)了多少天，王師傅又在星期天休息，由于他是連續(xù)休息2天，因此可能出現(xiàn)兩種情況：星期六和星期天，星期天和星期一解：由于王師傅工作8天，休息2天，所以每10天一循環(huán)，設(shè)過(guò)了n個(gè)10天又是星期天，那么總天數(shù)就是10n天，又由于每過(guò)7天是一個(gè)星期天，這就要求10n是7的倍數(shù)，因此n至少等于7，總天數(shù)就是70天；另外一種情況是過(guò)了n個(gè)10天是星期一，也可以使王師傅在星期天休息，同樣的分析可以知道，10n1是7的倍數(shù)，這時(shí)n至少等于5，總天數(shù)為10×5149（天）由于4970，

4、所以第二種情況在第一種情況之前出現(xiàn)，這就說(shuō)明王師傅至少過(guò)49天才又在星期天休息，而不難算出49天等于7個(gè)星期答：王師傅至少過(guò)7個(gè)星期又在星期天休息例4祖父現(xiàn)在的年齡是小明年齡的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍，又過(guò)幾年以后，祖父年齡將是小明年齡的4倍，求祖父今年多少歲？分析 在“年齡問(wèn)題”中，有一條差不變?cè)硪⒁猓簿褪钦f(shuō)無(wú)論什么時(shí)候，祖、孫二人的年齡差都是一樣的解：設(shè)祖、孫二人今年的年齡分別為x和y，根據(jù)已知條件：今年祖父年齡是小明年齡的6倍，就有：xy5y，設(shè)過(guò)a年后，祖父年齡是小明年齡的5倍，由差不變?cè)碇溃簒y4（ya），設(shè)過(guò)b年后，祖父年齡是小明年齡的4倍，同樣道理又有

5、：xy3（yb），綜合上面三個(gè)式子有：5y4（ya）5y3（yb）整理后得：y4a2y3b，也就是 8a3b從這個(gè)式子看出應(yīng)該有：a3，b8，從而就有y4×312x6×1272答：祖父今年72歲說(shuō)明：事實(shí)上，從8a3b這個(gè)公式看出a應(yīng)為3的倍數(shù)，b為8的倍數(shù)，如果取a6、b16或更大的話，將得出不合常理的結(jié)果例5下圖中8個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)注數(shù)字a，b，c，d，e，f，g，h，（abcd）（efgh）的值解：由已知條件得：3abde3bacf3cbdg3dach把這四式相加，得3（abcd）2（abcd）（efgh）abcdefgh（abcd）（efgh）0例6從1100這100個(gè)不

6、等的數(shù)中，每次取出2個(gè)數(shù)，要使它們的和大于100，有多少種不同的取法？分析 在這100個(gè)不等的數(shù)中，每次取出2個(gè)其中必有一個(gè)較小的，又這二數(shù)之和要大于100，我們可以枚舉較小數(shù)的所有可能取值情況來(lái)討論解：較小數(shù)是1，有1種取法，即（1，100）；較小數(shù)是2，有2種取法，即（2，99），（2，100）；較小數(shù)是50，有50種取法，即（50，51），（50，52），（50，53），（50，100）；較小數(shù)是51，有49種取法，即（51，52），（51，53），（51，54），（51，100）；較小數(shù)是99，有1種取法，即（99，100）所以共有取法：12495049212（124950）50250

7、0（種）例7有a、b、c三人參加m項(xiàng)全能比賽，在每一個(gè)項(xiàng)目中，第一名、第二名和第三名分別得分p1、p2和p3，它們都是自然數(shù)，并且p1p2p3，最后計(jì)算總分時(shí)，a得22分，b與c均得9分，b跑百米第一，問(wèn)：m等于多少？在跳高比賽中，誰(shuí)得第二名？分析 我們來(lái)分析如何求m，由于題中已知有百米和跳高兩項(xiàng)比賽，所以m至少是2，又由已知條件知有：m（p1p2p3）229×240所以m是40的約數(shù)，m的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需依次枚舉試驗(yàn)，淘汰非解解：由于p13，p22，p11，因此m（123）m（p1p2p3）40也就是m6，這樣一來(lái)m只有三種可能取值了：2、4、5

8、下面我們分別討論如果m2，這時(shí)只有百米和跳高兩項(xiàng)比賽，由于b在百米賽中得分p1，他的總分只有9分，因此p1至多等于8，這樣a無(wú)論如何也得不到22分，所以m2如果m4，這時(shí)有：p1p2p310由于b得了一個(gè)第一，所以他至少得分：p13p3又由于b的總分是9，所以我們有：p13p39由此不難看出p1不能超過(guò)6，又由a得總分22知p1還不能小于6，所以p16，這樣一來(lái)就有p2p34，所以就有p31，p23這是不可能的，因?yàn)檫@時(shí)a最多得分為6×3321，不夠22，因此m4排除了以上兩種情況，只有m5下面我們來(lái)分析每個(gè)人的得分情況，這時(shí)我們有：p1p2p38由于p1、p2、p3互不相同，所以p

9、31，否則的話，左邊至少等于23498因此就有p1p27不難發(fā)現(xiàn)p1至多等于5，同時(shí)又不能小于5，所以p15，從而也就有p22我們用下表來(lái)表示每個(gè)人的名次：且由表可見(jiàn)，c是跳高比賽的第二名這個(gè)表的填充過(guò)程讀者應(yīng)自己獨(dú)立地作一遍例81978年，有個(gè)人在介紹自己的家庭時(shí)說(shuō)：我有一兒一女，他們不是雙胞胎，兒子年齡的立方，加上女兒年齡的平方，正好是我的出生年，我是在1900年以后出生的，我的兒女都不滿21歲，我比我妻子大8歲，請(qǐng)求出全家每個(gè)人的年齡分析 本題的關(guān)鍵在于先確定兒子的年齡，其次是求出女兒的年齡，這可用前面介紹的“篩”法來(lái)做到解：由于1332197，所以兒子的年齡一定小于13歲；又由于113

10、1331，既使加上212441，也只是133144117721900，所以兒子的年齡一定大于11歲，只有12歲了設(shè)女兒的年齡為x，根據(jù)已知條件有：123x21900所以x21900123x2172也就是說(shuō)女兒的年齡大于13歲，又已知這個(gè)年齡小于21歲，所以女兒的年齡可能歲數(shù)是：14，15，16，17，18，19，20如果x15，那么父親的出生年數(shù)就等于：1231521953這顯然是不合理的（想一想為什么？），同樣道理，女兒的年齡也不能是大于15的數(shù)，只能是14歲這時(shí)父親的出生年數(shù)為：12314219241978年時(shí)的年齡為：1978192454（歲）1978年時(shí)母親的年齡為：54846（歲）：

11、答：（略）說(shuō)明：從本題的解答可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用篩選法解題時(shí)，關(guān)鍵是確定篩選的范圍，范圍越小，篩選的工作量越小從上面的幾個(gè)例子我們看出，用枚舉法解題的基本方法是：按某種規(guī)律一一列舉問(wèn)題的有限個(gè)解；或者是：把研究對(duì)象劃分為不重復(fù)、不遺漏的若干類一一解決，從而得到原問(wèn)題的解答有時(shí)為了求出某一答案，若不能直接解得，就可以運(yùn)用篩選法，也叫排除法，它的做法可以用四句話概括：確定范圍，逐一試驗(yàn)，淘汰非解，求出解答在遇到一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，一時(shí)不知從何下手，有時(shí)可先把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，考慮它的特殊情形在解決這個(gè)特殊情形的過(guò)程中，得到啟發(fā)，從而獲得解決原題的方法，這樣的解題方法，我們叫作從特殊到一般的分析方法，簡(jiǎn)單地說(shuō)就

12、是難的不會(huì)，想簡(jiǎn)單的例9問(wèn)5條直線最多將平面分為多少份？分析 直接想五條直線的情況不好想，先研究一些簡(jiǎn)單的情況，不難知道：一條直線最多將平面分為2部分；二條直線最多將平面分為4部分；三條直線最多將平面分為7部分；四條直線最多將平面分為11部分；五條直線的圖不易畫(huà)出，所以很難下結(jié)論，分析一下上面特殊情形的結(jié)論，看看能不能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律二條直線分平面的4部分恰好是在一條直線分平面的2部分的基礎(chǔ)上增添了2部分；三條直線分平面的7部分恰好是在二條直線分平面的4部分的基礎(chǔ)上增添了3部分，類似地，四條直線分平面的11部分是在三條直線分平面的7部分的基礎(chǔ)上增添4部分，怎樣解釋這個(gè)規(guī)律呢？我們以四條直線的情形作

13、為例子三條直線將平面分為7部分，新加上一條虛線，由于要求分平面的部分?jǐn)?shù)盡可能多，所以新添虛線不能過(guò)實(shí)線的交點(diǎn)，這樣，虛線與三條實(shí)線有三個(gè)交點(diǎn)，這三個(gè)交點(diǎn)將虛線分為四段，其中的每一段都將所在的平面部分一分為二，所以也就是使所分平面的份數(shù)增加4解：因?yàn)樗臈l直線最多分平面為11部分，添上第五條線，它與前四條線至多有4個(gè)交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)將第五條線分為5段，其中每一段將所在平面部分一分為二，所以五條直線最多將平面分為11516部分說(shuō)明：仿照前面的分析方法不難分析出n條直線最多分平面的部分?jǐn)?shù)為：223（n1）n例10在平面上畫(huà)20個(gè)圓，問(wèn)這20個(gè)圓最多可能將平面分為多少個(gè)部分？分析 直接畫(huà)出20個(gè)圓去數(shù)當(dāng)

14、然是行不通的先考慮一些簡(jiǎn)單的情況：一個(gè)圓最多分平面為2部分；二個(gè)圓最多分平面為4部分；三個(gè)圓最多分平面為8部分；當(dāng)?shù)诙€(gè)圓在第一個(gè)圓的基礎(chǔ)上加上去時(shí)，第二個(gè)圓應(yīng)與第一個(gè)圓有2個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)將新加的圓分為2段，其中每一段弧都將所在平面部分一分為二，所以所分平面部分?jǐn)?shù)在原有2部分的基礎(chǔ)上又增添2部分同樣道理，三個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)是在2個(gè)圓分平面為4部分的基礎(chǔ)上又增加4部分解：繼續(xù)前面的分析過(guò)程，畫(huà)第20個(gè)圓時(shí)，與前19個(gè)圓最多有19×238個(gè)交點(diǎn)，第20個(gè)圓的圓弧被分成為38段，也就是增加了38個(gè)區(qū)域，所以20個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為：21×22×219

15、15;222（12319）382說(shuō)明：類似的分析我們可以得到計(jì)算n個(gè)圓最多分平面部分?jǐn)?shù)的公式：21×22×2（n1）×22212（n1）2n（n1）n2n2例11有70個(gè)數(shù)排成一排，除兩頭兩個(gè)數(shù)外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)之和，已知前面兩個(gè)數(shù)是0和1，問(wèn)最后一個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)是多少？分析 直接求第70個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)不容易，先求它除以2和除以3的余數(shù)解：設(shè)最后一個(gè)數(shù)為x，先求x除以2的余數(shù)，列出下表觀察規(guī)律：我們發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的規(guī)律是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，這個(gè)規(guī)律是可靠的，如果一個(gè)數(shù)左邊兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是奇數(shù)的3倍減去一個(gè)奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)一定

16、是偶數(shù)，同樣可以分析出，如果一個(gè)數(shù)左邊兩個(gè)數(shù)一奇一偶，那么這個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)因?yàn)?0÷3余1，所以x是偶數(shù)，下面來(lái)求x除以3的余數(shù)，列出下表觀察一下這列數(shù)除以3余數(shù)的規(guī)律：因?yàn)槊總€(gè)數(shù)的3倍是它兩邊兩個(gè)數(shù)之和，所以間隔一個(gè)數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和一定是3的倍數(shù)所以不難分析出這列數(shù)除以3的余數(shù)規(guī)律是：0，1，0，2，0，1，0，2，又由于70÷4余2，所以第70個(gè)數(shù)x除以3的余數(shù)為1我們已經(jīng)知道x是一個(gè)除以3余1的偶數(shù)，所以x除以6應(yīng)該余4我們還可以用帶余除式推出這個(gè)結(jié)論，因?yàn)閤除以3余1，所以x可以寫(xiě)成下式：x=3k+1 （k是自然數(shù)）又因?yàn)閤是偶數(shù)，所以k應(yīng)是一個(gè)奇數(shù)，也就是說(shuō)k被2除

17、余1，寫(xiě)成帶余除式就是：k=2m+1 （m是自然數(shù)）綜合兩個(gè)式子就得到x=3（2m+1）16m+3+1=6m+4因此，x除以6余4說(shuō)明：本題的解法告訴我們，如果已知一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)后各自的余數(shù)，那么應(yīng)如何去求它除以這兩個(gè)數(shù)的乘積的余數(shù)作為練習(xí)請(qǐng)同學(xué)們完成下題已知某數(shù)除以3余2，除以4余3，求這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是多少？例12 43位同學(xué)，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數(shù)互不相同，每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢各自買了畫(huà)片，畫(huà)片只有兩種，3分一張和5分一張，每人都盡量多買5分一張的畫(huà)片，問(wèn)他們共買了多少?gòu)?分的畫(huà)片？分析 本題實(shí)際上是要將8到50的所有自然數(shù)表示成若干個(gè)3與若干個(gè)5的和，其中5的個(gè)數(shù)

18、要盡可能多因?yàn)榍蟮氖?的個(gè)數(shù)，所以只要求出8至12的表示中有多少個(gè)3即可解：我們有：8=5+39=33+310=5+511=5+3312=3+3+33下面的表示式中3的個(gè)數(shù)不會(huì)再增加，只要在前面的表示中加5就可以了，例如13=8+5=5+5+314=95=3335等等前五個(gè)式子中3的個(gè)數(shù)為：13+0+2+4=10因?yàn)?3÷5=8余3，所以3的總個(gè)數(shù)為：10×813084答：3分的畫(huà)片共買了84張思考：本題中如果要求5分畫(huà)片共買多少?gòu)垜?yīng)怎樣做？如果本題改為讓3分畫(huà)片盡可能多，求5分畫(huà)片共有多少?gòu)?，?yīng)怎樣做？例13 有十個(gè)人各拿一只提桶同時(shí)到水龍頭前排隊(duì)打水設(shè)水龍頭注滿第一個(gè)人

19、的桶需要1分鐘，注滿第二個(gè)人的桶需要2分鐘，如此下去問(wèn)：當(dāng)只有一個(gè)水龍頭時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使他們總的費(fèi)時(shí)為最少？這時(shí)間等于多少分鐘？當(dāng)只有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使他們總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少分鐘？分析 我們用a1，a2，a9，a10分別表示第一，第二，第九，第十個(gè)人，先考慮只有a1、a2兩個(gè)人的情形如果a1在前，a2在后，總共花費(fèi)的時(shí)間為：1×22×1=4（分鐘）如果a2在前，a1在后，總共花費(fèi)的時(shí)間為：2×21×1=5（分鐘）因此，對(duì)兩個(gè)人的情況，提小桶的人在前，提大桶的人在后，總共花費(fèi)的時(shí)間最少，由此就不難知道十個(gè)人如何排列，總費(fèi)時(shí)最少先考慮只有a1，a2，a3，a4四個(gè)人的情況這時(shí)候可能的排列方法有以下幾種：總費(fèi)時(shí)=1×12×33×24×117（分鐘）總費(fèi)時(shí)=2×11×33×24×1=15（分鐘）總費(fèi)時(shí)=3×11×32