數(shù)論的方法和技巧05整數(shù)的p進位制及其應用new

1、整數(shù)的p進位制及其應用基礎知識給定一個m位的正整數(shù)a，其各位上的數(shù)字分別記為，則此數(shù)可以簡記為：（其中）。由于我們所研究的整數(shù)通常是十進制的，因此a可以表示成10的次多項式，即，其中且，像這種10的多項式表示的數(shù)常常簡記為。在我們的日常生活中，通常將下標10省略不寫，并且連括號也不用，記作，以后我們所講述的數(shù)字，若沒有指明記數(shù)式的基，我們都認為它是十進制的數(shù)字。為了具備一般性，我們給出正整數(shù)a的p進制表示：，其中且。而仍然為十進制數(shù)字，簡記為。典例分析例1(2007年中國數(shù)學奧林匹克協(xié)作體競賽試題)假定正整數(shù)n的8進制表示為，那么下面四個判斷中，正確的是（ ）a、n能被7整除而不能被9整除 b

2、、n能被9整除而不能被7整除c、n不能被7整除也不能被9整除 d、n既能被7整除也能被9整除答 d 由于，所以即n能被7整除n的8進制表示下各位數(shù)字之和能被7整除。類似的，n能被9整除n的8進制表示下奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被9整除例2 一個正整數(shù)，如果用7進制表示為，如果用5進制表示為，請用10進制表示這個數(shù).解：由題意知：0a,c4,0b4,設這個正整數(shù)為n,則na×72b×7c, n=c×52b×5a 49a7bc25c5ba 48a2b24c0， b12(c2a) 12b,又0b4b0, c2a 當a1,c2時，n51 當a2,c4時

3、，n102例3（第4屆美國數(shù)學邀請賽試題）遞增數(shù)列1,3，4,9，10,12,13，是由一些正整數(shù)組成，它們或是3的冪，或是若個不同的3的冪之和，求該數(shù)列的第100項。解：將已知數(shù)列寫成3的方冪形式：易發(fā)現(xiàn)其項數(shù)恰好是自然數(shù)列對應形式的二進制表示：即由于100所以原數(shù)列的第100項為。例4（1987年加拿大數(shù)學競賽試題）1987可以在b進制中寫成三位數(shù)，如果，試確定所有可能的和。解：易知，從而，即，由知。由知故；又因為有12個正約數(shù)，分別為1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以，從而。又由知例5（第3屆加拿大數(shù)學競賽試題）設是五位數(shù)（第一個數(shù)碼不是零）

4、，是由取消它的中間一個數(shù)碼后所成的四位數(shù)，試確定一切使得是整數(shù)。解：設，其中且；而是整數(shù)，可證，即即，這顯然是成立的；又可證，即即，這顯然也是正確的。于是，即，又因為是整數(shù)，從而；于是，即即，而但3102知為正整數(shù)）從而，顯然，因而推得其中。例6. (1999年，保加利亞數(shù)學奧林匹克試題) 求所有的自然數(shù)n的個救，4n 1023使得n在二進制表示下，沒有連續(xù)的三個數(shù)碼相同例7. （l995年南斯拉夫數(shù)學奧林匹克試題）設n是正整數(shù)，n的二進制表示中恰有1995個l，求證：2n-1995整除n! 例8. (1982年英國數(shù)學奧林匹克試題)設自然數(shù)n為17的倍數(shù)，且在二進制寫法中恰有三個數(shù)碼為1.證

5、明n的二進制寫法中至少有六個數(shù)碼為0，且若恰有7個數(shù)碼為0，則n是偶數(shù)。 例9. （第12屆im o試題）設a，b，n均大于1在a進制中，在b進制中，其中 證明：當且僅當a>b時，例10已知利用的砝碼可以使重量是連續(xù)自然數(shù)的63個重物平衡，求這組砝碼例11.（2005年中國奧林匹克協(xié)作體夏令營試題）如果一個正整數(shù)在三進制下表示的各數(shù)字之和可以被3整除，那么我們稱為“好的”，則前2005個“好的”正整數(shù)之和是多少？解：首先考慮“好的”非負整數(shù)，考察如下兩個引理：引理1.在3個連續(xù)非負整數(shù)（是非負整數(shù)）中，有且僅有1個是“好的”。證明：在這三個非負整數(shù)的三進制表示中，0,1，2各在最后一位出

6、現(xiàn)一次，其作各位數(shù)字相同，于是三個數(shù)各位數(shù)字之和是三個連續(xù)的正整數(shù)，其中有且僅有一個能被3整除（即“好的”），引理1得證。引理2.在9個連續(xù)非負整數(shù)（是非負整數(shù)）中，有且僅有3個是“好的”。把這3個“好的”非負整數(shù)化成三進制，0,1，2恰好在這三個三進制數(shù)的最后一位各出現(xiàn)一次。證明：由引理1不難得知在9個連續(xù)非負整數(shù)（是非負整數(shù)）中，有且僅有3個是“好的”。另一方面，在這三個“好的”非負整數(shù)的三進制表示中，最高位與倒數(shù)第三位完全相同，倒數(shù)第二位分別取0,1，2。若它使它們成為“好的”非負整數(shù)，則最后一位不相同，引理2得證。將所有“好的”非負整數(shù)按從小到大的順序排成一列，設第2004個“好的”非

7、負整數(shù)為，根據(jù)引理1，得，即。設前個“好的”正整數(shù)之和為，由于前2003個“好的”正整數(shù)之和等于前2004個“好的”非負整數(shù)之和。因此；又因為和都是“好的”正整數(shù)。因此前2005年“好的”正整數(shù)之和是：。例12. 把所有3的方冪及互不相等的3的方冪的和排列成一個遞增數(shù)列：10,12，13， 求這個數(shù)列的第100項例13. （第12屆im o試題）設a，b，n均大于1在a進制中，在b進制中，其中 證明：當且僅當a>b時，課外練習題1.（2005年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題） 記集合，將m中的元素按從大到小順序排列，則第2005個數(shù)是a. b. c. d. 2. 證明：對任何進制數(shù)是完全平方數(shù)3. 設v，w，x，y，z為5個五進制數(shù)碼五進制下的三個三位(vyz)5，(vyx)5，（vvw）5以公差為1依次遞增問在十進制中,三位數(shù)(xyz)5等于多少？4. 設其中是互不相等的非負整數(shù)，求的值5. 設1987可以寫在b進制三位數(shù)且試確定所有可能的x,y,z及b值6. 求使能被7整除的所有正整數(shù)n7. 若二進制數(shù)滿足則稱n為“二進制回文數(shù)”，問在不超過1988的正整數(shù)中有多少個“二進制回文數(shù)”？8. 對每個正整數(shù)令 為n在k進制中的數(shù)字和，求證：對于小于20000的素數(shù)p，中至多有兩個值為合數(shù)9. 設是正整數(shù)，定義數(shù)列和