債券久期免疫方法與凸性

1、債券久期、免疫方法與凸性一、久期及其計算多年以來，專家們運(yùn)用資產(chǎn)到期期限作為利率風(fēng)險衡量指標(biāo)。例如，30年期固定利率債券比1年期債券更具有利率敏感性。但是，人們已意識到期限只是提供的最后一筆現(xiàn)金流量的信息，并沒有考慮到前期得到的現(xiàn)金流量（例如利息償還）。通過計算持續(xù)期（久期）就可以解決這個問題。它是一個平均的到期期限，考慮了資產(chǎn)壽命早期所獲得的現(xiàn)金流量因素。有效持續(xù)期用公式表示則為：【例1】票面利率為10%，還有3年到期的債券。價格為95.2，當(dāng)前利率為12%。求其持續(xù)期。第0年第1年第2年第3年當(dāng)前利率95.2101011012%該債券的持續(xù)期（久期）由下列公式計算出來：持續(xù)期=持續(xù)期是按照

2、貼現(xiàn)現(xiàn)金流量的權(quán)重來加權(quán)的平均年數(shù)（1年、2年、3年）。簡單地說，持續(xù)期代表的是資產(chǎn)的平均到期期限。在本例中，2.728年的持續(xù)期與3年比較接近，原因是在第3年得到一筆最大的現(xiàn)金流量110。持續(xù)期與償還期不是同一概念：償還期是指金融工具的生命周期，即從其簽訂金融契約到契約終止的這段時間；持續(xù)期則反映了現(xiàn)金流量，比如利息的支付、部分本金的提前償還等因素的時間價值。對于那些分期付息的金融工具，其持續(xù)期對于那些分期付息的金融工具，其持續(xù)期總是短于償還期。持續(xù)期與償還期呈正相關(guān)關(guān)系，即償還期越長、持續(xù)期越長；持續(xù)期與現(xiàn)金流量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，償還期內(nèi)金融工具的現(xiàn)金流量越大，持續(xù)期越短。二、債券價格對利率變

3、動的敏感程度由金融工具的理論價格公式：兩邊對利率求導(dǎo)，可得出金融工具現(xiàn)值（理論價格）對利率變動的敏感程度：兩邊同時乘以得=-d*·dy其中d*即為修正久期相應(yīng)地，修正久期d*=，即修正久期可以看成等于債券價格對收益率一階導(dǎo)數(shù)的絕對值除以債券價格。后面，我們把債券的凸度 (c) 類似地定義為債券價格對收益率二階導(dǎo)數(shù)除以價格。持續(xù)期已經(jīng)變成了一項測量資產(chǎn)的風(fēng)險價值的非常有用的指標(biāo)。有上式可知，資產(chǎn)和負(fù)債價格（請注意：在金融資產(chǎn)的場合，對于一方是資產(chǎn)，對于另一方就是負(fù)債，影響一方資產(chǎn)價格的因素也就是影響另一方負(fù)債價格的因素）的變動產(chǎn)生于二個因素：持續(xù)期和利率變動。一旦你知道了一項資產(chǎn)的持續(xù)

4、期，你就會很容易地計算出利率變動對資產(chǎn)價格的影響。從這里我們可以發(fā)現(xiàn)資產(chǎn)價格與利率變動負(fù)相關(guān)，利率上升資產(chǎn)價格下降，利率下降資產(chǎn)價格上升，持續(xù)期的長短放大了這種影響（利率變動引起價格變動的風(fēng)險）。【例2】有一6年期的公司債券（面額100元），票面利率8%，而市場要求的到期收益率也是8%，已知持續(xù)期d=4.993年。如果目前的到期收益率上升1個基本點（1%），此時公司債的價格會下跌0.0462%。=0.074074+0.137174+0.190520+0.23521+0.272233+4.08350=4.993公司債的價格現(xiàn)在是100*（1-0.0462）=95.38元。三、免疫的基本含義利率風(fēng)

5、險表現(xiàn)在兩個方面：價格風(fēng)險和再投資風(fēng)險。價格風(fēng)險是由于市場利率上升引起債券價格下跌給債券投資者帶來的資產(chǎn)損失；再投資風(fēng)險是由于市場利率下降引起利息的再投資收入減少給債券投資者帶來的收入損失。當(dāng)市場利率上升時，債券投資者面臨著資產(chǎn)損失和再投資收入增加；而當(dāng)市場利率下降時，債券投資者面臨著資產(chǎn)增加和再投資收入損失。因此，債券的價格風(fēng)險和再投資風(fēng)險有相互抵消的特性。正是基于這一抵消特性，產(chǎn)生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy），用以規(guī)避利率變動給投資者帶來的價格風(fēng)險或再投資風(fēng)險。在諸多免疫策略中，被學(xué)術(shù)界重點關(guān)注和被投資界廣泛應(yīng)用的一類免疫策略是持續(xù)期配比策略（

6、duration-matched strategy）?？紤]一個每年付息一次的中長期附息債券，如果持有期小于一年，投資者面臨的風(fēng)險只有價格風(fēng)險，沒有再投資風(fēng)險。隨著持有期的增加，價格風(fēng)險減少而再投資風(fēng)險增加。如果持有到期，則投資者面臨的風(fēng)險只有再投資風(fēng)險，沒有價格風(fēng)險。由于價格風(fēng)險和再投資風(fēng)險具有相互抵消的特性，于是存在一個適當(dāng)?shù)某钟衅?，使得在該持有期下投資者的利率風(fēng)險為零，我們將它稱之為持續(xù)期（duration）。因此，持續(xù)期配比策略就是持有期等于持續(xù)期的投資策略。對于債券投資者而言，如果利率下降，從短期看，債券價格將上漲，債券的短期投資者將會從利率下降中獲取資本利得，反之，則會受損失。但從長

7、期投資看，情況會相反，因為債券到期時價格一定等于面值，但利率下降導(dǎo)致了債券利息的再投資收益率下降，因而債券投資者在長期內(nèi)的全部收益下降。利率變動，在長期與短期出現(xiàn)相反的結(jié)果，意味著它們之間存在一個“中期”。從“中期”看，投資者的收益基本不受利率變動的影響，就相當(dāng)于投資一個期限與這個“中期”相等的貼現(xiàn)債券，在持有的"中期"內(nèi)，其投資收益不受利率變動的影響。如果投資者建立的債券組合的久期等于這個“中期”，則可實現(xiàn)投資收益不受利率變動影響的目標(biāo)，這就是債券投資組合管理中所通常采用的久期免疫策略。當(dāng)利率發(fā)生變化時，投資者面臨兩種風(fēng)險，一為利率風(fēng)險，即債券的價格會因利率上漲而下跌；二

8、為再投資風(fēng)險，即利息收入再投資會隨著利率的上升而增加。兩種風(fēng)險方向相反，對債券價值的影響有互相抵消的作用。免疫策略的目的就是通過持有債券至一定期限，利用兩種風(fēng)險互相抵消的作用來鎖定投資收益率。通常的免疫策略是將債券持有到久期長度的期限，當(dāng)長、短期利率平行變化時，則不論利率如何變動，到期時投資組合的價值將與預(yù)期的資產(chǎn)價值相同，而期末的實現(xiàn)報酬率也會等于目標(biāo)報酬率。四、免疫的案例【案例3】某人3年后需要200萬元資金，目前市場利率為8%。有三個方案解決這個問題。方案1：如果有一個3年期債券，本金和利息再投資收益率都是8%，則現(xiàn)在投入200/1.083=158.77萬元即可；方案2：找到一個3年期的

9、零息債券，其年收益率也為8%，則200萬元的到期面額債券，現(xiàn)在的發(fā)行和購買價格都是200/1.083=158.77萬元，購買即可；方案3：方案1和2要么沒有保證，要么不存在。目前只有收益率為8%，還有2年和5年到期的債券（面額都是100萬元，票面利率分別為6%和8%，每年支付利息，到期還本），可以采取組合的方式。怎么組合？(一)先計算2年期債券和5年期債券的久期2年期債券的久期=0.05761024212+0.9423897631×2=1.9424，此為兩年期債券的現(xiàn)值和賣價2年期債券的修正久期=1.9424/（1+0.08）=1.79855年期債券的久期=4.3121=100此為五

10、年期債券的現(xiàn)值和賣價5年期債券的修正久期=4.3121/（1+0.08）=3.9927（二）再計算投資于2年期和5年期債券的權(quán)重，分別為w1和w2，解下面的方程組即可1.9424w1+4.3121w2=3w1+ w2=1得w1=55.37%,w2=44.63%若用修正久期得出w1=0.4524 w2=0.5476(三)最后將現(xiàn)在準(zhǔn)備的158.77萬元，分別按照該比例投資即可。2年期的債券投資87.910949萬元，5年期的債券投資70.859051萬元。即買面額為100萬元的2年期債券87.910949/96.43347=0.9116227903張，買面額為100萬元的5年期債券70.8590

11、51/100=0.70859張若用修正久期得出的比例買2年期債券158.77*0.4524=71.8275，即71.8275/96.43347=0.7448399399張面額100萬債券買5年期債券158.77*0.5476=86.9426，即86.9426/100=0.869246張面額為100萬元的債券這樣，今后無論市場利率從現(xiàn)在的8%升降，都會因為債券價格和再投資收益率的相反變動而抵消，不影響3年后200萬本利和目標(biāo)的實現(xiàn)。假設(shè)市場利率1年后升到9%和下跌到7%，我們看看投資3年后的本利和是多少？先看升到9%的情況（1）1年后升到9%時，投資兩年期債券3年的本利和兩年期債券第2年得利息6

12、萬元*0.7448399399=4.469039639萬元第2年的本利和=74.48399399+4.469039639=78.95303363萬元到第三年底，第1年的利息再投資2年和第2年的本利和再投資1年的本利和4.469039639*1.092+78.95303363*1.09=91.36847265萬元（2）1年后升到9%時，投資五年期債券3年的本利和五年期債券，前3年每年利息為8萬元*0.869246=6.953968萬元前兩年利息再投資的本利和加上第三年的利息6.953968*(1.092+1.09+1)=22.7958025萬元第三年底該五年期債券的賣價6.953968*（1/1

13、.09+1/1.092）+86.9246/1.092=85.39549964萬元到第三年底投資該五年期債券的所獲收入108.1913021萬元（3）投資這兩種證券到第三年底獲得91.36847265萬元+108.1913021萬元=199.5597748，接近200萬元（因為小數(shù)點省略的原因）再看下跌到7%的情況（略）【例4】假定一家養(yǎng)老基金出售一種新的保險單，這種保單承諾在今后的15年內(nèi)基金將每年支付100美元給投保人。折現(xiàn)率為10%。 第一步：計算負(fù)債的持續(xù)期。表1給出了整個計算過程和結(jié)果。 表1：持續(xù)期的計算時間 現(xiàn)金流 現(xiàn)金流的折現(xiàn)值 權(quán)重 乘積 1 100 90.909 0.120

14、0.120 2 100 82.645 0.109 0.217 3100 75.131 0.099 0.296 15 100 23.939 0.031 0.472 合計 760.608 1.000 6.279  修正持續(xù)期=6.279÷1.1=5.708 由表1可以看出，負(fù)債的現(xiàn)值為760.61美元?，F(xiàn)在的問題在于如何將出售保單的收入760.61美元進(jìn)行投資，以保證未來的每一時點投資的資產(chǎn)價值至少與負(fù)債的價值相當(dāng)。 第二步：投資資產(chǎn)的選擇。因為負(fù)債的折現(xiàn)率用的是10%，這意味著保險單對投保人的收益率為10%。所以，所構(gòu)造的投資組合每年至少有10%的收益。假定基金選擇了兩種金融

15、工具：30年期的長期國債，年利率為12%，按面值出售；6個月期的短期國債，收益率為年利率8%。用第一步的方法分別計算出它們的持續(xù)期為8.080和0.481。 第三步：確定兩種債券的投資比例和投資額。為此，先求兩債券的投資比例。這只需解下列方程組：    其中，      ：表示30年和6個月債券的持續(xù)期；      ：表示負(fù)債的持續(xù)期；      ：表示30年和6個月債券的投資份額。 這里要解的是方程組：解得： 。因此，養(yǎng)老基金應(yīng)當(dāng)將其

16、出售保險單所得收入的68.79%投資于30年期的長期國債，其余的投資于6個月的短期國債。即應(yīng)投資與長期國債的是523.23美元，其余的237.38美元用于購買短期國債。 最后，我們來考察這種方法的效果。假定收益曲線向上平移了10個基本點。此時，負(fù)債的折現(xiàn)率變成10.1%,長期國債的收益率變?yōu)?2.1%,短期國債的收益率變?yōu)?.1%。比較變化前后價值的變化列表如下(表2)： 表2：組合免疫的績效  負(fù)債 資產(chǎn)   養(yǎng)老基金 30年期國庫券 6個月期國庫券 原價值 760.61 523.23 237.38 變化后價值 756.29 519.03 237.26 價值的變化 -4.

17、32 -4.2 -0.12 可以看出,變化后資產(chǎn)的總價值756.29（519.03+237.26）剛好等于負(fù)債總值。 五、組合免疫存在的問題 只要細(xì)心地分析上述例子不難發(fā)現(xiàn)，我們在用組合免疫進(jìn)行資產(chǎn)負(fù)債管理時進(jìn)行了一些不太切合實際的假設(shè)，這正是組合免疫所存在的問題之一。實際上，組合免疫方法存在三個方面的問題： 第一，組合免疫方法適合于短期情形，它在短期內(nèi)可靠。但是，隨著時間的變化，不同債券的持續(xù)期將產(chǎn)生不同的變化。這一點直接從持續(xù)期公式中可以看出來，一個簡單的例子是一個6個月債券和5年期債券，6個月后前者持續(xù)期為零(減少了0.5)，而后者持續(xù)期的減少小于0.5。因此,當(dāng)前很有效的組合方式明天就

18、不一定有效。這并不是說它明天就一定無效,只是效果肯定沒有當(dāng)前的好;而且隨著時間的推移,這個組合方式將越來越不可靠。 第二，隨著時間的變化,市場利率可能發(fā)生變化,市場利率的變化又直接導(dǎo)致不同金融工具的價格變化，從而到期收益率也發(fā)生變化，持續(xù)期自然隨之而變化。顯然,不同金融工具持續(xù)期的變化程度是不同的。因此，對于利率的微小的變化，持續(xù)期的匹配效果不會受到太大的影響，但對利率較大的變化，組合持續(xù)期的匹配效果將大大地受到影響。解決這個問題的辦法是頻繁地重新計算持續(xù)期和權(quán)重，并據(jù)以調(diào)整債券的組合。 第三，這種簡單的持續(xù)期匹配的方法是基于這樣的一個基本假設(shè)；收益率曲線平行移動，即當(dāng)市場利率發(fā)生變化時，不同

19、期限債券的收益率都以同樣的幅度上漲或下調(diào)。事實上并非如此，通常短期債券比長期債券更加敏感。同時，即使是到期日相同的金融工具對利率的敏感性也可能不同，如到期期限相同的債券因有不同的違約風(fēng)險而對利率的敏感性不同。 解決這一問題的有效辦法是利用數(shù)理統(tǒng)計方法進(jìn)行回歸分析：假定資產(chǎn)和負(fù)債的收益率變化之間存在著某種比例關(guān)系，利用歷史數(shù)據(jù)回歸分析，找出這一比例關(guān)系。在上例中將負(fù)債收益率變化對30年期國債收益率的變化作回歸。所得的系數(shù)為利率的值。然后用同樣的方法計算負(fù)債對6個月短期國債的利率的值。 六、凸性我們知道修正的持續(xù)期度量的是價格收益曲線上給定點相應(yīng)的斜率。并由此而得出價格變化的近似公式。這一近似公式并不精確，當(dāng)收益率的變化較大時，近似公式給出的價格變動量與實際變動量相差可能很大。這一現(xiàn)象的背后原因在于，這種近似公式的根據(jù)是數(shù)學(xué)中函數(shù)的泰勒展式。我們在應(yīng)用泰勒(taylor)公式進(jìn)行近似時結(jié)果一般是很復(fù)雜的，它通常表示為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的多階項之和。而上述近似只取了一階項。為了更精確地對價格的變化進(jìn)行近似，一個很自然的方法是加進(jìn)二階項。二階項的一個重要特征是與凸性有關(guān)，而曲線的凸性反應(yīng)的是曲線的彎曲程度，它能夠說明一階線性近似的精確程度。如圖2，圖中的直線是由近似公式給出的直線，曲線則是通過計算得出的。圖形說明了凸性的作用。 圖2：價格收益率的關(guān)系1、凸性的定義 凸性可以通過計算修正久期