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文檔簡(jiǎn)介

1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚,解法必須熟練,計(jì)算必須準(zhǔn)確 :全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間. 關(guān)于:稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)基,中的自然基,單位坐標(biāo)向量;線(xiàn)性無(wú)關(guān);任意一個(gè)維向量都可以用線(xiàn)性表示.行列式的定義 行列式的計(jì)算:行列式按行(列)展開(kāi)定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論:行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.若都是方陣(不必同階),則(拉普拉斯展開(kāi)式)上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積.關(guān)于副對(duì)角線(xiàn): (即:所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和)范德蒙德行列式:矩陣的定義 由個(gè)數(shù)排成的行列

2、的表稱(chēng)為矩陣.記作:或伴隨矩陣 ,為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式. 逆矩陣的求法: : 方陣的冪的性質(zhì): 設(shè)的列向量為,的列向量為,則 ,為的解可由線(xiàn)性表示.即:的列向量能由的列向量線(xiàn)性表示,為系數(shù)矩陣.同理:的行向量能由的行向量線(xiàn)性表示,為系數(shù)矩陣.即: 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的向量;用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的向量. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)元素相乘. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:分塊矩陣的逆矩陣: 分塊對(duì)角陣相乘:,分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣: 矩陣方程的解法():設(shè)法化成 零向量是任何向量的線(xiàn)性組合,零向量與任何同維實(shí)

3、向量正交. 單個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān);單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān);整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān). (向量個(gè)數(shù)變動(dòng)) 原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān);接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān). (向量維數(shù)變動(dòng)) 兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例;兩兩正交的非零向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線(xiàn)性組合. 向量組線(xiàn)性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線(xiàn)性表示.向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線(xiàn)性表示. 維列向量組線(xiàn)性相關(guān); 維列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān). 若線(xiàn)性無(wú)關(guān),而線(xiàn)性相關(guān),則可由線(xiàn)性表示,且表示法唯一. 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行

4、的個(gè)數(shù).行階梯形矩陣 可畫(huà)出一條階梯線(xiàn),線(xiàn)的下方全為;每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí),稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線(xiàn)性關(guān)系; 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線(xiàn)性關(guān)系. 即:矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘;對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘.矩陣的秩 如果矩陣存在不為零的階子式,且任意階子式均為零,則稱(chēng)矩陣的秩為.記作向量組的秩

5、 向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩.記作 矩陣等價(jià) 經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為. 記作:向量組等價(jià) 和可以相互線(xiàn)性表示. 記作: 矩陣與等價(jià),可逆作為向量組等價(jià),即:秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與等價(jià). 向量組可由向量組線(xiàn)性表示有解. 向量組可由向量組線(xiàn)性表示,且,則線(xiàn)性相關(guān).向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),且可由線(xiàn)性表示,則. 向量組可由向量組線(xiàn)性表示,且,則兩向量組等價(jià); 任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià). 向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一,但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定. 若兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. 設(shè)是矩陣,若,

6、的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān); 若,的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān),即:線(xiàn)性無(wú)關(guān). 矩陣的秩的性質(zhì): 即:可逆矩陣不影響矩陣的秩. 若;若等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型. 注:線(xiàn)性方程組的矩陣式 向量式 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì):矩陣可逆的性質(zhì):伴隨矩陣的性質(zhì):(無(wú)條件恒成立)23線(xiàn)性方程組解的性質(zhì): 設(shè)為矩陣,若一定有解, 當(dāng)時(shí),一定不是唯一解,則該向量組線(xiàn)性相關(guān). 是的上限. 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件: 線(xiàn)性無(wú)關(guān); 都是的解; . 一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是的一個(gè)解,是的一個(gè)解線(xiàn)性無(wú)關(guān) 與同解(列向量個(gè)數(shù)相同),則: 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等; 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線(xiàn)性相關(guān)性; 它們有相同的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系. 兩個(gè)齊次線(xiàn)

7、性線(xiàn)性方程組與同解. 兩個(gè)非齊次線(xiàn)性方程組與都有解,并且同解. 矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解(左乘可逆矩陣); 矩陣與的列向量組等價(jià)(右乘可逆矩陣). 關(guān)于公共解的三中處理辦法: 把(i)與(ii)聯(lián)立起來(lái)求解; 通過(guò)(i)與(ii)各自的通解,找出公共解;當(dāng)(i)與(ii)都是齊次線(xiàn)性方程組時(shí),設(shè)是(i)的基礎(chǔ)解系, 是(ii)的基礎(chǔ)解系,則 (i)與(ii)有公共解基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線(xiàn)性表示.即:當(dāng)(i)與(ii)都是非齊次線(xiàn)性方程組時(shí),設(shè)是(i)的通解,是(ii)的通解,兩方程組有公共解可由線(xiàn)性表示. 即: 設(shè)(i)的通解已知,把該通解代入(ii)中,

8、找出(i)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足(ii)的關(guān)系式而求出公共解。標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè)維線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.向量與的內(nèi)積 . 記為:向量的長(zhǎng)度 是單位向量 . 即長(zhǎng)度為的向量. 內(nèi)積的性質(zhì): 正定性: 對(duì)稱(chēng)性: 雙線(xiàn)性: 的特征矩陣 .的特征多項(xiàng)式 . 是矩陣的特征多項(xiàng)式的特征方程 . ,稱(chēng)為矩陣的跡. 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線(xiàn)上的各元素. 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量. 一定可分解為=、,從而的特征值為:, . 注為各行的公比,為各列的公比. 若的全部特征值,是多項(xiàng)式,則: 若滿(mǎn)足的任何一個(gè)特征值必滿(mǎn)足的全部特征值為;.

9、初等矩陣的性質(zhì): 設(shè),對(duì)階矩陣規(guī)定:為的一個(gè)多項(xiàng)式. 的特征向量不一定是的特征向量. 與有相同的特征值,但特征向量不一定相同.與相似 (為可逆矩陣) 記為:與正交相似 (為正交矩陣)可以相似對(duì)角化 與對(duì)角陣相似. 記為: (稱(chēng)是的相似標(biāo)準(zhǔn)形) 可相似對(duì)角化 為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量. 這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣,為對(duì)角陣,主對(duì)角線(xiàn)上的元素為的特征值.設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,則有:. 注:當(dāng)為的重的特征值時(shí),可相似對(duì)角化的重?cái)?shù) 基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù). 若階矩陣有個(gè)互異的特征值可相似對(duì)角化. 若可相似對(duì)角化,則其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根重復(fù)計(jì)算). 若=, 相似矩陣的性質(zhì):,從而有相同的

10、特征值,但特征向量不一定相同.注是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 從而同時(shí)可逆或不可逆; (若均可逆); (為整數(shù));, 注前四個(gè)都是必要條件. 數(shù)量矩陣只與自己相似. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì): 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量; 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交; 注:對(duì)于普通方陣,不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān);一定有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.若有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=;必可用正交矩陣相似對(duì)角化,即:任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形;與對(duì)角矩陣合同,即:任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線(xiàn)性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形;兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似有相同的特征值.正交矩陣 為正交矩陣的個(gè)行(列)向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

11、正交矩陣的性質(zhì): ; ; 正交陣的行列式等于1或-1; 是正交陣,則,也是正交陣; 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣; 的行(列)向量都是單位正交向量組.二次型 ,即為對(duì)稱(chēng)矩陣,與合同 . 記作: ()正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù) 負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號(hào)差 (為二次型的秩) 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是: 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是: 經(jīng)過(guò)化為標(biāo)準(zhǔn)形. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個(gè)數(shù)是由 唯一確定的. 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為-1或0或1時(shí),稱(chēng)為二次型的規(guī)范形 . 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正(負(fù))慣性指數(shù)等于它的正(負(fù))特征值的個(gè)數(shù). 慣性定理:任一實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣與唯一對(duì)角陣合同. 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: 求出的特征值、特征向量; 對(duì)個(gè)特征向量正交規(guī)范化; 構(gòu)造(正交矩陣),作變換,則新的二次型為,的主對(duì)角上的元素即為的特征值.施密特正交規(guī)范化 線(xiàn)性無(wú)關(guān), 單位化: 技巧:取正交的基礎(chǔ)解系,跳過(guò)施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交,再把第二個(gè)解向量代入方程,確定其自由變量. 例如:取,.正定二次型 不全為零,

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