一致收斂判別法

1、一致收斂判別法柯西一致收斂準(zhǔn)則m判別法狄利克雷判別法阿貝爾判別法定理定理1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂一致收斂的的柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則一致收斂在區(qū)間函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)i )(1nnxu. .,n,n, 0tsixpnnn.)()(xsxsnpn或. .,n, 0tsixnmnn.)()(xsxsmn函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一致收斂的必要條件必要條件. 1p必要條件函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)的得在定理中令:推論一致收斂在區(qū)間函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)i )(1nnxu必要條件上在它的通項(xiàng)函數(shù)列i)(xun0一致收斂于.,:非常方便非一致收斂性判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的這個(gè)必要條件常被用來(lái)注)(. ., 1,n, 01xutsixpnnnn非一致收斂的在

2、區(qū)間上非一致收斂于在逆否命題i )(0,i)(:1nnnxuxu5例. ), 0(ne :1nnx-一致收斂上非在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)證明:證明0.)(0,)(上非一致收斂于在只需證明它的通項(xiàng)nxnnexu有即), 0(1, 01000nxnnnn. 1)1(10100000enennunnn. ), 0(ne ,1nnx-一致收斂上非在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)于是定理定理2 (m判別法)(優(yōu)級(jí)數(shù)判別法). )( , , )(111上一致收斂區(qū)間在級(jí)數(shù)則稱函數(shù)項(xiàng)有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若為收斂上區(qū)間定義在設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ixuixnnaixunnnnnn,)(nnaxu注注:魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯(weierstrass)判別

3、法判別法. )( )(,)(1):1111nnnnnnnnnnxuiaixuaaxu上優(yōu)于區(qū)間在或稱上的區(qū)間在稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足不等式注優(yōu)級(jí)數(shù). ,m,m)2(絕對(duì)收斂此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一定是一致收斂的判別法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)凡是能用別法判別法是絕對(duì)收斂的判例例6 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的的一致收斂性一致收斂性7例定理定理12 狄利克雷判別法狄利克雷判別法.,11收斂則級(jí)數(shù)滿足下列條件若級(jí)數(shù)nnnnnnbaba. 0lim(1)nnnaa 單調(diào)減少，且數(shù)列有界，的部分和數(shù)列級(jí)數(shù))2(1nnnbbmbbbnnmnn21b, 0有即定理定理13 阿貝爾判別法阿貝爾判別法單調(diào)有界；數(shù)列) 1

4、(na.,11收斂則級(jí)數(shù)滿足下列條件若級(jí)數(shù)nnnnnnbaba.)2(1收斂級(jí)數(shù)nnb引理引理(分部求和公式，分部求和公式，也稱也稱阿貝爾阿貝爾(abel)變換變換),), 1(是兩組實(shí)數(shù)與設(shè)nibaii 成立：則有如下分部求和公式若令, 0), 1(0211 nkbbbbkikik.)()()()(112321211111nnnnnnnniiiiniiiaaaaaaaaaaba11111223112)()()()(niiiinnnnnnnaaaaaaaaaaxy4a3a2a5a1a2b1b3b4b5b5432151iiiba.,豎條矩形面積之和為高的所有以為底表示以iiab551511)(a

5、aaiiii推論推論(阿貝爾引理阿貝爾引理) 若若)(,)(212121nnnaaaaaaaaai 或是單調(diào)數(shù)組則有,),1 (, 0)(1mbnkkmiiikik )2(1111nniiinnaambababamax3iaama定理定理3 狄利克雷判別法狄利克雷判別法.)()(,)()(11在區(qū)間一致收斂則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足下列兩個(gè)條件若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)xbxaxbxannnnnn0).)(0()(1)xaiixxann一致收斂于且在區(qū)間是單調(diào)的，對(duì)每一個(gè)函數(shù)列一致有界，在區(qū)間的部分和函數(shù)列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ixbxbnnn)()()2(166定理定理4 阿貝爾判別法阿貝爾判別法.)()(,)()(11在區(qū)間一致收斂則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足下列兩個(gè)條件若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)xbxaxbxannnnnn.)(1)一致有界且在區(qū)間是單調(diào)的，對(duì)每一個(gè)函數(shù)列iixxan一致收斂，在區(qū)間函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ixbnn1)()2(一致收斂，在區(qū)間函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)由ixbnn1)()2(. .,n,n, 0tsixpnnn即.)()(1xbxbpnn及阿貝爾引理可得一致有界是單調(diào)的，且在區(qū)間對(duì)每一個(gè)函數(shù)列由.)(1)iixxan.