矩陣的秩的性質(zhì)

1、矩陣的秩的性質(zhì)矩陣的秩的性質(zhì)和 矩陣秩與矩陣運(yùn)算之間的關(guān)系 要談矩陣的秩，就得從向量組的秩說起 ,向量組的秩 , 簡而言之就 是其極大無關(guān)組里向量的個數(shù)。進(jìn)而擴(kuò)展到線性方程組 , 在線性方程 組的概念中(課本P9 0)定理1說：“線性方程組有解的充要條件是， 它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。 那么不妨把矩陣用向量組的方式來看 , 那么有行秩和列秩，一個矩 陣的行秩和列秩相同，而其初等變換又不會改變秩。自然而然 , 我們 就得到了一個判斷矩陣秩的方法， 就是將它轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣， 非零 行數(shù)目即其秩。矩陣進(jìn)一步開展就是運(yùn)算了，包括數(shù)乘、加減、乘積 等, 又涉及到單位矩陣、 三角矩陣、可逆矩陣以

2、及矩陣的分塊等概念， 綜合所學(xué)，我們得到如下性質(zhì)：1、矩陣的初等變換不改變秩，任一矩陣的行秩等于列秩。2、秩為的n級矩陣(n r),任意葉1階行列式為0,并且至少 有一個 r 階子式不為 0.3、rank ( AB) min rank ( A), rank (B)rank ( A) rank ( A' ) ， rank ( A B) rank ( A) rank ( B) rank (kA) rank ( A)4、設(shè)A是s n矩陣，B為n s矩陣,那么rank(A)rank ( B) n rank ( AB) min rank (A), rank (B)5、設(shè)A是s n矩陣，p ,Q分

3、別是s ,n階可逆矩陣，那么rank (PA) rank ( AQ) rank ( A)矩陣的秩的性質(zhì)6、設(shè)A是s n矩陣,B為n s矩陣，且A B= 0,那么ran k(A) ran k(B) n7、設(shè) A是 s n 矩陣，那么 rank(AA') rank (A' A) rank (A)其中,也涉及到線性方程組解得問題：&對于齊次線性方程組，設(shè)其系數(shù)矩陣為A，rank(A) n 那么方程組有惟一非零解，rank(A) n那么有無窮多解，換言之，即為 克萊姆法那么，非齊次線性方程組有解時，rank(A)門惟一解，rank(A) n 有無窮多解。還有滿秩矩陣：9、可逆

4、滿秩10、行(列)向量組線性無關(guān)，即n級矩陣化為階梯形矩陣后非 零行數(shù)目為n。擴(kuò)展到矩陣的分塊后：A 01rank*ran k(AJ rank (A n)11、 0AACrankran k(A) ran k (B)“ 0B12、2 / 3矩陣的秩的性質(zhì)證明:1、先證明初等變換不會改變秩，就先從行秩開始 設(shè)矩陣A的行向量組是1， 2s,設(shè)a經(jīng)過1初等變換j+i*k變成矩 陣B,那么B的行向量組是“，,k i j,，s,顯然，仆，,k i j,，s可由1， 2s線性表出，由于 j 1 (k i j) k i，因此1，2s也可由，門,ki j,，s線性表出，于是它們等價，而等價向量組有相同的秩，因此 A的行秩等于 B的列秩。容易證明，2型和3型初等變換亦使所得矩陣的行向量組與原矩陣等 價,從而不改變矩陣的行秩。進(jìn)而列秩也可以得到證明，又階梯形矩陣的行秩與列秩相同，那 么，講一個矩陣通過初等變換得到階梯形矩陣 ，行秩等于列秩的性質(zhì) 便得證。2、設(shè)s n矩陣A的秩為r,那么A的行向量組中有r個線性無關(guān)的向 量，設(shè)A的第一，k行向量線性無關(guān)，它們組成一個矩陣 A (稱A 1 是A的子矩陣)，由于A的行向量組線性無關(guān)，因此A 1的行