大學(xué)物理第三章.

1、1 1 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理2 2 質(zhì)點系的動量定理及動量守恒質(zhì)點系的動量定理及動量守恒3 3 質(zhì)點系的動能定理和機械能守恒質(zhì)點系的動能定理和機械能守恒4 4 質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒5 5* * 有心力作用下的運動有心力作用下的運動mrmmmmrmrmrmrin1iii21ii2111C n 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其質(zhì)心的位矢：個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其質(zhì)心的位矢：質(zhì)心的位置：以質(zhì)量為質(zhì)心的位置：以質(zhì)量為權(quán)重的權(quán)重的加權(quán)平均加權(quán)平均。質(zhì)心可看作整個質(zhì)點系的代表質(zhì)心可看作整個質(zhì)點系的代表點，系統(tǒng)的全部質(zhì)量點，系統(tǒng)的全部質(zhì)量 m，動量，動量P都集中在它

2、上面。都集中在它上面。1m2m3mcr1r2r3rCOxyzxCyCzC質(zhì)心：質(zhì)心：特殊的幾何特殊的幾何點點C C, ,運動與運動與質(zhì)點間的相互作用力無關(guān)質(zhì)點間的相互作用力無關(guān)，其其運動代表了質(zhì)點系的整體運動運動代表了質(zhì)點系的整體運動。一一. . 質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)點系：具有相互作用的質(zhì)點系：具有相互作用的若干質(zhì)點若干質(zhì)點組成的系統(tǒng)。組成的系統(tǒng)。mxmxin1iiCmymyin1iiCmzm in1iiCzmxmd1Cxmymd1CymzmzCd1對質(zhì)量連續(xù)分布的物體：對質(zhì)量連續(xù)分布的物體：對質(zhì)量離散分布的體系：對質(zhì)量離散分布的體系：mrmrin1iiC(1)質(zhì)心不是質(zhì)點位矢的平均值，而是質(zhì)心不是質(zhì)點

3、位矢的平均值，而是加權(quán)平均加權(quán)平均值，與值，與m有關(guān)有關(guān).說明：說明：推論：推論：質(zhì)量均勻分布的物體，其質(zhì)心就在物體的幾何中心質(zhì)量均勻分布的物體，其質(zhì)心就在物體的幾何中心. (2)質(zhì)心的位矢與坐標(biāo)原點的選取有關(guān)，但質(zhì)心的位矢與坐標(biāo)原點的選取有關(guān)，但質(zhì)心與體系各質(zhì)質(zhì)心與體系各質(zhì)點的相對位置與坐標(biāo)原點的選取無關(guān)點的相對位置與坐標(biāo)原點的選取無關(guān).質(zhì)心質(zhì)心是質(zhì)點系全部質(zhì)量和動量的集中點；是質(zhì)點系全部質(zhì)量和動量的集中點；重心重心是重力的合力的作用點是重力的合力的作用點. 質(zhì)心的意義比重心的意義更廣泛更基本質(zhì)心的意義比重心的意義更廣泛更基本.(3) 質(zhì)心與重心的區(qū)別質(zhì)心與重心的區(qū)別mrmrin1iiC水分

4、子水分子 H2O 的結(jié)構(gòu)如圖的結(jié)構(gòu)如圖. 每每個氫原子和氧原子之間距離均個氫原子和氧原子之間距離均為為 d = 1.010 -10 m, 氫原子氫原子 和氧原子和氧原子 兩條連線間的夾角兩條連線間的夾角為為= 104.6.求水分子質(zhì)心求水分子質(zhì)心OHHoxyCdd52.3o52.3o 解解: 由于氫原子對由于氫原子對 x 軸對稱，故軸對稱，故 yC = 0 .代入數(shù)據(jù) xC = 6.810-12 mirCm108 . 612HOHHOHiiniiCmmm.dmm.dmmxmx737sin0737sin1均勻直桿的質(zhì)心均勻直桿的質(zhì)心 一根長為L的勻質(zhì)直桿一端放在原點，另一端放在x=L處桿的質(zhì)量線

5、密度為，求質(zhì)心的位置dxOxxL解桿質(zhì)點系中建立如圖坐標(biāo)系取任一質(zhì)元（線元dx）ddmx線元dx坐標(biāo)位置為x質(zhì)點系質(zhì)心的位置200dd/22ddLcLxxx mLLxLmx進一步思考桿的質(zhì)量分布 = aaxx或 桿的質(zhì)心位置？d求半徑為求半徑為 R ,質(zhì)量面密度為質(zhì)量面密度為的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心.RdRsinRxyRcosO解解選如圖所示的坐標(biāo)系選如圖所示的坐標(biāo)系在半球殼上取一如圖圓環(huán)在半球殼上取一如圖圓環(huán)dRdRsinRxyRcosO 圓環(huán)的面積圓環(huán)的面積dsin2dRRs由于球殼關(guān)于由于球殼關(guān)于y 軸對稱，故軸對稱，故xc= 0dsin2d2Rm 圓環(huán)的質(zhì)量圓環(huán)的質(zhì)量m

6、ymd1CyRycosdRdRsinRxyRcosO2dsincos20RRCy所以所以jRrC2其質(zhì)心位矢：其質(zhì)心位矢：222dsin2RRy3.1.2 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理質(zhì)心的速度dd1ddciciimtmtrr質(zhì)心的加速度dd1ddciciimtmtaiiicmmiiicmmaa對質(zhì)點系中各個質(zhì)點運用牛頓第二定律對質(zhì)點系中各個質(zhì)點運用牛頓第二定律.表示系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點表示系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點j對對質(zhì)點質(zhì)點i的相互作用力的相互作用力intijF且且 iciiimmmFa iiiiiciiimmmFaaa質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 例題例題 三名質(zhì)量相等的運動員手拉手脫離飛機作花樣三名質(zhì)量相等的運動

7、員手拉手脫離飛機作花樣跳傘跳傘.由于作了某種動作，運動員由于作了某種動作，運動員D 質(zhì)心加速度為質(zhì)心加速度為 鉛直向下；運動員鉛直向下；運動員 A 質(zhì)心加速度為質(zhì)心加速度為 ，與鉛直方向，與鉛直方向成成 ，加速度均以地球為參考系，加速度均以地球為參考系.求運動員求運動員B 的的質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度. 運動員所在高度的重力加速度為運動員所在高度的重力加速度為g. 不計空不計空氣阻力氣阻力.g54g5630 AAaDDaBBa解解 將三運動員簡化為質(zhì)點系，受外力只有重力，將三運動員簡化為質(zhì)點系，受外力只有重力，W表表示各運動員所受重力示各運動員所受重力. 建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系，m表示各運

8、動表示各運動員質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)心運動定理，員質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)心運動定理，mrmrmrmtmtrmWDBAc3dd3dd332222 gaaaDBA3 表示各運動員質(zhì)心的加速度表示各運動員質(zhì)心的加速度.將上式投影將上式投影DBAaaa,gggayB330cos5654 030sin56 gaxBAAaDDaBBaxyOWWWgayB)3311(51 0227arctan ByBxaa 得得gaxB53 gaaayxBBB31. 122 AAaDDaBBaxyOWWW3.2.1 3.2.1 質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量iicimmP零動量參照系零動量參照系（質(zhì)心系）（質(zhì)心系）質(zhì)心作為參照系質(zhì)心作為參照系 其中

9、質(zhì)心的速度始終為零其中質(zhì)心的速度始終為零質(zhì)心系看來：質(zhì)心系看來： 質(zhì)點系的總動量始終為零質(zhì)點系的總動量始終為零0c0ciiimmP質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量dd1ddciciiiiicmtmtmmrr質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度3.2.2 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 動量守恒動量守恒質(zhì)點系質(zhì)點系質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理1m2m12F21F1F2F)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt因為內(nèi)力因為內(nèi)力02112 FF0ppIniiiiniittmmtF101ex21dvv由質(zhì)

10、心運動定理ddd()dciciciimmtmtFaFm 常數(shù)()dd()icitmF合外力的沖量合外力的沖量= =質(zhì)點系動量變量質(zhì)點系動量變量內(nèi)力的作用對質(zhì)點系動量無貢獻內(nèi)力的作用對質(zhì)點系動量無貢獻0()dtiiiiitiiimmtFi()dtdiPF0IPP0()dtiixiixixiiitmmFt0()dtiiyiiyiyiiitmmFt0()dtiiziiziziiitmmFt分量式質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理注意注意內(nèi)力不改變質(zhì)點系的動量內(nèi)力不改變質(zhì)點系的動量gbm2m000bgvv初始速度初始速度則則00pbgvv20p推開后速度推開后速度 且方向相反且方向相反 則則推開前后系統(tǒng)

11、動量不變推開前后系統(tǒng)動量不變0pp幾點說明幾點說明 (1)只有外力對體系的總動量變化有貢獻，內(nèi)力對只有外力對體系的總動量變化有貢獻，內(nèi)力對體系的總動量變化沒有貢獻，但內(nèi)力對動量在體體系的總動量變化沒有貢獻，但內(nèi)力對動量在體系內(nèi)部的分配是有作用的系內(nèi)部的分配是有作用的.是過程量是過程量,積分效果積分效果 tFId.動動量量改改變變(2)(3) 動量定理既適于質(zhì)點又適于質(zhì)點系動量定理既適于質(zhì)點又適于質(zhì)點系. (4)動量定理只適用于慣性系動量定理只適用于慣性系, 對非慣性系，還應(yīng)對非慣性系，還應(yīng)計入慣性力的沖量計入慣性力的沖量.(5)動量定理是矢量式動量定理是矢量式,應(yīng)用時可用沿坐標(biāo)軸的應(yīng)用時可用沿

12、坐標(biāo)軸的分量分量式式求解求解, 如如 x 軸分量式軸分量式tpFixiixd)d( xxiixpptFtt00d)( 質(zhì)點系動量守恒質(zhì)點系動量守恒質(zhì)點系受合外力為零時質(zhì)點系受合外力為零時質(zhì)點系動量守恒質(zhì)點系動量守恒=iiimP恒矢量質(zhì)點系某方向受外力為零時質(zhì)點系某方向受外力為零時0 ixxiixiiFPmC 0 iyyiiyiiFPmC 0 izziiziiFPmC 在外力矢量在外力矢量和為零的方和為零的方向上向上, ,質(zhì)點系質(zhì)點系動量不變動量不變. .1）質(zhì)點系總動量與內(nèi)力無關(guān)，內(nèi)力的作用僅改變總動量質(zhì)點系總動量與內(nèi)力無關(guān)，內(nèi)力的作用僅改變總動量在各質(zhì)點之間的分配，而不能改變系統(tǒng)的總動量在各

13、質(zhì)點之間的分配，而不能改變系統(tǒng)的總動量.2）在所涉及的時間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，則外力的在所涉及的時間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，則外力的沖量可以忽略不計沖量可以忽略不計3）動量定理和動量守恒定律動量定理和動量守恒定律都是都是相對于同一慣性系相對于同一慣性系而言的而言的注意注意 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m1 1的平板車長為的平板車長為L，可自由地沿光滑水平直軌運動，可自由地沿光滑水平直軌運動，車的一端站有一質(zhì)量為車的一端站有一質(zhì)量為m2 2的小孩，如圖所示起始時，車與小孩的小孩，如圖所示起始時，車與小孩都靜止不動，試求：都靜止不動，試求：1 1）當(dāng)小孩以相對于車的速度當(dāng)小孩以相對于車的速度v 跑向車的另

14、一端時，車的速度？跑向車的另一端時，車的速度？2 2）當(dāng)小孩跑到車的另一端時，車子移動了多少距離？）當(dāng)小孩跑到車的另一端時，車子移動了多少距離？例例設(shè)車對地的速度為設(shè)車對地的速度為v，小孩對地的速度為，小孩對地的速度為v + v系統(tǒng)水平方向動量守恒系統(tǒng)水平方向動量守恒解解Lm2m1x12()0mmvvv212mmm vv車的速度為車的速度為20012ddttmttmm vv1）2）0dttLv小孩在車上移動距離小孩在車上移動距離2012dtmxtLmm v車移動距離為車移動距離為3.2.3 變質(zhì)量問題舉例變質(zhì)量問題舉例一、火箭速度和推進力一、火箭速度和推進力v+dv(對地面對地面)時刻時刻t+

15、dt主體質(zhì)量主體質(zhì)量u(對主體對主體)dm噴出燃料噴出燃料m-dm系統(tǒng)系統(tǒng): :火箭主體火箭主體+ +噴出的燃料噴出的燃料系統(tǒng)在系統(tǒng)在t t時刻與時刻與t+dtt+dt時刻的動量守恒時刻的動量守恒(d )(d )d ()mvmm vvm vudd0mu mv略去二階小量ddmvum過程過程tt+dt系統(tǒng)系統(tǒng)(主體主體+ +燃料燃料) m主體主體 m-d-dm噴出燃料噴出燃料dm速度（對地）速度（對地）vv+dvv-u動量動量mv(m-d-dm)(v+dv)dm(v-u)ddmm 火箭00dvmvmmdvum 火箭火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m0m火箭速度火箭速度 v0 v水平推進過程中火箭的速度為水平推進

16、過程中火箭的速度為00lnmumvvv: 提高火箭的質(zhì)量比或增大噴氣速度提高火箭的質(zhì)量比或增大噴氣速度u以噴出的燃料以噴出的燃料dm為研究對象為研究對象dt 時間內(nèi)的動量變化率時間內(nèi)的動量變化率為燃料受火箭力為燃料受火箭力d ()dddmumFutt dt 時間內(nèi)的時間內(nèi)的火箭受噴射燃料的火箭受噴射燃料的推進力推進力ddmFut推進力推進力ddmvum 火箭二、落鏈問題二、落鏈問題研究系統(tǒng)研究系統(tǒng)：t時刻已落地的時刻已落地的l-x長度部分鏈條長度部分鏈條 +將要落地的將要落地的-dx長度為部分鏈條長度為部分鏈條過程過程tt+dt系統(tǒng)系統(tǒng)(將要落地將要落地) -dx（已經(jīng)落地）（已經(jīng)落地）-d-

17、dx速度（對地）速度（對地）0動量動量02 ()g lx dx() d(d )( )dFlx gtp ttp tx 系統(tǒng)受到桌面系統(tǒng)受到桌面向上的支持力向上的支持力 F和重力和重力 ( (l-x)g)g質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理ddxt v2()2 ()Flx glx gv3 ()Flx g求鏈條對地面的壓力隨下落長度求鏈條對地面的壓力隨下落長度x的變化的變化例例 一長為一長為 l、密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度的質(zhì)密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度的質(zhì)量為量為 將其卷成一堆放在地面上將其卷成一堆放在地面上 若手提鏈條的一若手提鏈條的一端端 ， 以勻速以勻速 v 將其上提當(dāng)一端被提離地面高度為將

18、其上提當(dāng)一端被提離地面高度為 y 時，時，求求手的提力手的提力 解解 取地面參考系取地面參考系, 鏈條為系統(tǒng)鏈條為系統(tǒng).在在 t 時刻鏈條動量時刻鏈條動量jytpv)(jjtytp2ddddvvygF2vyyoFyg動量定理動量定理問題舉例問題舉例例例 一柔軟鏈條長為一柔軟鏈條長為l，單位長度單位長度的質(zhì)量為的質(zhì)量為，鏈條放在有一小孔，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍由于某其余部分堆在小孔周圍由于某種擾動，鏈條因自身重量開始下種擾動，鏈條因自身重量開始下落。落。m1m2Oyy求鏈條下落速度求鏈條下落速度v與與y之間的關(guān)系設(shè)各處摩擦

19、均之間的關(guān)系設(shè)各處摩擦均不計，且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開不計，且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開 解解 以豎直懸掛的鏈條和以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系由質(zhì)點系動量定理得由質(zhì)點系動量定理得ddF tp1Fm gyg則則)d(d vytyg)d()d(dvvymptddvyyg m1m2Oyytddvyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2tvvvyyyyyyg002dd21 32gyv232131vygy m1m2Oyy柯尼希定理：柯尼希定理：質(zhì)點系相對質(zhì)點系相對慣性系慣性系的動能的動能，等于等于質(zhì)質(zhì)點系的點系的質(zhì)

20、心動能和質(zhì)心動能和相對其質(zhì)心運動的動能之和。相對其質(zhì)心運動的動能之和?？履嵯６ɡ砜履嵯６ɡ?21122kCiiEmvmv質(zhì)點系的總動能質(zhì)點系的總動能212kiiiEm各個質(zhì)點的動能之和各個質(zhì)點的動能之和kCkEE,int212kEm質(zhì)點的動能為質(zhì)點的動能為一、一、質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能vi是質(zhì)點是質(zhì)點i相對相對于質(zhì)心的速度于質(zhì)心的速度二、二、 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理BBint22BAAA11dd22iiijiiiiij immFrFrvv對第對第i個質(zhì)點個質(zhì)點Bext,extAdFriiiiiAA對于整個質(zhì)點系對于整個質(zhì)點系外力的總功外力的總功Bintint,intAdFriiji

21、iij iAA內(nèi)力的總功內(nèi)力的總功2kAA12iiiEmv2kBB12iiiEmvextintkBkAAAEE系統(tǒng)初動能系統(tǒng)初動能系統(tǒng)末動能系統(tǒng)末動能質(zhì)點系：狀態(tài)質(zhì)點系：狀態(tài)A A到到B B質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能定理定理系統(tǒng)總動能的增量系統(tǒng)總動能的增量= =所有外力對質(zhì)點系所做的功所有外力對質(zhì)點系所做的功+ +內(nèi)力對質(zhì)點系所做的功之和內(nèi)力對質(zhì)點系所做的功之和內(nèi)力作用：動量守恒，動能改變內(nèi)力作用：動量守恒，動能改變每一個質(zhì)點都可以寫出這樣一個方程，然后疊加。每一個質(zhì)點都可以寫出這樣一個方程，然后疊加。質(zhì)點系質(zhì)點系1m2m12F21F1F2F一鏈條總長為一鏈條總長為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m放在桌面上

22、并使其下垂，下垂的長度放在桌面上并使其下垂，下垂的長度為為a，設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦因數(shù)為，設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦因數(shù)為 ，令鏈條從靜止開始運動，令鏈條從靜止開始運動，求：（求：（1 1）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？（2 2）鏈條離開桌面時的速率是多少？）鏈條離開桌面時的速率是多少？f()/Fmg lxl解解鏈條與桌面摩擦鏈條與桌面摩擦fd()dFrllFaamgAlxxl摩擦力做功摩擦力做功221()()22lamgmglxxlall 1 1）l - xxOx坐標(biāo)選取如圖坐標(biāo)選取如圖2 2）f2201122GFAAAmmv

23、v整個鏈條的動能定理整個鏈條的動能定理00v212GFAAmvdlGaAWr重力做功重力做功2222()()1222mg lamg lamllv代入功能原理代入功能原理12222()()glalalv212GFAAmvl - xxOx坐標(biāo)選取如圖坐標(biāo)選取如圖22()d2lamgmg lax xll3.3.2 一對內(nèi)力的功一對內(nèi)力的功一對內(nèi)力的功一對內(nèi)力的功zxyOdr11r1r22dr2int12Fint21Fintint212121ddFrFr一對內(nèi)力一對內(nèi)力int12Fint21F位移位移d dr1 1 、d dr2 2 系統(tǒng)內(nèi)任意二質(zhì)點系統(tǒng)內(nèi)任意二質(zhì)點1 1、2 2 intintint2

24、121212121dddFrFrFr2121rrr質(zhì)點質(zhì)點1 1、2 2相對位移相對位移 一對內(nèi)力的功可寫成一對內(nèi)力的功可寫成一對內(nèi)力的功一對內(nèi)力的功與與1、2質(zhì)點質(zhì)點相對位移有關(guān)相對位移有關(guān)，與參照系的選擇，與參照系的選擇無關(guān)無關(guān)。一對內(nèi)力的功等于其中一個質(zhì)點所受的力與該質(zhì)點相對于一對內(nèi)力的功等于其中一個質(zhì)點所受的力與該質(zhì)點相對于另一個質(zhì)點的元位移的標(biāo)積另一個質(zhì)點的元位移的標(biāo)積。結(jié)論：結(jié)論：內(nèi)力的功之和：內(nèi)力的功之和：int2121d()Frr滑塊滑塊A A置于光滑的水平面上置于光滑的水平面上, ,物體物體B B放在滑塊放在滑塊A A上，假設(shè)滑塊上，假設(shè)滑塊A A足夠長現(xiàn)用外力足夠長現(xiàn)用外力

25、F拉動拉動A A由靜止開始運動由靜止開始運動, ,則則B在在A上滑動，上滑動，A、B間的滑動摩擦因數(shù)為間的滑動摩擦因數(shù)為. .若若B在在A上向后相對滑動的距離上向后相對滑動的距離為為l設(shè)設(shè)A、B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為mma a、mmb b. .求在此過程中求在此過程中A、B間間的一對摩擦力所做的功之和為多少？的一對摩擦力所做的功之和為多少？AB以地面為參考系以地面為參考系 設(shè)設(shè)A A滑動的距離為滑動的距離為S解1cosAf SfSfS B滑塊對地滑塊對地 移動移動S-l 摩擦力摩擦力f做功做功 2()()cos0()AfSlf Slf Sl()ff 這對摩擦力做功這對摩擦力做功 12()AA

26、fSf Slfl 一對摩擦力所做的功之和等于其中一個物體所受的摩擦力乘一對摩擦力所做的功之和等于其中一個物體所受的摩擦力乘以兩個物體之間的相對位移以兩個物體之間的相對位移, ,且且始終為負(fù)值始終為負(fù)值一對摩擦力所做的功一對摩擦力所做的功如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m0的卡車載一質(zhì)量為的卡車載一質(zhì)量為m的木箱，以速率的木箱，以速率v 沿水平路面行駛沿水平路面行駛. 因故突然剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動，因故突然剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動，卡車滑行一定距離卡車滑行一定距離L后靜止，木箱在卡車上相對于卡車后靜止，木箱在卡車上相對于卡車滑行了滑行了l 距離距離. 求求L和和l. 已知木箱與卡車間的摩擦系數(shù)為已知木箱

27、與卡車間的摩擦系數(shù)為 1 ,卡車與地面的動摩擦因數(shù)為卡車與地面的動摩擦因數(shù)為 2 .lLFNF1NFfFW2NFfF 1W解解 1.用質(zhì)點動能定理求解用質(zhì)點動能定理求解受力分析如圖，只有力受力分析如圖，只有力 , 和和 做功做功 fFfF F根據(jù)質(zhì)點動能定理得根據(jù)質(zhì)點動能定理得 210)(201211vmLWWW211210)(mvlLW卡車卡車木箱木箱lLgmmmvmL)( 2/10220 Lgvl 122/ 2.用質(zhì)點系運動定理求解用質(zhì)點系運動定理求解 視卡車與木箱為一質(zhì)點系視卡車與木箱為一質(zhì)點系 gLmmA)(02 外外)3( )(21)(20021vmmgLmmmgl mglA1 內(nèi)內(nèi)

28、按質(zhì)點系運動定理，有按質(zhì)點系運動定理，有 (2)(3)聯(lián)立得與上法相同結(jié)果聯(lián)立得與上法相同結(jié)果. )2( 210)(211mvlLW 3.3.3 保守力的功 勢能rermmGF2( (1) ) 萬有引力作功萬有引力作功作功的特點作功的特點 對對 的萬有引力為的萬有引力為mmm移動移動 時，時， 作元功為作元功為 FrdddGAFrrermmGrd2rrrdrdmmABArBr2dBArGrmmAGrrrrererrdcosdd11()GBAAGm mrr2ddBGrAmmAFrGerrm從從A到到B的過程中的過程中作功：作功： FrrrdrdmmABArBr與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) j yi xr

29、ddd)(ABmgymgyjmgP2 ） 重力作功重力作功ABAyByPoxyrdDCymgrPWBAyyBAdd A與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) ikxF( (3) ) 彈性力作功彈性力作功2211ddxxkxxAF xkx x)2121(2122kxkx ddkAkx x 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) AxBxFxoF保守力保守力: 力所作的功與路徑無關(guān)力所作的功與路徑無關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點的，僅決定于相互作用質(zhì)點的始末始末相對相對位置位置 .ADBACBrFrFd d ABCD物體沿物體沿閉合閉合路徑運動路徑運動 一周時一周時, 保守力對它所作的功等于零保守力對它所作的功等于零 .非保守力非保守力:

30、 力所作的功與路徑有關(guān)。（例如力所作的功與路徑有關(guān)。（例如摩擦摩擦力）力）BDAACBlrFrFrFd d d0d lrF在任意點受保守力的作用，在任意點受保守力的作用，質(zhì)點從質(zhì)點從A-BA-B，所做的功所做的功與路與路徑無關(guān)，而只與這兩點的位徑無關(guān)，而只與這兩點的位置有關(guān)?？梢胍粋€置有關(guān)?？梢胍粋€只與位只與位置有關(guān)置有關(guān)的狀態(tài)函數(shù)，的狀態(tài)函數(shù)，A A點的函點的函數(shù)值減去數(shù)值減去B B點的函數(shù)值，定義點的函數(shù)值，定義為從為從A-BA-B保守力所做的功，保守力所做的功，該狀態(tài)函數(shù)就是該狀態(tài)函數(shù)就是勢能勢能。AB三勢能三勢能三勢能三勢能系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),與質(zhì)點位置有關(guān)的能量與質(zhì)點位置有關(guān)的

31、能量.)2121(22ABkxkxW彈力彈力功功)()(ABrmmGrmmGW引力引力功功)(ABmgymgyW重力重力功功彈性彈性勢能勢能2p21kxE引力引力勢能勢能rmmGEp重力重力勢能勢能mgzE pp2p1P()cAEEE 保守力的功保守力的功0),(pp0d),(EzyxrFzyxE00pE令令 勢能計算勢能計算pp0p()cAEEE 保守力作正功保守力作正功-勢能減少勢能減少 2.勢能具有勢能具有相對性相對性，勢能勢能大小大小與勢能與勢能零點零點的選的選取取有關(guān)在講到勢能時，必須指有關(guān)在講到勢能時，必須指 明零位置才明零位置才有意義。有意義。),(ppzyxEE 1.勢能是勢能

32、是狀態(tài)的函數(shù)狀態(tài)的函數(shù)4.勢能是屬于保守力相互作用著的整個勢能是屬于保守力相互作用著的整個系統(tǒng)的系統(tǒng)的，實質(zhì)就是一種相互作用能。實質(zhì)就是一種相互作用能。討論討論3.勢能差與勢能零點選取無關(guān)。勢能差與勢能零點選取無關(guān)。只與位置有關(guān)。只與位置有關(guān)。pEyOmgyEp彈性彈性勢能曲線勢能曲線0, 0pEx重力重力勢能曲線勢能曲線0, 0pEy引力引力勢能曲線勢能曲線0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp勢能曲線勢能曲線:由勢能函數(shù)確定的勢能隨坐標(biāo)變化的曲線。由勢能函數(shù)確定的勢能隨坐標(biāo)變化的曲線。 例例 物體物體A、B，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為 mA、mB，用彈簧相用彈簧相連，放在光滑水平

33、面上。彈簧原長為連，放在光滑水平面上。彈簧原長為 l0 ，彈性系數(shù)為，彈性系數(shù)為k?，F(xiàn)將彈簧拉長到。現(xiàn)將彈簧拉長到 l 后無初速釋放，求當(dāng)彈簧恢復(fù)后無初速釋放，求當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時物體原長時物體 A、B 的速度，彈簧質(zhì)量不計。的速度，彈簧質(zhì)量不計。BAAByxmAgFmBgvAvBFNAFNBF 作受力圖。質(zhì)點系包含兩個質(zhì)點A、B由于質(zhì)點位移在水平方向，外力不作功；但兩質(zhì)點間的距離是可變的，故內(nèi)力F、F所做的功不為零。設(shè)當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時物體A、B的速度分別為 vA、vB，方向如圖示。由動能定理：解：解：2022)(llkvmvmBBAA即由質(zhì)點系動量守恒得0BBAAvmvm2220110()()

34、0222AABBkllmm )()(0llmmmkmvBAABA)()(0llmmmkmvBABAB聯(lián)立解之得平臺的質(zhì)量平臺的質(zhì)量 m = 30 kg，固連在剛度系數(shù)，固連在剛度系數(shù) k = 18 N/mm的彈性支承上。現(xiàn)在從平衡位置給平臺以向下的初速的彈性支承上?，F(xiàn)在從平衡位置給平臺以向下的初速度度v0 = 5 m /s，求平臺由這位置下沉的最大距離，求平臺由這位置下沉的最大距離s ，以，以及彈性支承中承受的最大力，假設(shè)平臺作平動。及彈性支承中承受的最大力，假設(shè)平臺作平動。例例1= ss2= s+sv0v2=0mgF解：解： 取平臺為研究對象。從平衡位置取平臺為研究對象。從平衡位置A1(圖圖

35、a)運動到最運動到最大下沉位置大下沉位置A2(圖圖b)，平臺的初動能，平臺的初動能 Ek1=mv02/2 ，而末動能而末動能 Ek2=0 。彈簧的初變形彈簧的初變形 1= s=mg/k，末變末變形形 2= s+s ，作用在平臺上的力有重力，作用在平臺上的力有重力mg 和彈性和彈性力力 F(圖圖c)。1= ss2= s+sv0v2=0mgF根據(jù)動能定理的積分形式由此求得平臺的最大下沉距離彈性支承有最大壓縮量2= s+s ,故承受的最大壓力Fmax = k(s+s ) = mg + ks = 4 kN s = 204 mm它們的總功為1= ss2= s+sv0v2=0mgF22S2S2)(2sks

36、kmgsW2202210skmv3.3.4 機械能守恒機械能守恒系統(tǒng)狀態(tài)從系統(tǒng)狀態(tài)從A A到到B BextA外力對系統(tǒng)做功外力對系統(tǒng)做功int,cA系統(tǒng)保守內(nèi)力做功系統(tǒng)保守內(nèi)力做功int,ncA系統(tǒng)系統(tǒng)非非保守內(nèi)力做功保守內(nèi)力做功質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理int,int,kBkAextcncAAAEEint,pBpA()cAEE 質(zhì)點系的保守內(nèi)力做正功質(zhì)點系的保守內(nèi)力做正功 系統(tǒng)勢能減少系統(tǒng)勢能減少int,kBpBkApA()()extncAAEEEEint,AextncBAAEE系統(tǒng)的總動能和勢能之系統(tǒng)的總動能和勢能之和稱為系統(tǒng)的機械能和稱為系統(tǒng)的機械能E E系統(tǒng)所受的外力的功和非保守

37、內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)機械能的增量系統(tǒng)所受的外力的功和非保守內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)機械能的增量功能原理功能原理孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng) int,0ncA0extApApBkBkAEEEE能量守恒定律：能量守恒定律：對一個與自然界對一個與自然界無無任何聯(lián)系的系統(tǒng)任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說來說, , 系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量可以可以相互轉(zhuǎn)換，但是不相互轉(zhuǎn)換，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生不能產(chǎn)生，也不能消滅。，也不能消滅。機械能守恒機械能守恒若系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功為零若系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功為零int,AextncBAAEEABEE機械能守恒機械能守恒機械能守恒定律機械能守恒定律:只有保

38、守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系的機械能保持不變的機械能保持不變 . 下列各物理量中，與參照系有關(guān)的物下列各物理量中，與參照系有關(guān)的物理量是哪些？理量是哪些？ （不考慮相對論效應(yīng)）（不考慮相對論效應(yīng)） 1）質(zhì)量質(zhì)量 2）動量動量 3）沖量沖量 4）動能動能 5）勢能勢能 6） 功功答：答：動量、動能、功動量、動能、功 。討討 論論 守恒定律的守恒定律的意義意義 不究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各不究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個守恒定律的特點和優(yōu)點個守恒定律的特點和優(yōu)點 . 解解: 由牛頓第二定律和萬有由牛頓第二定律和萬有引力定律引力定律E22EE2

39、)2(RmRmmGavavbvERER4abo 例例 已知地球的半徑為已知地球的半徑為 RE 6.4103 km, 今有質(zhì)量為今有質(zhì)量為 m = 3.0103 kg 的人造地球衛(wèi)星從半徑為的人造地球衛(wèi)星從半徑為 2 RE 的圓形軌的圓形軌道上道上 , 經(jīng)如圖所示的半橢圓形軌道上的點經(jīng)如圖所示的半橢圓形軌道上的點 a 變軌至半徑變軌至半徑為為 4RE 的另一個圓形軌道點的另一個圓形軌道點 b上上. 點點 a 和點和點 b 處的橢圓處的橢圓軌道與圓軌道的切線相切軌道與圓軌道的切線相切. 試問試問: 衛(wèi)星完成了變軌過程后獲衛(wèi)星完成了變軌過程后獲得了多少能量得了多少能量 ?avbvERER4aboEE

40、E241221mgRRmmGmEaavgRmGE2E 2/1E)2/(gmav已知已知：RE 6.4103 km , m = 3.0103 kg E22EE2)2(RmRmmGavEEE281421mgRRmmGmEbbvE81mgRE J 1035. 210解：解：本題分為三個過程本題分為三個過程2 .泥球與盤碰撞（動量守恒）泥球與盤碰撞（動量守恒）Vmmm)(v2/2ghVvgh2v1 . 泥球下落（機械能守恒）泥球下落（機械能守恒）221vmmgh 例例 一輕彈簧懸掛一金屬盤，彈簧伸一輕彈簧懸掛一金屬盤，彈簧伸長長 ,一個質(zhì)量和盤相同的泥球，從高于一個質(zhì)量和盤相同的泥球，從高于盤盤 處靜

41、止下落盤上，處靜止下落盤上，求求盤向下運動的盤向下運動的最大距離最大距離 .cm101lcm30hL1lmmyhL21212)(2121)2()2(21lLkklgLmVm0300202LL1/lmgk 10,30Lcm30L3 . 泥球與盤一快下落泥球與盤一快下落（機械能守恒機械能守恒）ghV2122/2ghVv1lmmyhL0pE3.3.5 兩體碰撞兩體碰撞1 102201 122mmmmvvvv22221 1221 1022011112222kEmmmmvvvv動量守恒動量守恒機械能損失機械能損失一般碰撞一般碰撞CpFFiiinex 碰撞碰撞 兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大兩物體互

42、相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用的相互作用 .CEEE2k1kk 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后，兩物體碰撞之后， 它們的動能之它們的動能之和不變和不變 .211020evvvv牛頓碰撞定律牛頓碰撞定律01e一般非彈性碰撞0e 完全非彈性碰撞1e 完全彈性碰撞e：分離速度與接近速度比值碰撞碰撞恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)例例 當(dāng)小球從一定高度當(dāng)小球從一定高度h自由下落自由下落，測得其反跳高度為測得其反跳高度為h ，如圖如圖（a）所示根據(jù)測量值計算小球與地面的恢復(fù)系數(shù)所示根據(jù)測量值計算小球與地面的恢復(fù)系數(shù)hhv10v1（a）（b）以向下為正以向下為正v10為小球落到地面的速度為小球落到地面的

43、速度（碰撞前與地面的接近速度）（碰撞前與地面的接近速度）v1為小球彈起的速度為小球彈起的速度（碰后與地面的分離速度）（碰后與地面的分離速度）11101000evvvv1012,2ghgh vv110hehvv解解1m2m1m2m1020121 102201 122mmmm動量守恒動量守恒1 102201 122xxxxmmmm1 102201 122yyyymmmm完全彈性完全彈性碰撞碰撞22221 102201 12211112222mmmm一般的非彈性碰撞，只要給定碰后質(zhì)點速度的方位，一般的非彈性碰撞，只要給定碰后質(zhì)點速度的方位，問題也可以求解問題也可以求解二維碰撞二維碰撞分量形式分量形式

44、解：設(shè)碰撞后兩球速度解：設(shè)碰撞后兩球速度21vvv 由動量守恒由動量守恒21vv,兩邊平方兩邊平方22212122vvvvv由機械能守恒（勢能無變化）由機械能守恒（勢能無變化）22212vvv 021 vv兩球速度總互相垂直兩球速度總互相垂直 在平面兩相同的球做二維完全彈性碰撞，其中一球開始時在平面兩相同的球做二維完全彈性碰撞，其中一球開始時 處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度 。 求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。vm11vm2h 例例1 沖擊擺是一種測定子彈速率的裝置沖擊擺是一種測定子彈速率的裝置. 木塊的質(zhì)木塊的質(zhì)量為量為 m2 , 被懸掛在細(xì)

45、繩的下端被懸掛在細(xì)繩的下端. 有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m1 的子彈的子彈以速率以速率 v1 沿水平方向射入木塊中后沿水平方向射入木塊中后 , 子彈與木塊將一子彈與木塊將一起擺至高度為起擺至高度為 h 處處. 試求此子彈射入木塊前的速率試求此子彈射入木塊前的速率. 解解 第第一一過程子彈與木過程子彈與木快碰撞動量守恒快碰撞動量守恒22111)(vvmmmghmmmm)()(21212221v2/ 11211)2( ghmmm v 第第二二過程子彈、木塊過程子彈、木塊一塊運動機械能守恒一塊運動機械能守恒 例例 2 設(shè)有兩個質(zhì)量分別為設(shè)有兩個質(zhì)量分別為 和和 , 速度分別速度分別為為 和和 的彈性小球

46、作對心碰撞的彈性小球作對心碰撞 , 兩球的速度方兩球的速度方向相同向相同. 若碰撞是完全彈性的若碰撞是完全彈性的, 求碰撞后的速度求碰撞后的速度 和和 . 20v2m1m10v1v2v2211202101vvvvmmmm 解解 取速度方向為正向，由動取速度方向為正向，由動量守恒定律得量守恒定律得由機械能守恒定律得由機械能守恒定律得2222112202210121212121vvvvmmmmA1m2m10v20vB1v2vAB碰前碰前碰后碰后)()(20221101vvvvmm（1）若）若21mm 則則102201 , vvvv（2）若）若且且0 20v12mm 則則0 , 2101vvv討討

47、論論21202102112)(mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvvA1m2m10v20vB1v2vAB碰前碰前碰后碰后3.4.1 質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系對定點質(zhì)點系對定點O的角動量的角動量L= =各質(zhì)點對定點各質(zhì)點對定點O的角動量之的角動量之矢量矢量和和dddiiLLL質(zhì)點系角動量的變化質(zhì)點系角動量的變化ddtiiLMd(d )()diiiittLMMiiMM質(zhì)點系所受的對質(zhì)點系所受的對O O點的總力矩點的總力矩ddtLM質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理iiiiiiiiivmrprLL 質(zhì)點質(zhì)點i對定點對定點O的角動量的角動量iimiripiriLvzxyO1r1r

48、22dr12int21Fint12Fintintintint11222112121212()0rFrFrrFrF任一對內(nèi)力對定點任一對內(nèi)力對定點OO的力矩為零的力矩為零intint1221 FF質(zhì)點系中質(zhì)點系中，一對內(nèi)力矩之和總是為零一對內(nèi)力矩之和總是為零總力矩就只是總力矩就只是外力矩的矢量和外力矩的矢量和-合外力矩合外力矩iiMrF2121dtttLLM一段有限過程一段有限過程對同一個固定點對同一個固定點O O，質(zhì)點系的角動量的增量，質(zhì)點系的角動量的增量= =合外力矩的沖量合外力矩的沖量ddtLM即質(zhì)點系對給定點即質(zhì)點系對給定點(參考點參考點)的角動量的時間變化率的角動量的時間變化率等于作用

49、在體系上等于作用在體系上所有外力所有外力對該點力矩矢量和對該點力矩矢量和.tLMdd內(nèi)力對定點內(nèi)力對定點O的力矩的力矩質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理3.4.2 質(zhì)點系的角動量守恒對定點對定點OO：作用于質(zhì)點系的合外力矩為零作用于質(zhì)點系的合外力矩為零 質(zhì)點系對質(zhì)點系對OO點的角動量守恒點的角動量守恒0MiiLL恒矢量角動量矢量的方向角動量矢量的方向固定和數(shù)值不變固定和數(shù)值不變對對z軸軸：作用于質(zhì)點系：作用于質(zhì)點系對對z z軸的外力矩代數(shù)和為零軸的外力矩代數(shù)和為零 質(zhì)點系對質(zhì)點系對z軸軸的角動量守恒的角動量守恒0zM zziiLL常量角動量角動量沿沿z z軸的軸的值值不變不變ddtLM角動量

50、守恒是自然界的普遍規(guī)律角動量守恒是自然界的普遍規(guī)律從天體運動到亞原子粒子的運動，都未發(fā)現(xiàn)反例。從天體運動到亞原子粒子的運動，都未發(fā)現(xiàn)反例。角動量守恒角動量守恒與與動量守恒動量守恒及及機械能轉(zhuǎn)換與守恒定律機械能轉(zhuǎn)換與守恒定律并并稱為稱為三大守恒定律三大守恒定律，這三大守恒定律的成立有著深，這三大守恒定律的成立有著深刻的內(nèi)在原因：由運動的時空屬性決定的?？痰膬?nèi)在原因：由運動的時空屬性決定的。 如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的質(zhì)點，用一根長為2a的質(zhì)量可忽略不計的輕桿相連，構(gòu)成一個簡單的質(zhì)點系兩質(zhì)點繞固定軸 Oz 以勻角速度轉(zhuǎn)動，軸線通過桿的中點O并與桿的夾角為，求質(zhì)點系對O點的角動量例例1 1OOzaa

51、mABL兩質(zhì)點兩質(zhì)點A A、B B對對OO點的角動量點的角動量方向相同，大小相等方向相同，大小相等解122LLma22sinma2( sin )am a 例例2 2如圖所示，在光滑水平面上，一勁度系數(shù)為如圖所示，在光滑水平面上，一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定，的輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端連接一質(zhì)量為另一端連接一質(zhì)量為m1的小球的小球1 1，最初小球，最初小球1 1靜止，彈簧為自然長度靜止，彈簧為自然長度l0另一質(zhì)量為另一質(zhì)量為m2的小球的小球2 2沿垂直于靜止彈簧軸線的方向與小球沿垂直于靜止彈簧軸線的方向與小球1 1發(fā)生發(fā)生碰撞，碰后二小球粘在一起運動求當(dāng)彈簧長度為碰撞，碰后二小球粘在一起運動

52、求當(dāng)彈簧長度為l時，二小球一起時，二小球一起運動的速度大小以及運動方向與彈簧軸線方向的夾角運動的速度大小以及運動方向與彈簧軸線方向的夾角 O 021解解1 1、2 2兩小球和彈簧組成系統(tǒng)兩小球和彈簧組成系統(tǒng)a a）碰撞過程中，系統(tǒng)的角動量守恒碰撞過程中，系統(tǒng)的角動量守恒碰撞前后小球的速度均垂直于彈簧的軸線方向碰撞前后小球的速度均垂直于彈簧的軸線方向20 0120sin90()sin90mlmml設(shè)設(shè)碰撞后碰撞后兩兩小球的速度小球的速度為為v b)b)碰后二小球共同運動，始終受到彈力總是指向碰后二小球共同運動，始終受到彈力總是指向O，二小球?qū)?，二小球?qū)的角動量守恒的角動量守恒(1)12012()sin90()sinmmlmml(2)c)c)彈簧力為保守內(nèi)力彈簧力為保守內(nèi)力 過程中系統(tǒng)的機械能守恒過程中系統(tǒng)的機械能守恒