快速傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)分析與處理中的應(yīng)用

1、銅陵學(xué)院信號(hào)分析與處理期末考查論文系 別 電氣工程系 專 業(yè) 電氣工程及其自動(dòng)化1班 年 級 11級 學(xué) 號(hào) 1109141003 姓 名 陳愛東 授 課 教 師 董德智 2013年 6月 18 日 快速傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)分析與處理中的應(yīng)用摘要快速傅氏變換（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說是進(jìn)了一大步。傅里葉變換的理論與方法在“數(shù)理方程”、“線性系統(tǒng)分析”、“信號(hào)處理、仿真”等很多學(xué)科領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用,由于計(jì)算

2、機(jī)只能處理有限長度的離散的序列,所以真正在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算的是一種離散傅里葉變換.雖然傅里葉運(yùn)算在各方面計(jì)算中有著重要的作用，但是它的計(jì)算過于復(fù)雜，大量的計(jì)算對于系統(tǒng)的運(yùn)算負(fù)擔(dān)過于龐大，使得一些對于耗電量少，運(yùn)算速度慢的系統(tǒng)對其敬而遠(yuǎn)之，然而，快速傅里葉變換的產(chǎn)生，使得傅里葉變換大為簡化，在不犧牲耗電量的條件下提高了系統(tǒng)的運(yùn)算速度，增強(qiáng)了系統(tǒng)的綜合能力，提高了運(yùn)算速度，因此快速傅里葉變換在生產(chǎn)和生活中都有著非常重要的作用，對于學(xué)習(xí)掌握都有著非常大的意義。關(guān)鍵詞快速傅氏變換；快速算法；簡化；廣泛應(yīng)用緒論傅立葉變換在生產(chǎn)生活中的重要性非常突出，它將原來難以處理的時(shí)域信號(hào)相對比較容易地轉(zhuǎn)換成了易于分析的

3、頻域信號(hào)，可以利用一些工具對這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工，把信號(hào)轉(zhuǎn)化為可以對其進(jìn)行各種數(shù)學(xué)變化的數(shù)學(xué)公式，對其進(jìn)行處理。最后還可以.利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)，它是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。然爾，它在運(yùn)算上過于復(fù)雜，過于宏大的運(yùn)算過程，對于一些相對簡單的低功耗處理器來說，難以自如應(yīng)對，因此，快速傅里葉變換則顯出了它的優(yōu)越性?？焖俑凳献儞Q（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。對于計(jì)算機(jī)處理信號(hào)方面上是一大進(jìn)步。系統(tǒng)的速度不但取決于本身的速度，

4、而且還在相當(dāng)大的程度上取決于算法，算法運(yùn)算量的大小直接影響著對設(shè)備的控制質(zhì)量。通過傅立葉變換（DFT），運(yùn)用測試軟件進(jìn)行檢測，可以看出快速傅里葉變換大大的提高了運(yùn)算速度，它為各系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了簡單算法，有著十分重要的意義。一.快速傅里葉變換原理數(shù)字信號(hào)的傅里葉變換,通常采用離散傅里葉變換(DFT)方法。DFT 存在的不足是計(jì)算量太大,很難進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。計(jì)算一個(gè)N 點(diǎn)的DFT ,一般需要次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算.因此,當(dāng)N較大或要求對信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理時(shí),往往難以實(shí)現(xiàn)所需的運(yùn)算速度。1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey發(fā)現(xiàn)了DFT的一種快速算法,經(jīng)其他學(xué)者進(jìn)一步改進(jìn),

5、很快形成了一套高效運(yùn)算方法,這就是現(xiàn)在通用的快速傅里葉變換, 簡稱FFT( The Fast Fourier Transform)?？焖俑道锶~變換的實(shí)質(zhì)是利用式(1)中的權(quán)函數(shù)的對稱性和周期性,把N點(diǎn)DFT進(jìn)行一系列分解和組合,使整個(gè)DFT的計(jì)算過程變成一系列疊代運(yùn)算過程,使DFT的運(yùn)算量大大簡化,為DFT及數(shù)字信號(hào)的實(shí)時(shí)處理和應(yīng)用創(chuàng)造了良好的條件?？焖俑道锶~變換算法如下：X(n)=K=0N=1x0（k）enkN n=0,1,2N-1 (1)由(1)式可知，對每一個(gè)n，計(jì)算X()須作N次復(fù)數(shù)乘法及N-1次復(fù)數(shù)加法，要完成這組變換共需N2 次乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。但以下介紹的快速傅里葉變

6、換的算法，可大大減少運(yùn)算次數(shù)，提高工作效率。當(dāng)時(shí)，n和k可用二進(jìn)制數(shù)表示：nY-1又記,則（1）式可改寫為 （2）式中： (3)因?yàn)樗裕?）可改成 （4） (5)則式（）即為式（）的分解形式。將初始數(shù)據(jù)代入式（）的第一個(gè)等式，可得每一組計(jì)算數(shù)據(jù)，一般將痗L-1組計(jì)算數(shù)據(jù)代入式（）的第L個(gè)等式，計(jì)算后可得第L組計(jì)算數(shù)據(jù)（L，），計(jì)算公式也可表示為= （6）式中 （7） 根據(jù)式（），第L個(gè)數(shù)組中每個(gè) 的計(jì)算只依賴于上一個(gè)數(shù)組的兩個(gè)數(shù)據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)號(hào)相差，即，而且這兩個(gè)數(shù)據(jù)只用于計(jì)算第L個(gè)數(shù)組中標(biāo)號(hào)的數(shù)據(jù)（等號(hào)右端為二進(jìn)制數(shù)）。當(dāng)分別取和時(shí)，分別有。因此，用上一組的兩個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得的兩個(gè)新數(shù)據(jù)仍

7、可儲(chǔ)存在原來位置，計(jì)算過程中只需要N個(gè)存儲(chǔ)器。將與稱為第L個(gè)數(shù)組中的對偶結(jié)點(diǎn)對。計(jì)算每個(gè)對偶結(jié)點(diǎn)對只需一次乘法，事實(shí)上由式（）可得式中： ；別為式（）中取，時(shí)對應(yīng)的P值。因，于是對偶結(jié)點(diǎn)的有如下關(guān)系：,因此式（）可表示為P的求法：在中，i寫成二進(jìn)制數(shù)右移位，就成為顛倒位序得式（）呂，前面的個(gè)等式，每個(gè)等式均對應(yīng)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，每組數(shù)據(jù)都有N/對結(jié)點(diǎn)，根據(jù)式（），每對結(jié)點(diǎn)只需作次乘法和次加法，因此，每組數(shù)據(jù)只需N/2次乘法和N次加法，因而完成組數(shù)據(jù)的計(jì)算共需N/2次乘法和N次加法。二. 快速傅里葉變換與數(shù)字信號(hào)分析與處理的應(yīng)用:快速傅里葉變換在喇曼光譜信號(hào)噪聲平滑中的應(yīng)用引言電探測系統(tǒng)是光信號(hào)

8、的轉(zhuǎn)換、傳輸及處理的系統(tǒng). 系統(tǒng)的各個(gè)部分在工作時(shí)總會(huì)受到一些無用信號(hào)的干擾,給光譜峰的檢測判別及進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理帶來了不利因素.對光譜信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波,以獲得更真實(shí)的光譜信息，顯得格外重要. 目前最為通用和有效的信號(hào)濾波處理方法是快速傅立葉變換方法.純水是一種較弱的喇曼散射介質(zhì),需要專用的喇曼散射光譜儀器才能獲得高信噪比的喇曼光譜.我們以增強(qiáng)型的CCD 探頭為探測器,結(jié)合普通的分光單色儀,在YAG 激光器532 nm 激光線的激勵(lì)下獲得低信噪比的純水的喇曼光譜. 信噪比較差的喇曼光譜經(jīng)過FFT 變換后,用FFT 的逆變換將濾除噪聲后的頻譜信號(hào)轉(zhuǎn)換成為光譜信號(hào),最終獲得信噪比較高的純水的喇曼光

9、譜. 實(shí)驗(yàn)原理及結(jié)果傅里葉變換的基本表達(dá)式為 （） （）式（1）中的x（n）(n=0,2,N-1)是列長為N的輸入序列，即實(shí)驗(yàn)采集到的時(shí)域上的切片數(shù)據(jù);x(k)(=0,1,N-1)是列長為N的輸出序列，即經(jīng)過傅里葉變換后的頻域上的數(shù)據(jù)。 對數(shù)字化后的光譜信號(hào)而言, x(n)是一組離散的實(shí)數(shù)信號(hào)；而X(k)分為實(shí)部x(v)和虛部y()2部分。x()和y()又可組成振幅譜A()和相位譜P()：（）（）通過對式(3)和式(4)性能的考察,發(fā)現(xiàn)A()和P()中既含有目標(biāo)信號(hào)的信息,也含有噪聲的信息,如果二者所在的區(qū)域不同, 則可以通過傅里葉變換分析出噪聲信息, 將之從捕獲的信號(hào)中去除,從而達(dá)到噪聲平滑

10、的目的, 獲得高信噪比的目標(biāo)信號(hào).純水普通喇曼散射的信號(hào)很弱,我們在532nm 脈沖激光泵浦液滴的條件下獲得其散射光譜.由于樣品信號(hào)極其微弱,在將CCD 的增益調(diào)至最大時(shí),獲得如圖1 所示的純水的喇曼光譜. 光譜的信噪比值用如下方式估算:設(shè) 為含噪聲圖像為消除噪聲后的圖像,圖像的均方根誤差為 (5)信噪比定義為除噪聲后的信號(hào)與均方根誤差之比 (6)計(jì)算出642. 86 643. 62 nm 光譜區(qū)的信噪比為SN R 17. 圖多通道光譜分析儀采集的含有噪聲的純水普通喇曼散射信號(hào)圖2 傅里葉變換后的頻譜圖對圖2 幅度譜縱軸取對數(shù)得圖噪聲幅度門限值低于2 ×105 ,經(jīng)門限濾波處理,在頻

11、譜圖中將幅度譜低于該門限值的頻率成分去除,獲得的頻譜用FFT 的逆變換返回得到門限濾波曲線如圖5 所示.計(jì)算出642. 86643. 62 nm 光譜區(qū)的信噪比為SN R484. 與圖1 相比,光譜的信噪比有了極大的改善.3 結(jié)論在光譜信號(hào)受到光子噪聲調(diào)制的條件下,如果光譜信號(hào)的變化頻率低于高頻光子噪聲的變化頻率,則可以通過快速傅里葉變換,獲得目標(biāo)信號(hào)和噪聲信號(hào)的頻譜,進(jìn)行低通濾波和門限濾波后,分別將具有高頻和不同振幅的噪聲信號(hào)去除,實(shí)現(xiàn)對弱光譜信號(hào)干擾噪聲的抑制,得到高信噪比的光譜信號(hào)?？焖俑道锶~變換在效果上，減輕了噪聲的干擾，同時(shí)計(jì)算也不會(huì)帶來過于復(fù)雜的計(jì)算。.采用異步實(shí)現(xiàn)的快速傅里葉變換

12、處理器1.引言快速傅里葉變換(FFT)是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一個(gè)重要的分析工具,廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通訊、圖像處理、聲納和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。已經(jīng)開發(fā)出多種專用快速傅里葉變換處理器,大大提高了快速傅里葉變換的運(yùn)算速度。異步集成電路具有功率效率高、電磁兼容性(EMC)好、功耗低和沒有時(shí)鐘歪斜(Skew)的特性,同時(shí)又具有潛在的高性能,以及便于系統(tǒng)模塊化設(shè)計(jì)的優(yōu)勢1。異步集成電路運(yùn)算的性能是平均性能,而不是最差性能。這樣,當(dāng)平均性能與最差性能差別較大時(shí),異步集成電路有希望達(dá)到比同步電路更高的潛在性能。異步集成電路采用大量本地時(shí)序控制信號(hào)來取代整體時(shí)鐘,避免了當(dāng)前在超大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)中遇到的時(shí)鐘樹設(shè)計(jì)和代價(jià)問題

13、。2.原理及結(jié)果異步實(shí)現(xiàn)的快速傅里葉變換處理器的結(jié)構(gòu)如圖4所示。處理器的控制由本地的握手信號(hào)控制,每個(gè)單元獨(dú)立地工作,避免了同步電路中的時(shí)鐘分配問題。處理器在輸入數(shù)據(jù)準(zhǔn)備好后開始工作,整個(gè)運(yùn)算完成時(shí)產(chǎn)生一個(gè)完成信號(hào)。采用0.6m 標(biāo)準(zhǔn)CMOS工藝,設(shè)計(jì)一個(gè)8點(diǎn)的異步快速傅里葉變換處理器。該處理器具有2×8 比特的輸入,2×15 比特的輸出,2×20 比特的內(nèi)部運(yùn)算精度。在電路設(shè)計(jì)完成之后,采用華晶2上華的0.6m CMOS2P2M 混合電路工藝,建立了異步標(biāo)準(zhǔn)單元庫,然后對異步快速傅里葉變換處理器進(jìn)行了全定制設(shè)計(jì)。處理器的版圖如圖5 所示。圖4 異步快速傅里葉變換

14、處理器結(jié)構(gòu)功能仿真：用晶體管構(gòu)成的電路網(wǎng)表描述每個(gè)單元(加法器、乘法器等) ,然后用Hspice 進(jìn)行功能仿真。根據(jù)電路Hspice 仿真結(jié)果,通過抽象模型,建立每個(gè)單元的功能和延遲的邏輯模型。異步邏輯和運(yùn)算模塊的抽象過程比同步模塊要復(fù)雜得多,因?yàn)橥侥K只要用功能加上一個(gè)最差延遲就可以描述模塊的功能性能模型。CMOS 的抽象過程就是用邏輯描述建立FFT的邏輯網(wǎng)表(帶延遲) ,再用Verilog 進(jìn)行邏輯仿真。性能仿真：響應(yīng)時(shí)間是異步集成電路性能分析時(shí)常用的度量標(biāo)準(zhǔn)5。響應(yīng)時(shí)間是指請求信號(hào)到完成信號(hào)之間的延遲,它主要有兩種類型:最差響應(yīng)時(shí)間和平均響應(yīng)時(shí)間。其中, 最差響應(yīng)時(shí)間主要依賴于電路的結(jié)

15、構(gòu)和實(shí)現(xiàn),而平均響應(yīng)時(shí)間不僅與電路結(jié)構(gòu)有關(guān),還與輸入的數(shù)據(jù)相關(guān)。文中采用Star2SimXT ,對整個(gè)異步快速傅里葉變換處理器進(jìn)行了電路仿真,得到芯片完成一次變換的最差響應(yīng)時(shí)間為42.85 ns ,平均響應(yīng)時(shí)間為31.15 ns ,功耗約為350.7mW。3. 結(jié)論設(shè)計(jì)了一個(gè)異步的快速傅里葉變換處理器,該電路可以在異步邏輯控制下工作。性能分析表明,異步快速傅里葉變換處理器的平均性能較同步設(shè)計(jì)有優(yōu)勢。但是,異步集成電路完成信號(hào)的產(chǎn)生往往需要增加一部分電路。這不僅增加了芯片的面積,而且?guī)砹艘欢ǖ难舆t,異步集成電路性能的優(yōu)勢能否實(shí)現(xiàn),與這部分電路設(shè)計(jì)是否合理有很大的關(guān)系。另外,由于缺少成熟的EDA

16、工具、算法和設(shè)計(jì)方法學(xué)的支撐,異步集成電路設(shè)計(jì)技術(shù)在超大規(guī)模集成方面還面臨很多挑戰(zhàn)，還需繼續(xù)改進(jìn)。三. 快速傅里葉算法在哈特曼夏克傳感器波前重構(gòu)算法中的應(yīng)用1. 引言哈特曼夏克傳感器因其波前測量實(shí)時(shí)性好等特點(diǎn)而廣泛用于自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中,隨著應(yīng)用研究的發(fā)展,哈特曼夏克波前測量傳感器的空間分辨率也要相應(yīng)提高。哈特曼夏克傳感器測量的是波前相位斜率,需要經(jīng)過波前復(fù)原求出相位值,復(fù)原的方法主要有區(qū)域法和模式法兩類,為了滿足實(shí)時(shí)性的要求,哈特曼夏克傳感器的子孔徑較少,測量的空間分辯率因此比干涉儀低。當(dāng)增加哈特曼夏克傳感器的子孔徑數(shù)提高空間分辨率、提高測量精度時(shí),區(qū)域法和模式法的運(yùn)算量非常大,實(shí)時(shí)性降低,限

17、制了高分辨率哈特曼夏克傳感器在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)等領(lǐng)域的進(jìn)一步應(yīng)用。針對實(shí)時(shí)性問題,提出了分塊算法和迭代法進(jìn)行波前重構(gòu)。在區(qū)域法重構(gòu)波前的基礎(chǔ)上,應(yīng)用快速傅里葉變換(FFT) 算法,提高波前復(fù)原算法的實(shí)時(shí)性,為高分辨率哈特曼夏克傳感器在自適應(yīng)光學(xué)技術(shù)及其它領(lǐng)域的應(yīng)用作算法準(zhǔn)備。2. 實(shí)驗(yàn)原理及結(jié)果快速傅里葉變換算法以其運(yùn)算速度快、所需內(nèi)存小而被廣泛用于數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域9。在求解由(1)式確定的線性方程組的過程中,需要實(shí)現(xiàn)方程系數(shù)矩陣的對角化,而這一過程可以通過快速傅里葉變換算法實(shí)現(xiàn),從而實(shí)現(xiàn)(1) 式的快速求解。首先,不考慮區(qū)域中邊界處的相位估計(jì)差分方程,在波前重構(gòu)的區(qū)域內(nèi),即1iM -1,1jN

18、 -1,(1)式嚴(yán)格成立,并由它導(dǎo)出波前估計(jì)的矩陣方程組表示為 (2)對(2)式的矩陣AO作正交變換,得: (4)其中（） 應(yīng)用快速傅里葉變換算法,乘法運(yùn)算量可由直接作線性變換的 次降為次,當(dāng)哈特曼夏克傳感器的子孔徑數(shù)比較大時(shí),運(yùn)算速度可大幅度提高,從而提高哈特曼夏克傳感器波前重構(gòu)算法的實(shí)時(shí)性。在波前估計(jì)的計(jì)算式(2)中,只考慮了哈特曼夏克傳感器區(qū)域內(nèi)的估計(jì)點(diǎn),需要知道區(qū)域邊界處的相位值,才能準(zhǔn)確求解式,而哈特曼夏克傳感器測量的是斜率值,給出的是諾依曼邊界條件,需要作邊界條件的近似求解,求得邊界處的相位值。在邊界上: (10)由于實(shí)際被測的波前相位是連續(xù)光滑的曲面,則在邊界上的相位點(diǎn)是封閉連續(xù)的曲線,設(shè): 則邊界上的相位最小二乘解的矩陣表達(dá)式為 (11)其中,A為(2)式中AO的形式,對角線元素為2,維數(shù)2(M +N)-1×2(M +N)-1,<G為2(M+N)-1×