第10章基帶信號的噪聲檢測

1、第10章 基帶信號的噪聲檢測 第9章考慮的數(shù)字調(diào)制技術(shù)涉及到每次將k比特信息轉(zhuǎn)換為通信信道上M個獨(dú)特的傳輸波形之一?；鶐Ы庹{(diào)器已經(jīng)知道調(diào)制器所用的波形集合sm(t), m=1,2,M。數(shù)字通信系統(tǒng)中，基帶調(diào)制器的目的不是象第4、第5和第7章的模擬通信系統(tǒng)那樣逼真的恢復(fù)發(fā)送波形。而基帶調(diào)制器或檢測器的功能是確定接收信號中的符號持續(xù)期間傳輸?shù)氖荕個發(fā)送符號中的哪一個。由于判決基于對基帶信號的觀測，這里的接收信號受到信道或接收機(jī)前端噪聲的損傷，所以，這樣的解決辦法總含有不確定性。由于存在噪聲，因此檢測或判決過程引入了偶爾但不可避免的差錯。這就隱含著二進(jìn)制情況下，實(shí)際發(fā)送比特0時檢測器判決的是比特1。

2、最佳檢測方案的設(shè)計中，適當(dāng)?shù)男阅苣繕?biāo)是使這類差錯發(fā)生的概率最小。 這里在概率論環(huán)境中研究了最佳檢測問題。M個發(fā)送符號的先驗(yàn)概率（即，觀察接收信號之前的概率）通常建模為等概率發(fā)生。檢測器通過在每個符號持續(xù)期間對接收信號進(jìn)行觀測，采用最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則(criterion)在M個可能的選擇中作出判決。為簡化起見，我們假定信道不是色散信道，所以對符號的檢測沒有受到來自其他符號干擾的影響。而且我們假定加性噪聲是高斯噪聲，其雙邊功率譜密度為 N0/2W /Hz。本章分為如下幾節(jié)。10.1 二進(jìn)制信號的AWGN 檢測（重譯） 本節(jié)考慮的是數(shù)字通信問題的最簡單類型，即，存在加性高斯白噪聲（AWGN）時二進(jìn)制信

3、號的檢測。10.2 匹配濾波器 本節(jié)學(xué)習(xí)檢測器輸出SNR取最大值的線性接收機(jī)。分析了二進(jìn)制各種信號傳輸方案時，所得到的的匹配濾波器和相關(guān)檢測器的結(jié)構(gòu)。10.3 矢量空間的概念本節(jié)我們回顧了矢量和內(nèi)積空間的概念。然后介紹Gram-Schmidt過程，為含有有限矢量的集合構(gòu)建正交基【此句重譯】10.4 信號與高斯白噪聲的矢量空間表示我們介紹了數(shù)字通信系統(tǒng)中所碰到的信號波形的有限集表示，這些波形對應(yīng)有限維空間的點(diǎn)或矢量。然后解釋了判決哪個信號是發(fā)送信號時，考慮沿信號空間基矢量的噪聲分量就足夠了。10.5 本節(jié)我們考慮的是WGN信道上的M進(jìn)制矢量的檢測，以得到最大的正確判決平均概率。然后考慮了用一排匹

4、配濾波器或相關(guān)器實(shí)現(xiàn)最大似然檢測器。10.6 最大似然檢測器的差錯性能 利用最大似然檢測導(dǎo)出了M進(jìn)制通信系統(tǒng)差錯性能的聯(lián)合限。然后得出了符號差錯率與比特差錯率之間的關(guān)系。10.7 M進(jìn)制PAM信號的差錯性能 本節(jié)分析了M進(jìn)制PAM系統(tǒng)的差錯性能。這里證實(shí)了最近鄰限提供了系統(tǒng)的確切誤碼率。10.1 二進(jìn)制信號的AWGN檢測 二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，在每一比特的持續(xù)時間（Tb）內(nèi)發(fā)送兩個可能的信號s1(t)或s2(t)之一。因此，檢測器僅通過處理在時間間隔內(nèi)后判決每比特持續(xù)時間內(nèi)發(fā)送的是0還是1。假定為有限值的s1(t)和s2(t)的能量，分別表示為E1和E2。本節(jié)中考慮的二進(jìn)制檢測的一般問題如圖1

5、0.1所示。不失一般性，我們考慮第一個信號間隔內(nèi)表示如下的發(fā)送信號： （10.1）在存在雙邊功率譜密度為N0/2（W/Hz）的加性高斯白噪聲時信號放送到接收端。接收信號可以表示為： （10.2） 檢測器由頻率響應(yīng)為H（f）的線性、時不變?yōu)V波器組成，隨后是采樣器和門限比較器。濾波器的初始條件是，在每個新脈沖到來之前置為零（該句重譯）。線性濾波器的輸出為： （10.3）其中， （10.4） （10.5） (10.6)在比特時間間隔0tTb的時刻t0時對接收濾波器的輸出r0(t)采樣。所得樣值r0是可以表示如下的隨機(jī)變量： （10.7）式中采樣時刻t=t0時，s01和s02分別是s01(t)和s02

6、(t)的值。n0是t=t0時的濾波器輸出噪聲的樣值。隨機(jī)變量r0是均值s01或者s02(取決于發(fā)送的是s1(t)還是s2(t)的高斯過程。根據(jù)式（6.189）得到它的方差2為： （10.8）我們可以寫出隨機(jī)變量r0的條件PDF如下： （10.9） （10.10）r0的條件PDF如圖10.2所示。門限比較器通過將采樣器輸出r0與門限電壓VT比較作出判決。判決規(guī)則可以表述為：r0>VT,表示發(fā)送的是s1(t)r0<VT,表示發(fā)送的是s2(t)下面我們討論最佳VT的選擇。10.1.1 比特差錯的概率如果發(fā)送的s1(t)的先驗(yàn)概率是P，和發(fā)送是s2(t)的先驗(yàn)概率為1-P,則差錯的平均概率

7、（即，BER）表示為： （10.11）比特差錯的平均概率通常叫做誤比特率（BER）。下述兩種情況之一發(fā)生時出現(xiàn)差錯：1. 發(fā)送s1(t),且r0<VT2. 發(fā)送s2(t)，且r0>VT那么發(fā)生差錯的條件概率可以表示為： （10.12） （10.13）根據(jù)式（6.55）式中Q（）定義為： （6.55）結(jié)合式（10.11）式（10.13），我們可以寫出誤比特率的如下表達(dá)式： （10.14）假定二進(jìn)制符號等概率出現(xiàn)，則式（10.14）的BER表達(dá)式可以簡化為： （10.16）現(xiàn)在我們利用式（10.16）計算BER的導(dǎo)數(shù)，并將其置零以得到下面最佳門限Vopt必須滿足的條件：上式相當(dāng)于求解下

8、面的方程，（equivalently）,或者，因而得到， （10.17）將門限電壓最佳值Vopt代入式（10.15）得， （10.18）式中已假定s01> Vopt> s02 例10.1 用例2.33 RC低通濾波器作為接收濾波器時，計算該檢測器采用單極性NRZ信號時的BER性能。 解：根據(jù)式（2.125）得到RC低通濾波器的傳輸函數(shù)為：式中f3dB是3dB截止頻率。根據(jù)式（2.130）得到RC低通濾波器的沖擊響應(yīng)為：采用單極性NRZ傳輸信號時，s1(t)=A , s2(t)=0, (0tTb)對應(yīng)s1(t)脈沖的濾波器輸出為： （10.19）t=Tb時濾波器輸出出現(xiàn)峰值，如圖10

9、.3（a）所示。實(shí)現(xiàn)的信號為： （10.20）顯然，s02=0 。根據(jù)式（6.253）得到的RC低通濾波器的等效噪聲寬帶BN為：將上式代入式（10.21）得： (10.22)結(jié)合式（10.20）與式（10.22），我們得到， （10.23）式中，注意，z是發(fā)送的脈沖持續(xù)時間與濾波器帶寬之積。常叫做帶寬時間（BT）積，且是個非常有用的設(shè)計參數(shù)。將式（10.23）代入式（10.18），得到： （10.24）從式（10.24）我們可以看出BER是BT積z的函數(shù)。給定比特率時，可以通過選擇適當(dāng)?shù)膠值（即，接收機(jī)帶寬f3dB來優(yōu)化BER性能。圖10.3（b）示出了作為BT積z函數(shù)的的圖形。h(z)的最大

10、值為0.8154，該值出現(xiàn)在z=1.256。這時對應(yīng)的RC低通濾波器的3dB帶寬。將h(z)的最大值代入BER的表達(dá)式，得： （10.25）下一節(jié)我們比較這種較簡單濾波器與最優(yōu)設(shè)計濾波器的性能。10.2 匹配濾波器我們來考慮圖10.1中線路濾波器H（f）的設(shè)計。對于二進(jìn)制檢測方案，H（f）取式（10.18）平均差錯概率的最小值。由于Q函數(shù)是自變量的單調(diào)遞減函數(shù)，因此，為了求出最佳濾波器的傳輸函數(shù)Hopt(f),我們需要求解下面的優(yōu)化問題： （10.26）在s2(t)=0的特例中，前面的優(yōu)化問題簡化為： （10.27）括號內(nèi)的量定義的是采樣器輸出端的信號與均方根噪聲功率（SNR）之比。從式（10

11、.4）可得采樣時刻t0時濾波器的輸出信號為： （10.28）利用式（10.8）與式（10.28），我們可以寫出： （10.29）式（10.27）的優(yōu)化問題求解的是式（10.29）RHS（?）表達(dá)式取最大值的H(f)。通過利用Cauchy-Schwarz不等式取分母的最大值可以做到這一點(diǎn)，即， （10.30）其中X(f)和Y（f）可以是實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)。而且，僅當(dāng)滿足下式時，式（10.30）的等號成立： （10.31）式中K為任意常數(shù)。為了利用Cauchy-Schwarz不等式，我們選擇： （10.32）而且， （10.33）將式（10.32）與式（10.33）代入式（10.30），得： （10

12、.34）用式（10.34）的右端替換式（10.29）的分母，得到不等式： （10.35）當(dāng)按照式（10.31）選擇H（f）時得到了s01202的最大值。將式（10.32）與式（10.33）代入式（10.31）時，得到最佳濾波器的響應(yīng)為： （10.36）對式（10.36）的兩端取Fourier反變換，最佳濾波器的沖擊響應(yīng)可以表示為： （10.37）最佳濾波器的沖擊響應(yīng)hopt(t)是輸入信號s1(t)的時間反轉(zhuǎn)，因此最佳濾波器叫做匹配濾波器。注意濾波器的響應(yīng)函數(shù)式（10.37）與白噪聲頻譜密度電平N02無關(guān)。由于匹配濾波器解決方案取式（10.27）輸出SNR的最大值，因此這一特性用于雷達(dá)系統(tǒng)的時

13、延估計。D.Q.North發(fā)明的匹配濾波器源于第次世界大戰(zhàn)期間雷達(dá)系統(tǒng)的開發(fā)。根據(jù)式（10.35）可得到匹配濾波器采樣器輸出端的SNR為： （10.38）式中E1是脈沖s1(t)的能量。式（10.38）是個非常值得關(guān)注的結(jié)果。該式表明，匹配濾波器輸出SNR取決于信號能量但不取決于波形形狀。當(dāng)然，可以通過增大信號幅度或者持續(xù)時間來增大信號的能量。若s2(t)0，則式（10.26）的優(yōu)化可用Cauchy-Schwarz不等式進(jìn)行類似的處理。這時，匹配濾波器傳輸函數(shù)為： （10.39）根據(jù)式（10.39），匹配濾波器的沖擊響應(yīng)可以表示為： （10.40）匹配濾波器可用兩個分別與s1(t)和s2(t)

14、匹配的并行濾波器實(shí)現(xiàn)，如圖10.4所示。采用時刻t0時它們的輸出之差與式（10.17）的門限相比。如何選擇t0？我們注意到，若t0<Tb，則濾波器不可實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閠<0時濾波器有非零沖擊響應(yīng)。我們從現(xiàn)在起取t0=Tb。t= Tb時，s1(t)和s2(t)經(jīng)匹配濾波器的響應(yīng)為： （10.41） （10.42）例10.2 求與圖10.5（a）所示脈沖匹配的濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)。a. 顯示輸出脈沖。b. 輸出峰值是多少？解：匹配濾波器的沖擊響應(yīng)由下式給出：圖10.5（b）示出了hopt 。a. 匹配濾波器的輸出由下式給出：匹配濾波器的輸出示于圖10.5（c）中。b.我們注意到匹配濾波器的輸

15、出的峰值出現(xiàn)在采樣時刻t= Tb處，且等于信號s1(t)的能量。這是匹配濾波器非常重要的特性：采樣時刻的輸出值等于發(fā)送脈沖的能量。而與s1(t)的波形形狀無關(guān)。 我們將匹配濾波器兩個輸出信號樣值之間的距離d定義為： （10.43）把式（10.41）與式（10.42）代入式（10.43），得到匹配濾波器檢測器的表達(dá)式如下： （10.44）結(jié)合式（10.40）和式（10.44），可以得到 （10.45）把式（10.45）代入式（10.8）可得到匹配濾波器的輸出噪聲功率為： （10.46）把式（10.44）與式（10.46）代入式（10.48）得到匹配檢測濾波器的BER為： （10.47）10.2.

16、1相關(guān)檢測器 匹配濾波器也可以用另一種方案實(shí)現(xiàn)，如圖10.6所示。則匹配濾波器的輸出信號為： （10.48）將代入上式，得： （10.49）采樣時刻t= Tb時。我們有： （10.50）由于s(t)為有限持續(xù)時間(0tTb)的波形，因此匹配濾波器的輸出為： （10.51）式（10.51）可用乘數(shù)積分器（multiplier integrator）結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，如圖10.6（a）所示。由于圖中求出的是接收信號與發(fā)送波形之間的相關(guān)性或相似性，所以這樣的實(shí)現(xiàn)叫做相關(guān)檢測器。而且，若發(fā)送波形為矩形脈沖，則檢測器中不必乘以s(t)。所得的結(jié)構(gòu)叫做積分轉(zhuǎn)儲檢測器（integrate and detector）

17、,如圖10.6（b）所示。10.2.2二進(jìn)制信號傳輸?shù)南到y(tǒng)的性能 下面我們來比較采用匹配濾波器檢測時，各種二進(jìn)制信號傳輸系統(tǒng)的性能。 單極性NRZ或通斷信號（傳輸） 在這種情況下，0tTb時，s1(t)=A和s2(t)=0。將其代入式（10.44），得 （10.52）式中， 把式（10.52）代入式（10.47），得， （10.53）叫做SNR比特的參數(shù) EbN0出現(xiàn)在每個數(shù)字通信系統(tǒng)的BER表達(dá)式中。將式（10.53）與式（10.25）比較，我們得出結(jié)論：與同樣差錯性能的匹配濾波器檢測器相比，非最優(yōu)RC低通濾波器檢測器（filter detector）還需要10log100.8154=0.8

18、9dB的附加SNR比特。極性或反極性NRZ信號傳輸。在這種情況下，s1(t)=- s2(t)。所以0tTb時，s1(t)- s2(t)=2A。將其代入式（10.44），得： （10.54）式中，將式（10.54）代入式（10.47），得， （10.55）將式（10.55）與式（10.53）比較，我們可以看出：與單極性NRZ編碼相比，實(shí)現(xiàn)同樣BER性能時，極性NRZ信號需要的SNR比特少3dB。通過采用類似于例10.1中的步驟，我們可以證明，非最優(yōu)RC低通濾波器檢測器所能實(shí)現(xiàn)的BER性能如下： （10.56）這表明：與采用二進(jìn)制極性信號的匹配濾波器相比，SNR損失了0.89dB。正交信號在正交信

19、號傳輸時，在比特間隔0tTb內(nèi)，將s1(t)與s2(t)選為正交信號。即， （10.57）正交信號有許多選擇。例如，考慮信號集： (10.58)把式（10.58）代入式（10.44），得， （10.59）式中，把式（10.59）代入式（10.47），得 （10.60）比較式（10.60）與式（10.53），我們可以看出，實(shí)現(xiàn)同樣BER性能時，正交基帶信號所需的SNR比特比反極性方案多了3dB。正交信號的性能與單極性NRZ或通斷波形的性能相同，單極性NRZ或通斷波形也是正交的。雙極性NRZ信號雙極性NRZ信號時，表示二進(jìn)制1的s1(t)在v(t)和-v(t)之間交替出現(xiàn)，s2(t)=0表示二進(jìn)制

20、零。采用雙極性信號時，匹配濾波器的沖擊響應(yīng)為：幅度為A持續(xù)時間為Tb矩形基本脈沖形狀v(t)的能量表示為：由于雙極性信號采用了三種脈沖，所以每比特的平均能量Eb為： （10.61）那么通過代入（？）可得匹配濾波器輸出噪聲方差為 (10.62)差錯概率由下式給出： （10.63）將脈沖概率和代入式（10.63），得： （10.64）圖10.7（a)示出了r0 條件PDF。設(shè)置了-E12和E12兩個門限。比較器的傳輸特性如圖10.7（b)所示。根據(jù)圖10.7（a),差錯條件概率可以表示為： （10.65）類似地，可以證明 （10.66）而且， （10.68）把式（10.61）與式（10.62）代入

21、式（10.68），得， （10.69）圖10.8示出了三種二進(jìn)制信號傳輸方案的EbN0BER性能。反極性信號完成的最好，比正交方案和雙極性方案均優(yōu)3dB。為了實(shí)現(xiàn)10-6的BER，反極性信號需要約10.5dB的EbN0例10.3 假定二進(jìn)制數(shù)據(jù)在功率譜密度為N02=10-10WHz的AWGN信道上傳輸。當(dāng)數(shù)據(jù)速率為下述值時，求出達(dá)到BER=10-6所需的信號幅度：（a) 10kbps; (b) 100kbps; (c）1.55mbps。計算時采用雙極性NRZ和曼徹斯特線路編碼。上述每種情況下的信號帶寬（基于頻譜第一零點(diǎn)）是多少？解： 雙極性NRZ信號時， 采用MF接收機(jī)根據(jù)表6.1，BER=1

22、0-6時，我們得到x=4.7535。所以由于 a.R=10Kbps,所以Tb=10-4， b.R=100Kbps,所以Tb=10-5， c.R=1.55Mbps,所以， 采用曼徹斯特編碼（反極性）時，采用MF接收機(jī)的，且。根據(jù)表6.1，BER=10-6時，我們得到x=4.7535。 所以 那么a. R=10Kbps,所以，Tb=10-4 b. R=100Kbps,所以，Tb=10-5， 下表概括了該結(jié)果比特率 雙極性NRZ 曼徹斯特 A(mV） BW(kHz) A(mV） BW(kHz)10 9.67 10 4.75 20100 30.58 100 15 2001550 120.38 1550

23、 59.14 3100實(shí)驗(yàn)10.1帶相關(guān)檢測器的反極性二進(jìn)制系統(tǒng) 本實(shí)驗(yàn)中我們構(gòu)建帶有相關(guān)檢測器的極性NRZ數(shù)字通信系統(tǒng)的模型。用10.9（a)示出了該系統(tǒng)的Simulink模型。模型參數(shù)由companion的MATLAB m文件建立。m文件還用于計算BER理論值和畫出仿真圖理論值的BER性能圖。 例3.2介紹的極性Bernoulli信源用于產(chǎn)生極性NRZ信號。經(jīng)采用AWGN信道方框加入了AWGN，如圖10.9（a)所示。相關(guān)檢測器采用的是每個比特間隔都復(fù)位的離散時間積分器來實(shí)現(xiàn)。對符號率采樣方框中的積分器輸出在時采樣。然后，符號框在這些樣值與門限電平（此時為零伏）比較的基礎(chǔ)上產(chǎn)生再生的輸出脈

24、沖。然后再生的極性信號與誤碼儀（error-ratemeter)方框中發(fā)送的極性信號比較。仿真BER值傳送到MATLAB workspace得到BER性能曲線。圖10.9（b)示出了該仿真產(chǎn)生的各種波形。圖10.9（c)給出了BER性能理論值與仿真值的比較。實(shí)驗(yàn)10.2 帶匹配濾波檢測的二進(jìn)制反極性信號系統(tǒng) 本實(shí)驗(yàn)中我們用MF檢測器構(gòu)建二進(jìn)制反極性數(shù)字通信系統(tǒng)的模型。仿真參數(shù)由companion MATLAB m文件建立。m文件也用于計算BER理論值和畫出BER性能的仿真值和理論值的圖。例3.2中介紹的極性Bernoulli信源也用于產(chǎn)生極性NRZ信號。通過滾降系數(shù)為的根升余弦（RRC）濾波器

25、實(shí)現(xiàn)發(fā)送買吃的整形。經(jīng)采用圖10.9（a)中所示的AWGN信道方框加入了AWGN.接收濾波器也是RRC類型，與發(fā)送濾波器匹配。在符號率采樣框中，在時對MF的輸出采樣。（該句重譯）。然后，符號框在這些樣值與門限電平（此時為零伏）比較的基礎(chǔ)上產(chǎn)生再生的輸出脈沖。然后再生的極性符號在誤碼儀方框與發(fā)達(dá)信號比較。仿真的BER值傳遞到MATLAB workspace產(chǎn)生BER性能曲線。圖10.10（b)示出了該仿真的各種波形。圖10.10（c)提供了BER性能理論結(jié)果與仿真結(jié)果的比較。10.3 矢量空間的概念 我們都很熟悉的二維和三維Euclidean空間的矢量。二維Euclidean空間的矢量表示平面內(nèi)

26、的一個點(diǎn)；它由有序?qū)崝?shù)對定義。類似地，三維Euclidean空間的矢量或點(diǎn)由有序的實(shí)數(shù)三元組定義。這一概念可以推廣到將n維矢量定義為n維數(shù)組。矢量的分量是復(fù)數(shù)域C（或其子集R）的單元（elements)。在第14章，我們將在開發(fā)可靠通信編碼技術(shù)的環(huán)境下，學(xué)習(xí)定義在二進(jìn)制域的矢量空間。 矢量或線性空間V是具有如下特性的集或者集合：若u和v在V中，則對于任何標(biāo)量，線性組合也在v中。此即疊加性。所以矢量空間都包含零矢量,這是因?yàn)闃?biāo)量零乘以任何矢量都得到零矢量?？赡茏钍煜さ氖噶靠臻g的例子是元實(shí)數(shù)的集合。域的加和標(biāo)量乘運(yùn)算定義各組成分量。 本章我們主要關(guān)注的是矢量空間，它是定義在間隔的有限能量復(fù)數(shù)波形（

27、函數(shù)）的集合。對于L2中的任意矢量u(t): 其中表示區(qū)間的積分。即，若u(t)和v（t)是兩個能量有限的復(fù)數(shù)波形，則對任意復(fù)數(shù)，的能量也有限。（即，在L2中）。利用不等式，我們可以寫出： （10.70）因此，能量有限的復(fù)數(shù)波形 的集合由具有復(fù)數(shù)加和標(biāo)量的乘運(yùn)算的矢量空間構(gòu)成。類似地，有限能量實(shí)數(shù)波形的集合構(gòu)成了具有實(shí)數(shù)加和標(biāo)量乘的集合。在表示 中的矢量u(t)時我們交替的使用u。 矢量空間V的子空間S是V的子集，使得S中的矢量也滿足疊加性。例如，是的子集但不是的子空間。矢量是的單元，也是的單元。但標(biāo)量積不是實(shí)二元組，因此不在中。10.3.1 有限維矢量空間 若每個矢量的線性組合，則矢量的集合

28、is said to span V。即， （10.71） 若存在span V的有限矢量集合，則矢量空間V為有限維。若不是有限維，則叫做無限維。例如，考慮矢量空間。設(shè)是位置i為1其余位置為0的矢量，即，等等。矢量叫做的單位矢量。注意，每個矢量可以表示為單位矢量的線性組合。例， （10.72） 所以矢量的集合span矢量空間。 若集合中沒有一個矢量能夠表示為集合中其余矢量的線性組合，則矢量的集合線性獨(dú)立。即，對于線性獨(dú)立的矢量的集合，不可能找到非全零的標(biāo)量滿足下式： （10.73） 若集合滿足span V和線性獨(dú)立兩項(xiàng)，則在V中矢量的集合是V的基。矢量空間的基不唯一。是的基但不是唯一的基。矢量空間

29、V的維數(shù)是V的任意基中矢量的數(shù)目。若已知有限維矢量空間V的任意基，則V中的任意矢量可以表示為： （10.74）式中是獨(dú)特的標(biāo)量。根據(jù)給定的基，V中的每個矢量可以表示為系數(shù)n元組。 基的最簡單例子是中由矢量，和組成的標(biāo)準(zhǔn)基。所以的維數(shù)為3。10.3.2 矢量空間的內(nèi)積 盡管距離或符號的表示法明確出現(xiàn)在二維和三維Euclidean空間，但矢量空間本身并不包含距離或矢量的表示。內(nèi)積是點(diǎn)積的推廣。具有內(nèi)積的矢量空間叫做內(nèi)積空間。內(nèi)積空間的例子包括： 1.矢量空間，其中的內(nèi)積為點(diǎn)積。對于中的任意兩個矢量，點(diǎn)積定義為： （10.75） 2.定義在區(qū)間的有限能量復(fù)波形的矢量空間。對于 中的任意兩個矢量u(t

30、),v(t），內(nèi)積定義為： (10.76) 矢量的模或長度定義為： （10.77）在矢量空間中，矢量的模為： （10.78）在有限能量復(fù)波形空間中，矢量u(t)的模為： （10.79）內(nèi)積空間V中，兩個矢量，間的距離定義為矢量之差的模。即， （10.80）在矢量空間中，兩個矢量，之間的距離為： （10.81）上述結(jié)論與Euclidean距離或笛卡爾坐標(biāo)表示法的距離一致。根據(jù)定義，有限能重復(fù)波形空間L2中，兩個矢量u(t)和v(t)之間的距離如下： （10.82）正交矢量和正交單位矢量 若兩個矢量和滿足，則這兩個矢量定義為正交。在內(nèi)積空間，若滿足下式，則矢量的集合為標(biāo)準(zhǔn)正交集： (10.83)

31、換句話說，標(biāo)準(zhǔn)正交集是一組正交矢量，其中的每個矢量都?xì)w一化為具有單位長度?？梢钥闯?，若一組矢量 正交，則下面的集合為標(biāo)準(zhǔn)正交： （10.84） 注意，若矢量正交，則矢量任意縮放（包括歸一化）后仍正交。矢量在另一矢量上的投影是矢量在軸上的分量，且定義為： （10.85) 若兩個矢量正交，則一個矢量在另一個矢量上的投影為零矢量。 我們用一個非常重要的研究結(jié)果來結(jié)束本節(jié)：對于無限維矢量空間的有限維子空間，例如 L2而言，總存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。Gram-Schmidt正交化是實(shí)現(xiàn)有限矢量的集合和構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)正交基的有益的方法（其中)。該方法不僅在實(shí)際求解正交基時有用，而且理論上也很重要，因?yàn)樵摲椒ㄗC明了它們的

32、存在。10.3.3 Gram-Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化過程 Gram-Schmidt構(gòu)建了一組標(biāo)準(zhǔn)正交化矢量，這些一個或一個的標(biāo)準(zhǔn)正交矢量不必來自正交或歸一化的矢量。 1.第1個基函數(shù)可以是si(t)中的任一個,。若我們?nèi)?，則除以得到單位能量函數(shù)： （10.86）式中， 2.為了求出第2個基函數(shù)，我們從中減去在上的投影，產(chǎn)生如下函數(shù)： （10.87） 其中， 由于我們?nèi)コ嗽谳S上的分量，所以與正交。第2個基函數(shù)為： 式中 3.第2步中的方法可擴(kuò)展到時任何基函數(shù)的計算。為了計算，我們根據(jù)產(chǎn)生函數(shù)如下： (10.88)式中， （10.89） 我們可以看出與前面的每個基函數(shù)正交。即， 第k個基函數(shù)可

33、以表示為 （10.90）其中， 若我們從一組不是線性獨(dú)立的矢量開始，則該算法求解的是現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)正交基（表示為）線性組合的任意矢量（比如），包括構(gòu)成基的分量，和繼續(xù)求下一基矢量?！驹摼渲刈g】 因此，G-S過程產(chǎn)生表示M個不同的能量有限信號個標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)。例10.4 用Gram-Schmidt正交化方法求出圖10.11所示信號集的正交基。解：我們?nèi)榈谝粋€基函數(shù)， 除以得到單位能量函數(shù)。即， （10.91）下面我們根據(jù)式（10.88）計算函數(shù) 式中， 這就隱含著和正交。所以， 由于， 根據(jù)式（10.90），可得第2個標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)為 （10.92） 為了得到下一代標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)，根據(jù)式（10.89）計

34、算出函數(shù)為： 式中， 將和的值代入的表達(dá)式，得到， 或者， 由于，所以，。將其代入式（10.93），得， （10.94）為了check for另一個標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)，我們根據(jù)式（10.88)計算函數(shù)。即， 式中， 將的值代入的表達(dá)式，得 或者， （10.95）10.4 信號和WGN的矢量空間表示 本節(jié)我們考慮的是有限維矢量空間中，作為矢量（“點(diǎn)”）的能量有限信號波形的表示。盡管該概念是由Kotenikov和Shannon各自地發(fā)明和應(yīng)用，但將這一概念推廣應(yīng)歸功于Wozencraft和Jacobs的text。這一幾何觀點(diǎn)構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)之一。10.4.1 波形矢量的空間表示 假定

35、我們有定義在區(qū)間上的M個有限能量能構(gòu)成了全部能量有限波形矢量空間L2的有限維子空間。經(jīng)采用Gram-Schmidt正交化過程，我們可以求出正交基,使得M個波形中的每一個可以精確（exactly)表示為： （10.96）其中， （10.97）因此在標(biāo)準(zhǔn)正交量 spanned的子空間里，波形可以表示為N元件： （10.98） 我們把這種子空間叫信號空間。這種表示使得我們把信號視為N維信號空間的矢量或點(diǎn)而不是無窮維函數(shù)空間L2的波形。矢量空間的長度和距離的概念在開發(fā)最佳信號檢測方法和性能分析中都很有用處。我們把波形的集合叫做數(shù)字調(diào)制方案的信號集。M個矢量的集合叫做信號星座。信號星座是信號空間中由基確

36、定的信號集合的唯一表示。我們可以看出信號集的特定星座表示相對特定信號空間而言是唯一的。然而，在另一個基矢量集合定義的不同的信號空間中，同樣的星座可能表示不同的信號集。例10.5 用例10.4中開發(fā)的（developed)標(biāo)準(zhǔn)正交基求出圖10.11中信號集合的矢量空間表示。解：由于例10.4中信號空間的維數(shù)N是3，所以例10.11中的每個信號都可以用式（10.96）表示為例10.4求出的三個基函數(shù)和的線性組合。即， （10.99） 根據(jù)式（10.91）與式（10.99），我們可以得到對應(yīng)信號的信號矢量。 類似地，我們可以根據(jù)式（10.92）（10.94）（10.95）與（10.99）得到信號的矢

37、量空間表示如下：圖10.11中信號集合的矢量空間表示如圖10.13所示。 特定發(fā)送符號產(chǎn)生決定了星座中第i個矢量的概率。任何實(shí)際通信系統(tǒng)中可獲得（available)的功率限定了發(fā)送連續(xù)發(fā)送的每個符號所需能量的平均值。因此，信號星座的重要概念是其平均能量。信號星座的平均能量（也叫做平均能量/符號）定義為： (10.100）假定符號等概率出現(xiàn)，則平均能量/符號由下式給出： （10.101）平均能量/比特（）與的關(guān)系為： （10.102）信號星座的平均能量與平均功率的概念也密切相關(guān)，即， （10.103）其中T是符號間隔。的最小化將信號星座點(diǎn)置于（place)靠近原點(diǎn)的地方，然而，存在噪聲時調(diào)制方

38、案的差錯性能由星座點(diǎn)之間的距離決定，見第10.6節(jié)的介紹。10.4.2 信號星座實(shí)例 二進(jìn)制反極性信號 在這種條件下， （10.104） 如果我們選擇基函數(shù) （10.105）則可以在一維空間用spanned的表示式（10.104）中的信號集： （10.106）根據(jù)式（10.106）得到星座點(diǎn)為： （10.107）二進(jìn)制正交信號 考慮是式（10.58）描述的正交信號集： 和， 由于函數(shù)與在時間上沒有重疊（nonoverlapping),所以GS正交化過程的簡單應(yīng)用表示我們需要兩個基函數(shù)。若我們選擇基函數(shù)為： (10.108)因此，可以在二維空間經(jīng)spanned和將正交信號集表示為： （10.10

39、9）根據(jù)式（10.109），星座點(diǎn)為： （10.110）圖10.14（b)示出了正交信號的星座。M進(jìn)制PAM信號集為： (10.111)式中。若我們選擇基函數(shù)為： (10.112) 則可以在一維空間里往spanned 將式（10.111）的信號集表示為： (10.113)根據(jù)式（10.113），得出星座點(diǎn)為： （10.114）圖10.14（c)示出了M進(jìn)制PAM信號集的信號星座。方形星座 圖10.14（d)示出了廣泛出現(xiàn)在數(shù)字傳輸系統(tǒng)中的信號星座。它可以視為將兩個反極性信號集組合得到的；反極性信號集則由兩個正交奇函數(shù)構(gòu)成。圖10.14（e)是通過將圖10.14（d)對角上移的轉(zhuǎn)換得到的（？）。

40、經(jīng)應(yīng)用式（10.101），圖10.14（e)中星座的平均能量為： 根據(jù)圖10.14（e)，我們可以得出： 所以， 該值為圖10.14（d)中星座平均能量/符號的兩倍。因此，在信號空間，能量有效的星座集中在原點(diǎn)附近。例10.6 考慮圖10.15(b)中的兩個基函數(shù)。畫出對應(yīng)圖10.15（b)和（c)中所示星座點(diǎn)的波形概圖。解：圖10.15（b)中信號集的維數(shù)N是1.若我們選擇作為基函數(shù)，則所對應(yīng)的星座點(diǎn)的波形可以表示為： 圖10.15（c)中信號集的維數(shù)N為2.則所對應(yīng)的星座點(diǎn)的波形可以表示為： 圖10.16（b)示出了信號和。10.4.3 WGN的矢量空間表示 我們在第10.4.2節(jié)證明（de

41、monstrate)了M個能量有限波形的集合可以表示為N維矢量空間里spanned正交基的矢量。表示隨機(jī)過程需要無限維的標(biāo)準(zhǔn)正交基。考慮將功率譜密度N02 (瓦/赫茲）的高斯白噪聲n(t)表示為和式： (10.115) 式中是n(t)在軸上的投影。由下式定義的n´(t)的分量： （10.116）式（10.116）的n´(t)的分量表示在高斯白噪聲與其在spanned矢量空間的n維表示之間的差值?？梢宰C明：n´(t)與關(guān)于發(fā)送的是哪個信號的判決無關(guān)（？）。下面我們高斯隨機(jī)變量的均值由下式給出： （10.117） 由于對于所有j,，所以高斯隨機(jī)變量的方差可以表示為：

42、（10.118）所以，隨機(jī)變量 不相關(guān)，且每個隨機(jī)變量有均方值N02。由于n(t)是高斯過程，因此這就暗示著是聯(lián)合高斯過程且統(tǒng)計獨(dú)立。總之，我們可以將高斯白噪聲n(t)表示為spanned的信號空間中高斯隨機(jī)變量，其中，分量是均值零方差N02的高斯隨機(jī)變量。在以原點(diǎn)為中心的信號空間中，隨機(jī)變量看起來像個球面云。云中的每個點(diǎn)表示隨機(jī)過程樣本函數(shù)集合中的一個實(shí)現(xiàn)。在云中用陰影強(qiáng)度表示的點(diǎn)的密度與給定區(qū)域觀測的概率成正比。圖（10.17）示出了高斯噪聲和信號，以及三維空間的噪聲矢量。10.5 AWGN系統(tǒng)中的M進(jìn)制信號檢測 現(xiàn)在我們考慮M進(jìn)制通信系統(tǒng)中調(diào)制器在每個符號周期T發(fā)送M個波形之一。（該句重

43、譯）存在AWGN n(t)時接收端收到的發(fā)送波形為r(t): (10.119) 最佳檢測方案中我們關(guān)注的是，通過在區(qū)間0tT觀測到隨機(jī)信號r(t)的樣本函數(shù)，根據(jù)集合來確定發(fā)送的是哪一個信號。在第10.4節(jié)，我們showed了存在AWGN時，集合中的信號可以表示為N維信號空間中的矢量，其中。因此，我們可以把確定在區(qū)間0tT哪個信號（或相當(dāng)于星座點(diǎn)）發(fā)送的問題轉(zhuǎn)換為下面的矢量檢測問題： （10.120） 式中和是對應(yīng)信號空間維數(shù)的N維矢量?；谒鶞y的觀接收矢量的特定實(shí)現(xiàn)，我們期望設(shè)計如下的最佳檢測器：從某種意義上說，使得符號差錯概率最小化，或相當(dāng)于，取正確判決概率的最大值。給定接收信號矢量的觀測

44、值時，檢測器正確判決的條件概率為： （10.121） 是在的條件時發(fā)送信號為的條件概率。所以，叫做的后驗(yàn)概率。從式（10.121）我們可以看出取正確判決概率的最大值就是從集合中選擇使得后驗(yàn)概率最大的。因此，最小化符號差錯概率的檢測器就是最大后驗(yàn)概率（MAP）檢測器。10.5.1 最大后驗(yàn)概率檢測器 MAP檢測器定義為滿足如F條件的檢測器：觀測到接收信號矢量和選擇取后驗(yàn)概率最大值的信號矢量。若滿足下式則檢測器判決發(fā)送信號為： (10.122)若對于 的某值時，式（10.122）中的等號成立，則可以判決為或者而并不改變差錯概率。該判決準(zhǔn)則叫做最大后驗(yàn)概率（MAP）準(zhǔn)則。利用貝葉斯準(zhǔn)則（式（6.14

45、6），后驗(yàn)概率可以表示為： （10.123）式中，； 。 由于式（10.123）的分母與無關(guān)，則求最大值時可忽略。所以我們可以將檢測規(guī)則陳述如下： 若滿足下式則判決發(fā)送信號為： （10.124） 若對于的某值時，式（10.124）中的等號成立，則可以交替地判決為或者而并不改變差錯概率。10.5.2 最大似然檢測器 若所有M個發(fā)送信號等概，即，若 ， 則MAP檢測規(guī)則變?yōu)樽畲笏迫粰z測規(guī)則： (10.125) 條件PDF或任意單調(diào)函數(shù)常叫做似然函數(shù)。最大似然檢測規(guī)則可表述如下： 若滿足下式則判決發(fā)送信號： （10.126）式（10.126）叫做最大似然（ML）準(zhǔn)則。再者，的某值時若式（10.126

46、）的等號成立，則可以判決為或者而并未改變差錯概率。 回顧第10.4.3節(jié)中，的分量是均值零，方差N02的獨(dú)立且同分布的高斯隨機(jī)變量。根據(jù)式（6.173），的聯(lián)合PDF可以寫為： （10.127） 由于，因此我們可以寫出下面的條件PDF的表述式： （10.128） 由于是其自變量的單調(diào)函數(shù)，所以取等價于取對數(shù)似然函數(shù)的最小值，且定義為： （10.129） 式（10.129）中的累加和與Euclidean距離的關(guān)系為： （10.130） 式中的Euclidean距離指的是距離指的是與之間的距離。因此，最大似然檢測器在所有的信號星座點(diǎn)上通過求解取得最小值的作出最佳判決。即，最大似然檢測器選擇的是：與

47、接收矢量的Euclidean距離最近的信號星座點(diǎn)。按照Euclidean距離最大似然檢測規(guī)則式（10.126）可陳述如下： 若滿足下述條件，則判決發(fā)送的信號為 （10.131） 類似地，我們可以根據(jù)Euclidean長度將最大后驗(yàn)概率檢測規(guī)則敘述如下：若滿足下式則判決發(fā)送信號為： （10.132）10.5.3 最大后驗(yàn)概率和最大似然檢測器的實(shí)現(xiàn) 最大似然檢測器僅僅通過計算。接收矢量與信號集合的所有信號之間的距離作出判決，且如果使得下式取最小值則推斷發(fā)送的是： （10.133） 式中是第i個信號的能量。式（10.133）右邊的第一項(xiàng)在最小化期間為常數(shù)，因而可以略去由于取式（10.133）的最小值等價于取的最大值，所以最大似然檢測器的優(yōu)化問題可以表示為： （10.134） 經(jīng)將接收信號通過一排與正交基函數(shù)匹配的相關(guān)