將軍飲馬模型終稿將軍飲馬最大值模型

1、將軍飲馬模型將軍飲馬模型一、背景知識(shí)：【傳說(shuō)】早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題.將軍每天從軍營(yíng) a出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng) b開會(huì)，應(yīng)該怎樣走 才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難， 據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它. 從此以后，這個(gè) 被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今.【問(wèn)題原型】將軍飲馬造橋選址 費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對(duì)稱；平移;【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直、將軍飲馬問(wèn)題常見(jiàn)模型1.兩定一動(dòng)型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小例1：在定直

2、線i上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p,使動(dòng)點(diǎn)p到兩個(gè)定點(diǎn)a與b的距離之和最小，即pa+pb最小.作法：連接ab，與直線l的交點(diǎn)q,q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p跑到了點(diǎn)q處,pa+pb最小，且最小值等于 ab.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。證明：連接ab，與直線l的交點(diǎn)q, p為直線i上任意一點(diǎn),在"pab中，由三角形三邊關(guān)系可知：ap+pb仝ab（當(dāng)且僅當(dāng)pq重合時(shí)取=）例2：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p,使動(dòng)點(diǎn)p到兩個(gè)定點(diǎn)a與b的距離之和最小,即pa+pb的和最小.7關(guān)鍵：找對(duì)稱點(diǎn) 作法：作定點(diǎn)b關(guān)于定直線i的對(duì)稱點(diǎn)c,連接ac,與直線i的交點(diǎn)q即為所要尋找的點(diǎn), 即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p跑到了點(diǎn)q處，pa+pb和最小，

3、且最小值等于 ac.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短證明：連接ac，與直線i的交點(diǎn)q，p為直線i上任意一點(diǎn)，在"pac中，由三角形三邊關(guān)系可知：ap+pc仝ac（當(dāng)且僅當(dāng)pq重合時(shí)取=）2.兩動(dòng)一定型例3:在/ mon的內(nèi)部有一點(diǎn) a，在0m上找一點(diǎn)b,在on上找一點(diǎn) c,使得 bac周 長(zhǎng)最短.作法：作點(diǎn)a關(guān)于0m的對(duì)稱點(diǎn)a ,作點(diǎn)a關(guān)于on的對(duì)稱點(diǎn)a'',連接a a''與0m 交于點(diǎn)b，與on交于點(diǎn)c,連接ab , ac , abc即為所求.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短2將軍飲馬模型例4:在/ mon的內(nèi)部有點(diǎn)a和點(diǎn)b,在0m上找一點(diǎn)c,在on上找一點(diǎn)d，使得

4、四邊形abcd周長(zhǎng)最短.fr-s/o3將軍飲馬模型#將軍飲馬模型作法：作點(diǎn)a關(guān)于0m的對(duì)稱點(diǎn)a ,作點(diǎn)b關(guān)于on的對(duì)稱點(diǎn)b',連接a b,與0m交 于點(diǎn)c,與on交于點(diǎn)d，連接ac, bd , ab，四邊形abcd即為所求.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短3.兩定兩動(dòng)型最值例5:已知a、b是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線i上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)m與n，且mn長(zhǎng)度等于定長(zhǎng) d （動(dòng)點(diǎn)m位于動(dòng)點(diǎn) n左側(cè)），使 am+mn+nb的值最小.#將軍飲馬模型#將軍飲馬模型提示：存在定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)冋題一定要考慮平移#將軍飲馬模型#將軍飲馬模型作法一：將點(diǎn)a向右平移長(zhǎng)度 d得到點(diǎn)a',作a'關(guān)于直線i的對(duì)稱點(diǎn)a'

5、;'連接a'b,交直線i于點(diǎn)n，將點(diǎn)n向左平移長(zhǎng)度d,得到點(diǎn)m。作法二：作點(diǎn)a關(guān)于直線i的對(duì)稱點(diǎn)ai，將點(diǎn)a1向右平移長(zhǎng)度 d得到點(diǎn)a2,連接a2 b, 交直線i于點(diǎn)q,將點(diǎn)q向左平移長(zhǎng)度 d,得到點(diǎn)q。原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，最小值為a b+mn例6:（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的瞭望臺(tái)觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請(qǐng)問(wèn)，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？軍營(yíng)4將軍飲馬模型#將軍飲馬模型瞭望臺(tái)例6:直線li / i2,在直線li上找一個(gè)點(diǎn)c,直線i2上找一個(gè)點(diǎn) d，使得cd丄12,且#將軍飲馬模型#將軍飲馬模型ac + bd + cd 最短./

6、?作法:將點(diǎn)a沿cd方向向下平移cd長(zhǎng)度d至點(diǎn)a ,連接a'b,交i2于點(diǎn)dc丄i2于點(diǎn)c,連接ac .則橋cd即為所求.此時(shí)最小值為 a'b+cdd，過(guò)點(diǎn)d作原理:兩點(diǎn)之間，線段最短,4.垂線段最短型例7:在/ mon的內(nèi)部有一點(diǎn) a，在0m上找一點(diǎn)b，在on上找一點(diǎn) c,使得ab + bc最短.原理：垂線段最短點(diǎn)a是定點(diǎn)，0m , on是定線，點(diǎn)b、點(diǎn)c是0m、on上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn).作法：作點(diǎn)a關(guān)于0m的對(duì)稱點(diǎn)a ,過(guò)點(diǎn)a'作a'c丄on, 交om于點(diǎn)b , b、c即為所求。#將軍飲馬模型例8:在定直線i上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) p,使動(dòng)點(diǎn)p到兩個(gè)定點(diǎn)a與b的距離之差

7、最小，即pa-pb 最小.作法：連接ab，作ab的中垂線與i的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn) p此時(shí) ipa-pb |=0原理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等例9：在定直線i上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) c,使動(dòng)點(diǎn)c到兩個(gè)定點(diǎn)a與b的距離之差最大，即|pa-pb|最大作法：延長(zhǎng)ba交i于點(diǎn)c,點(diǎn)c即為所求，即點(diǎn)b、a、c三點(diǎn)共線時(shí)，最大值為 ab的長(zhǎng)度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊 例10：在定直線i上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) c,使動(dòng)點(diǎn)c到兩個(gè)定點(diǎn)a與b的距離之差最大，即|pa-pb|最大作法：作點(diǎn)b關(guān)于i的對(duì)稱點(diǎn)b,連接ab， 交交i于點(diǎn)p即為所求，最大值為 ab的長(zhǎng)度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊三角形典型例

8、題1.如圖，在等邊厶 abc中，ab = 6 , ad丄bc, e是ac上的一點(diǎn)，m是ad上的一點(diǎn), 且ae = 2，求em+ec的最小值6將軍飲馬模型#將軍飲馬模型解：點(diǎn)c關(guān)于直線ad的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)b,連接be，交ad于點(diǎn)m,則me+md最小， 過(guò)點(diǎn)b作bh丄ac于點(diǎn)h,則 eh = ah -ae = 3 -2 = 1 , bh = bc2 - ch2 = . 62 - 32 = 3 ,3在直角 bhe 中，be = bh2 + he2 =(3 3)2 + 12 = 2 7i在戢角中.昂ao45jmbac的平分蜒交bc于點(diǎn)dm n分別是ad和ab上的動(dòng)點(diǎn)，則bm+mn的最小值是,解：作點(diǎn)日關(guān)于

9、ad的對(duì)稱, 過(guò)扁b作b e丄ab于忌e交ad于庶f 則找段g'e的怏就呈bm +的最小倩&wfl?rt-aeb'中根據(jù)勾般是理雕!j. b e - 43 + r -a0c中,ab=2 . z0ac=3on .若在ac, ab上各取一庶m, n r bm+mn的值豪小r則漢彳曙小值解：作ab關(guān)于m 的對(duì)稱線段ab' ,過(guò)扁用作田n丄ab,垂足為忖交ac于薦m ,s!l bn = mb'+mn =mb+mnb n的檢就星mb+mn的shmmsszb'an = 2zbac= 60 abh = ab = 2 .zanb'= 90° ”

10、 zb' = 30an = 1在育甫-ab m中.抿據(jù)勾股連理 圧n = 7將軍飲馬模型8將軍飲馬模型part2.正方形1 如砂正方形a旺d的邊氏為8, m在dc上，且dm = 2n見(jiàn)ac上的一動(dòng)瓠dn + mn的最小值為t即在直線ac上求一原n ,便dn+mn最小解：故咱點(diǎn)d關(guān)于ac的對(duì)稱為b ,連接bm 交 actn0 則 dn+mn=bn+mn= bm 翳bm的長(zhǎng)就足dn + mn的最小傅 smft-bcm中'cm=6, bc = 8 .則bm=10故dn+mn的最小值是102 .如圏所示r正方形abcd的面積為12 . -abe足等邊三猜形，點(diǎn)e在正方形a0cd內(nèi),在對(duì)甬域ac上有一爲(wèi)p便pd十pe的和flkh, 5®個(gè)翻借為（a . 2-3 b . 26 c . 3 d . 6解：即在ac上求一扁p （便pe+pd的雷億小翥d關(guān)于直線ac的對(duì)稱誣扁b ,連接 be 交 ac于點(diǎn) p則 be 二 pe+pe 二 pd+pe be的氏就是pd+pe的最小fit be = ab = 2/33 .在邊按為2 m的正方形abcd中倚q為bc邊的