線性代數(shù)第六章第二節(jié)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法

1、用可逆（或正交）變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用可逆（或正交）變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形目標(biāo)：目標(biāo)：axxft 二次型二次型 cy x 非退化線性變換非退化線性變換yaccyftt)( 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnykykyk yyt 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為： 為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣，使使得得求求可可逆逆矩矩陣陣accct),(1nkkdiag 定理定理 3 對(duì)任意對(duì)任意n元實(shí)二次型元實(shí)二次型f（x1,x2，,xn)=xtax( a 為為 n 階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣)，則，則必有正交矩陣必有正交矩陣 p ,使使 221121),(nnpyxnyyxxxf得。以由正交變換對(duì)角化即證明：由實(shí)對(duì)稱矩陣可)(21ntd

2、iagapp，的全部特征值。是二次型的矩陣，an21正交變換的特征是保持向量的長(zhǎng)度不變正交變換的特征是保持向量的長(zhǎng)度不變.,xxxpxpxyyypxytttt則有為正交變換設(shè)定義定義若為正交矩陣，則線性變換若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換稱為正交變換ppxy 在在幾何中將二次曲線或曲面的方程化為標(biāo)準(zhǔn)型方程時(shí)，如果幾何中將二次曲線或曲面的方程化為標(biāo)準(zhǔn)型方程時(shí)，如果要求保持圖形的幾何性質(zhì)（如保持圖形的形狀不變）要求保持圖形的幾何性質(zhì)（如保持圖形的形狀不變）,就要使用就要使用正交變換等方法。正交變換等方法。次次型，使變換保持尺度不變。型，使變換保持尺度不變。在在統(tǒng)計(jì)等方面的應(yīng)用中，也常常使用正交

3、變換的方法處理二統(tǒng)計(jì)等方面的應(yīng)用中，也常常使用正交變換的方法處理二用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟;,. 1aaxxft求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221na 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnc 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffcyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 與上一與上一章化相章化相似標(biāo)準(zhǔn)似標(biāo)準(zhǔn)型的做型的做法基本法基本一致，一致，也可以也可以作組內(nèi)作組

4、內(nèi)正交化正交化例1 求一個(gè)正交變換x=ty,把二次型32312123222184422xxxxxxxxxf 化為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出方程f =1表示何種二次曲面.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法 242422221a由 ,0)7()2(2 ae解 寫(xiě)出 的系數(shù)矩陣a，求出a的特征值和特征向量f, 71 . 232 得得基礎(chǔ)解系當(dāng) 時(shí),解方程組71 07 xae)(t)2, 2 , 1 (1得基礎(chǔ)解系當(dāng) 時(shí),解方程組232 02 xae)(t)0 , 1, 2(2t) 1 , 0 , 2(3將特征向量正交化、單位化22 3222323tt3254 t)5 , 4 , 2(51再對(duì)1,2, 3單位化,

5、得te)2, 2 , 1 (31111te)0 , 1, 2(55222te)5 , 4 , 2(155333寫(xiě)出正交變換的矩陣由 構(gòu)成正交矩陣321eee, 3503215545532155255231t顯然,f =1表示的二次曲面為單葉雙曲面.注意：化f為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換不唯一.則二次型經(jīng)正交變換x=ty化為標(biāo)準(zhǔn)形232221227yyyf 解解例例2 2.22 2222 , 434232413121化為標(biāo)準(zhǔn)形把二次型求一個(gè)正交變換xxxxxxxxxxxxfpyx二二次次型型的的矩矩陣陣為為,0111101111011110 a它它的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為.111111111111 e

6、a有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二計(jì)算特征多項(xiàng)式計(jì)算特征多項(xiàng)式,:,1111111111111)1( ea有有四行分別減去第一行四行分別減去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( ea1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的特征值為的特征值為于是于是a, 0)3(,31 xea解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,11111 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1111211 p單位化即得單位化即得, 0)(,1432 xea解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1111,1100,0011232 可得正交的基礎(chǔ)解系可得正交的基礎(chǔ)解系單位化即得單位化即得

7、21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交變變換換為為 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有拉格朗日配方法的具體步驟拉格朗日配方法的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保保持幾何形狀不變持幾何形狀不變問(wèn)題：有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)問(wèn)題：有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法用用正交變換能夠化

8、實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這種方法是根據(jù)實(shí)正交變換能夠化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這種方法是根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，求出二次型對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，求出二次型 的特征值和規(guī)范正交的特征向量，的特征值和規(guī)范正交的特征向量，條件要求較強(qiáng)，當(dāng)研究一般數(shù)域條件要求較強(qiáng)，當(dāng)研究一般數(shù)域p上的二次型上的二次型(包括實(shí)二次型包括實(shí)二次型)的標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可以用拉格朗日配方法，這種方法不用解矩陣特征的標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可以用拉格朗日配方法，這種方法不用解矩陣特征值問(wèn)題，只需反復(fù)利用以下兩個(gè)初等公式值問(wèn)題，只需反復(fù)利用以下兩個(gè)初等公式就能將就能將二次型化為平方和。下面首先舉例說(shuō)明，再給出理論證明二次型化為平方和。下面首先舉例說(shuō)明，再給出理論證明。

9、)(,2)(22222babababababa1.若二次型含有若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步驟拉格朗日配方法的步驟2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換則先作可逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按化

10、二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例3 331212122xxxxx 322322652xxxx 的項(xiàng)配方的項(xiàng)配方含有含有x1含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng) 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng) 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 33322

11、32112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 .01,100210111 cc例例4 用配方法化二次型用配方法化二次型32222121321322),(xxxxxxxxxf為為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的可逆線性變換標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的可逆線性變換。解解 32222121321322),(xxxxxxxxxf322222212132xxxxxxx2323322222149493)(xxxxxxx2323222149)23()(xxxxx令令3332322211xyxxyxxy

12、(1)則則3332322323211yxyyxyyyx(2)(2)是可逆線性變換，使是可逆線性變換，使23492221321),(yyyxxxf,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.,622 323121并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例5 5由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以 yyyxxx321321100011011即即記記x=by得323122218422yyyyyyf 再把所有含y1的項(xiàng)集中,配平方;同樣地把含有y2的項(xiàng)集中,配平方,就得到)()()()

13、()(23232231232332222312332222331213223442422yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyf 即：即： .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即求逆求逆矩陣矩陣記記y=dz所用變換矩陣為所用變換矩陣為 100210101100011011c.100111311 .02 cbdzbyx定理定理4 對(duì)于任一對(duì)于任一n元元二次型二次型),(),(21ttnaaaxxxxxf都都存在非退化的線性變換存在非

14、退化的線性變換x=cy，使之成為標(biāo)準(zhǔn)型（平方和）使之成為標(biāo)準(zhǔn)型（平方和）.),(222221121nnnydydydxxxf證明證明 對(duì)變量個(gè)數(shù)進(jìn)行歸納。對(duì)變量個(gè)數(shù)進(jìn)行歸納。11,)(121111時(shí)，情形結(jié)論成立。當(dāng)為時(shí)結(jié)論成立。設(shè)時(shí)，nnxaxfn平方項(xiàng)的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)平方項(xiàng)的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)nijiijnjnjjjnxxaxaxxaxxxfa22211211121112),(, 0ninjjiijnjjjanjjjaxxaxaxaxa2222112211111,1111ninjjiijnjjjannnnnjjjayyayayyygyyygyafxyxyxaxy2222113232

15、211122211111111),(),(,其中則令是是n-1元元二次型或零多項(xiàng)式。由歸納假設(shè)，存在非退化線性變換二次型或零多項(xiàng)式。由歸納假設(shè)，存在非退化線性變換;),(1,22332223222nnnnnzdzdzdyyygnqzzqyy階可逆矩陣，使得為,100001000010111111311112111naaaaaap記則非則非退化線性變換為退化線性變換為2222211121111),(001nnnnnnzdzdzaxxxfzzqpyypxx使得情形情形2),(21nxxxf, 0jiaij不含不含平方項(xiàng)，必有平方項(xiàng)，必有jiknkyxyyxyyxkkjijjii,1 ,則是非退化的

16、線性變換，使得是非退化的線性變換，使得),(),(212221njijiijnyyyhyayayyygf或是為不含平方項(xiàng)的二次型其中),(21nyyyh零零多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式，故),(21nyyyg含有平方項(xiàng)，這歸結(jié)為情形含有平方項(xiàng)，這歸結(jié)為情形1，可可化為標(biāo)準(zhǔn)型化為標(biāo)準(zhǔn)型.推論推論1 任意任意n階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣a都與對(duì)角形矩陣合同都與對(duì)角形矩陣合同.證明證明 由定理由定理4，存在非退化線性變換，存在非退化線性變換x=cy，使得使得2222211nntydydydaxx右端右端標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣為,21ndddb新舊新舊變量二次型的矩陣變量二次型的矩陣a與與b滿足滿足ctac=b，即

17、，即a與與對(duì)角形矩陣對(duì)角形矩陣b合同合同.3 3 初等變換法初等變換法根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣及合同變換的特征得到根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣及合同變換的特征得到.是可逆矩陣。其中，作合同變換：實(shí)對(duì)稱矩陣caccat）為初等矩陣。，（nippppcin121ttntntpppc11apppaccttntnt11nppp21，稱為一次合同變換。的初等列變換作同樣，再對(duì)作初等行變換：對(duì)itiitipapaappecacceatcacct只作列只作列變換變換c為所為所求求準(zhǔn)型。，用初等變換法化為標(biāo)例：1111101211221221a10000100001000011112101211221221ea10000100001012210110143013200001100001002123100121212100212100002000011000110012310112100000210