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文檔簡介
1、刷好題基礎題組練1. (2019陜西榆林二校聯(lián)考)圓X + y2 + 4x 2y+ a = 0截直線x+ y 3 = 0所得弦長為2, 則實數(shù)a等于()A. 2C. 4解析:選D.由題知,圓的標準方程為(x+ 2)2 + (y 1尸=5 a,所以圓心為(2, 1),半 徑為,5 a,又圓心到直線的距離為 |2+23|=" ,所以 2 ( 5 a) 2 ( 2 2= 2, 解得a= 4.2. 已知圓 C: x2 + y2 2x 2my+ m2 3= 0關于直線I : x y+ 1 = 0對稱,則直線 x = 1與圓C的位置關系是()A .相切B .相交C.相離D .不能確定解析:選A.
2、由已知得C: (x 1)2 + (y m)2= 4,即圓心C(1, m),半徑r = 2,因為圓C 關于直線I: x y+ 1 = 0對稱,所以圓心(1, m)在直線I: x y+ 1 = 0上,所以m= 2.由圓心 C(1, 2)到直線x= 1的距離d = 1+ 1 = 2 = r知,直線x= 1與圓C相切.故選 A.3. 已知圓01的方程為x2 + y2= 4,圓。2的方程為(x a)2 + y2 = 1,如果這兩個圓有且只有一個公共點,那么a的所有取值構成的集合是()A . 1 , 1B . 3 , 3C. 1 , 1, 3, 3D. 5 , 5, 3, 3解析:選C.因為兩圓有且只有一
3、個公共點,所以兩個圓內切或外切,內切時,|a|= 1,外切時,|a|= 3,所以實數(shù)a的取值集合是1 , 1, 3, 3.4. 已知圓 C: (x 1)2+ y2= r2(r>0),設條件p: 0<r<3,條件q :圓C上至多有2個點 到直線x 3y+ 3= 0的距離為1,貝U p是q的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析:選C.圓心C(1, 0)到直線x 3y + 3= 0的距離d = 2.若圓C上至多有2個點到直 線x 3y+ 3 = 0的距離為1,則0<r<3,所以p是q的充要條件.5. 若直線y = 2與圓
4、x2+ y2 2x= 15相交于點A, B,則弦AB的垂直平分線的方程為.解析:圓的方程可整理為(x 1)2+ y2= 16,所以圓心坐標為(1 , 0),半徑r = 4,易知弦AB的垂直平分線l過圓心,且與直線 AB垂直,而kAB =-2,所以ki = 2由點斜式方程可得直線I的方程為y 0 = 2(x 1),即y= 2x-2.答案:y= 2x 26. 在平面直角坐標系中,A, B分別是x軸和y軸上的動點,若以 AB為直徑的圓C與直線2x+ y 4= 0相切,則圓C面積的最小值為 .解析:因為/ AOB= 90°,所以點 O在圓C上設直線2x+ y 4= 0與圓C相切于點 D,則點
5、C與點O間的距離等于它到直線 2x+ y 4= 0的距離,所以點 C在以O為焦點, 以直線2x+ y 4= 0為準線的拋物線上,所以當且僅當 O, C, D共線時,圓的直徑最小為QD|.又|OD|= |2X 爲0- 4| =希,所以圓C的最小半徑為;,所以圓C面積的最小值為n答案:4 n57. 已知圓C : (x 1)2+ (y+ 2)2= 10,求滿足下列條件的圓的切線方程.(1) 過切點 A(4, 1);(2) 與直線12: x 2y+ 4= 0垂直.2 + 1 1解: (1)因為kAc=1所以過切點A(4, 1)的切線斜率為3,所以過切點A(4,1 431)的切線方程為 y+ 1 = 3
6、(x 4),即 3x+ y 11 = 0.設切線方程為 2x+ y+ m= 0,則m= 10,所以 m= ±5/2,所以切線方程為2x+ y± , 2 = 0.&已知圓C經(jīng)過點A(2, 1),和直線x+ y= 1相切,且圓心在直線 y= 2x 上.(1) 求圓C的方程;(2) 已知直線l經(jīng)過原點,并且被圓 C截得的弦長為2,求直線l的方程.解:(1)設圓心的坐標為 C(a, 2a),則寸(a 2) 2+( 2a+ 1) 2 = |a-黑-1 .化簡,得 a2 2a+ 1 = 0,解得 a = 1.所以 C(1, 2),半徑 |AC|= . (1 2) 2+( 2 +
7、 1) 2 = 2.所以圓C的方程為(x 1)2+ (y+ 2)2= 2.當直線I的斜率不存在時,直線I的方程為x = 0,此時直線I被圓C截得的弦長為2, 滿足條件.當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y= kx,由題意得-1k+ 2| = 1,+ k23解得k= 3,4所以直線l的方程為y條綜上所述,直線I的方程為x= 0或3x+ 4y= 0.綜合題組練1. (2019貴州黔東南聯(lián)考)在厶ABC中,若asin A + bsin B csin C= 0,則圓C: x2 + y2=1與直線I: ax+ by+ c= 0的位置關系是()B 相交A 相切C.相離D .不確定解析:選 A.因為 a
8、sin A + bsin B csin C= 0,所以 a2 + b2 c2= 0,故圓心 C(0, 0)到直線 I: ax+ by + c= 0 的距離 d = = 1,故圓 C: x2 + y2= 1 與直線 l: ax + by+ c= 0 相 Qa2+ b2切.2.已知直線3x+ 4y 15 = 0與圓O: x2 + y2= 25交于A, B兩點,點C在圓O上,且Saabc= 8,則滿足條件的點C的個數(shù)為()C. 3解析:選C.圓心O到已知直線的距離為 d= J= 3,因此|AB|= 2寸52 32 = 8,設寸32+ 42*1點C到直線 AB的距離為h,貝U Saabc = x 8X
9、 h = 8, h= 2,由于d+ h= 3 + 2 = 5= r(圓的半 徑),因此與直線 AB距離為2的兩條直線中的一條與圓相切,一條與圓相交,故符合條件 的點C有三個.3. (2019洛陽市統(tǒng)考)已知直線x+ y 2= 0與圓O: x2+ y2= r2(r>0)相交于A, B兩點,C為圓周上一點,線段 OC的中點D在線段AB上,且3AD = 5DB,貝V r =解析:如圖,過O作OE丄AB于E,連接OA,則|OE|=羽,易知|AE|= |EB|,不妨令 AD|= 5m(m>0),由 3AD = 5DB可得:|BD|= 3m, |AB|= 8m,則 |DE|= 4m 3m =
10、m,1 2在 Rt ODE 中,有?r = ( .2)2+ m2,在 Rt OAE 中,有 r2= ( 2)2+ (4m)2 ,聯(lián)立,解得:r = v 10.答案:104. (2019黑龍江大慶診斷考試)過動點P作圓:(x 3)2+ (y 4尸=1的切線PQ,其中Q 為切點,若|PQ|= |PO|(O為坐標原點),則|PQ|的最小值是 .解析:由題可知圓(x 3)2+ (y 4)2 = 1的圓心N(3, 4).設點P的坐標為(m, n),則|PN|2 =|PQ|2 + |NQ|2= |PQ|2+ 1,又 |PQ|= |PO|,所以 |PN|2=|PO|2+ 1,即(m 3)2+ (n 4)2=
11、 m2 + n2 + 1,化簡得3m+ 4n = 12,即點P在直線3x+ 4y= 12上,則|PQ|的最小值為點 O到直線12 123x+ 4y= 12的距離,點O到直線3x+ 4y= 12的距離d="5,故|PQ|的最小值是.答案:乎55已知點P(2, 2),圓C: x2 + y2 8y= 0,過點P的動直線I與圓C交于A, B兩點, 線段AB的中點為M , O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程;當|OP|= |OM|時,求I的方程及厶POM的面積.解:(1)圓C的方程可化為x2+ (y 4)2= 16,所以圓心為C(0, 4),半徑為4.設 M(x, y),則 CM = (x,
12、y 4), IMP = (2 x, 2 y).由題設知 CM MP = 0,故 x(2 x)+ (y 4)(2 y) = 0, 即(x 1)2+ (y 3)2= 2.由于點P在圓C的內部,所以M的軌跡方程是(x 1)2+ (y 3)2= 2.(2)由(1)可知M的軌跡是以點 N(1 , 3)為圓心,.2為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON丄PM.1因為ON的斜率為3,所以I的斜率為一-,3故I的方程為y= fx+ 3.又|OM|=|OP|= 2 2, O到I的距離為土尹,|PM|= 2 . (2.2) 2- 4510 =牛。,所以 POM的
13、面積為歿.56.(綜合型)(2019湖南東部六校聯(lián)考)已知直線1: 4x+ 3y + 10= 0,半徑為2的圓C與I 相切,圓心 C在x軸上且在直線I的右上方.(1) 求圓C的方程;(2) 過點M(1, 0)的直線與圓 C交于A, B兩點(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分/ ANB ?若存在,請求出點 N的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)設圓心 C(a, 0)(a> 5),則 |4a;10|= 2? a = 0或 a=-5(舍).所以圓 C: x2 + y2= 4.當直線AB丄x軸時,x軸平分/ ANB,此時N點的橫坐標恒大于 0即可.當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y= k(x- 1), N(t, 0), A(X1, y1), B(x2, y2),x2 + y2= 4由得,(k2+ 1)x2-2k2x+ k2-4= 0
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