直線和圓的方程

1、第七章直線和圓的方程考綱要求：1. 理解直線的傾斜角和斜率的概念.2. 掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距 式和一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出方程3. 掌握直線平行與垂直的條件，兩直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，并能根據(jù)兩直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系.掌握解決關(guān)于點(diǎn)對稱和關(guān)于直線對稱問題的方法.4. 了解用二元一次不等式表示區(qū)域，了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡單的應(yīng)用.5. 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.能根據(jù) 點(diǎn)到直線的距離公式判定直線與圓的位置關(guān)系，解決求圓的切線和弦長等問題.第一節(jié)直線的方程1. 直線的傾斜角在平面直

2、角坐標(biāo)系中，對于一條與X軸相交的直線，如果把x軸 繞著交點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為二，那么叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線和X軸平行或重合時(shí)，直線的傾 斜角為0 .直線傾斜角的取值范圍是0 ,180 ).2. 直線的斜率(1) 傾斜角不是90的直線，的傾斜角的正切，做這條直線的傾 率，用k表示,k =ta=90 ).斜角是90的直線沒有斜率.過Pg yJ,P2(X2, y2)兩點(diǎn)的直線的斜率k二 一 y1 (花=x?). x2 _捲3. 直線的方向向量和法向量(1) 方向向量：與直線平行的向量叫做直線的方向向量.設(shè)F1(xyj F2(X2，y2)是直線上不同的兩點(diǎn)，則向量F1F2

3、二區(qū)-疋以- yj是直線 的一個(gè)方向向量；向量 一1 F1 F2 = (1, ) = (1, k)(x. x2)也是直線的一個(gè)方向向 x2 羽x2 _捲量.法向量:與直線垂直的向量叫做直線的法向量.4. 直線方程的五種形式(1) 直線方程的點(diǎn)斜式： 經(jīng)過一點(diǎn)卩儀。),且斜率是k的直線的方程是y - y° = k(x -x°),這個(gè)方程叫做 直線方程的點(diǎn)斜式.y軸和與y軸平行的直線，沒有點(diǎn)斜式方程. 特別地:y軸的方程是x =0,與y軸平行的直線方程是x = a;x軸的方程是y=0,與x軸平行的直線方程是y = b(2) 直線的截距：如果直線與x軸相交，且交點(diǎn)的坐標(biāo)是A(a,

4、0),那么a叫做直線在x軸上的截距；如 果直線與y軸相交，且交點(diǎn)的坐標(biāo)是B(O,b),那么b叫做直線在y軸上的截距.(3) 直線的方程的截距式： 如果直線的斜率是k，并且直線在y軸上的截距是b，那么直線的方程是y = kx b , 這個(gè)方程叫做直線方程的斜截式.y軸和與y軸平行的直線,沒有斜截式方程. 過點(diǎn)A(a,O)的直線的方程可以寫成my a (該方程可以表示傾斜角為90的直線).(4) 直線方程的兩點(diǎn)式： 如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1, y1), P2(x2, y2) (x-= x2, y-= y2),那么直線的方程是丄乂二 L，這個(gè)方程叫做直線方程的兩點(diǎn)式.與坐標(biāo)軸平行的直線沒有兩點(diǎn)式方

5、 y2 -yiX2 -Xi程. 經(jīng)過兩點(diǎn) R(xi, yi), P2(X2, y2)的直線的方程是(y - yj% -xj =(x -xj(y2 - %),如果XiX2,那么該直線的方程是x = Xi，如果yi二y2，則該直線的方程是y = yi.(5) 直線方程的截距式：如果直線在x軸上的截距是a ,在y軸上的截距是b，那么直線的方程是-=i,a b 這個(gè)方程叫做直線方程的截距式.與坐標(biāo)軸平行或經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線沒有截距式方 程.(6) 直線方程的一般式： 以上各種形式的方程，通過方程的恒等變形，總可以下成形如Ax By0 .這個(gè)方程叫做直線的一般式方程. 已知直線的一般式方程是 Ax By

6、 0，可以求出該直線的相關(guān)特征數(shù)值.AI .直線的斜率k ;BII .直線在x上的截距是a二-C(A = 0),直線在y上的截距是b =-C(B = 0);AB直線的一個(gè)法向量是n =(A,B),直線的一個(gè)方向向量是a=(-B,A).例1已知向量n =(-2,3)，直線I過點(diǎn)A(3,-1)且與向量n垂直，則直線I的方程為()A.3x 2y-7 = 0 B.3x-2y-11=0C.2x 3y-3 = 0 D.2x-3y-9=0例2已知直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)(m R)兩點(diǎn)，那么直線I的傾角的取值范圍是() jit jijijijir jiA.(0,二)B.0,(,二)C.0-D.,

7、)(，二)424422例3求適合下列條件的直線方程.(1) 經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；經(jīng)過點(diǎn)A(-1, -3)，傾斜角等于直線y二3x的傾角的兩倍.【解】(1)設(shè)線在兩坐標(biāo)軸上的截距為a.當(dāng)a = 0時(shí),直線過原點(diǎn),可設(shè)其方程為y二kx,將點(diǎn)P(3,2)代入解得k =-,所以3所求直線的方程為y = 2 x3當(dāng)a = 0時(shí)，則其方程可設(shè)為-=1,將點(diǎn)P(3,2)代入解得a二5,代入整理得直 a a線的一般式方程為x *5=0(2) 設(shè)直線y =3x的傾斜角為:,則所求直線的傾斜角為2.丄 c 2tan 口 2X33tan 221 -tan a 1-94所以所求直線的點(diǎn)斜式方

8、程為y= -2x - 1)，即 3x 4y 10.4例4過點(diǎn)P(2,1)作直線I交x軸，y軸的正半軸于A, B兩點(diǎn),0為原點(diǎn)求(1) 當(dāng)=AOB面積最小時(shí)的直線I的方程；當(dāng)| OA | |OB |最小時(shí)的直線I的方程；(3) 當(dāng)| PA | | PB |最小時(shí)的直線l的方程.【解】(1)設(shè)直線在x軸,y軸上的截距分別是a,b,則該直線的方程為-=1,又直線過P(2,1)所以有-1 = 1，又 a 0,b0,a ba b所以1_2. 2 ,ab_8,當(dāng)且僅當(dāng)2 =丄=丄時(shí),即a =4,b = 2時(shí)取“=”.a b V aba b 2111.S AOB |OA|OB| ab ab 一 4，即當(dāng) a

9、=4,b=2 時(shí)，：AOB 面積最小，此2 22時(shí)直線的方程是x =1.422 1 因?yàn)橐?一 =1且a 0,b0 .a b所以 |OA| |OBa (a b) (2 丄)=3 一_6、.2 ,當(dāng)且僅當(dāng) =-,即a ba ba 2b，將其代入到 2 1 =1,解得 b »：；2 1,a = 2 2 .a b此時(shí)直線的方程為 xy=1.2+J2 12+1(3)如圖，令.BAO =，則 | PA |cos 二 a - 2,1 2 | PA|，同理 |PB|.si n。cosa4I PA | |PB |.sin 2a所以，當(dāng)時(shí)，|PA|PB|最小，此時(shí)I的方程為x，y-3=0.4課后練習(xí)二

10、十八1. xtany =0的傾斜角是()75 二6'：A.B. C.D.77772. 下列命題正確的一個(gè)是()A. 過定點(diǎn)P(xo,y°)的直線可以用方程y - y° =k(x-x°)表示B. 經(jīng)過任意兩個(gè)不同的兩點(diǎn)(x1,y1),P2(x2, y2)的直線都可以用方程(y yi)(X2 Xj (x Xj(y2 yj =0 表示.C. 不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程 -=1表示a bD. 經(jīng)過定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用y二kx b表示3. 過點(diǎn)(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為()3 3A.B.C. 3D.-32 _ 24. 若直線丨：y二k

11、x - 3與直線2x 3y - 6 = 0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線I的傾斜角的 取值范圍是()nJin nn nirnA. , ) B. ( , ) C. ( , ) D.,636 23 262，則直線I的方程是(5. 直線I經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形A. x - y 1=0C.x-y 1=0 或 x y-5=0D. x - y -1 = 06. 設(shè)直線ax by c =0的傾角為-：,且si，cos二0,則a,b滿足()A. a b = 1B.a-b=1C. a b = 0D.a-b = 07. 直線(2m2-5m 2)x-(m2 -4)y 5m = 0的傾斜角

12、是一，則m的值是()4A.1B. 2C. 3D. 2或38. 直線xcos + V3y+2 = 0的傾斜角的取值范圍是 .9. 已知直線I經(jīng)過點(diǎn)(2,3),它的一個(gè)方向向量是 并=(4-3),則該直線的方程是 .10. 求經(jīng)過點(diǎn)(2,-1)，傾為角為直線4x 3y *4=0的傾斜角的一半的直線方程.第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系1. 兩條直線的平行的判定如果直線h,l2的方程為l：y = k1xb1, l2：y=k2Xb2則IJ/Jukk2且bi =b2；如果 Ii,l2 的方程為 li : AiX Biy Ci =0 , I2 : A2X B?y C2 =0 , (A2B2C2 = 0), 則 l

13、i/* 二蟲二邑= C1.A2b2 C22. 兩直線垂直的判定(1) 如果直線 li,l2 的方程為 IrykjX b，l2：y=k2x b2 則 h'u kik - i;(2) 女口 果 li,l2 的 方程為 li : Aix Biy C0 ， l2 : A2x B2y C 0 ,則11 _ l 2 = Ai A2Bi B2 二 0 .重要提示解析幾何中，兩條直線的位置關(guān)系有平行，相交,重合三種，判定兩條 直線平行或重合時(shí)，要注意斜率不存在這種特殊的情況.3. 兩直線的交點(diǎn)(i)兩條不平行的直線li,l2的方程為li : Aix Biy C0，l2 ： A2X B2y C0 ,At

14、X 亠 Bw 亠 G = 0那么它們的交點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組i iy i 的解.Ax + B2y + C2 = 0 經(jīng)過兩直線li : Aix Biy C0，l2： A2X B2y C0的交點(diǎn)的直線的方程可以寫成AixBiyC (A2XB?yC2)= 0 (其中不包括J )反之方程AiXBiyC(A2X- B?yC20表求的直線一定過兩直線li :AiXBiyC 0，12 : A2X B2y C2 =0 的交點(diǎn).4. 兩條直線所成的角(1) 到角的定義：兩條直線li和l2,我們把直線li按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所 轉(zhuǎn)的最小正角,叫做li到l2的角,到角的取值范圍是(0 ,i80 ).(2)

15、如果兩直線li和J的斜率分別是ki,k2 , li到l2的角為,則 k ktan 2- (kik :-i),當(dāng) kik -i 時(shí)，二 90 .i kik2(3) 夾角的定義：兩條相交直線所成的銳角和直角，叫做這兩條直線所成的角.如k k果兩直線li和l2的斜率分別是ki,k2, li與l2的夾角為，則tan :一一 丄|(kik -i), i + kik2當(dāng) kik2 二-i 時(shí)，=90 .5. 點(diǎn)到直線的距離公式(i)點(diǎn) P(x0,y。)到直線 l : Ax+By+C =0 的距離為 d= 1C 1 .Ya2 +B2特別地：點(diǎn)P( X0, y0)到直線I : x = a的距離是d T X。-

16、 a |;點(diǎn)P(x0, y°)到直線l : y = b的距離是d二| y° -b |.兩條平行直線 11 : Ax +By +G =0, 12 : Ax + By +C2 =0 的距離 d = C1 -C直線的點(diǎn)斜式方程得y-2=-(x-1)或y-2二3(x - 1),整理得3x y -1 = 0或 x 3y -7 =0.例4點(diǎn)P(-2,-1)到直線I :(1 3)x(1 2' )2 5的距離為d，求 d的取值范圍.【解】將方程(13 )x (12 ' )2 變形為x y - 2(3x 2y - 5) = 0 ,所以該直線(不包括3x 2y -50)經(jīng)過兩直

17、線x，y-2 = 0與3x，2y-50的交點(diǎn)M(1,1).因?yàn)?|PM 、(1 2)2 (1 1)2 二 13，又點(diǎn) P(-2,-1)到直線 3x 2y -5 = 0 的距 離是、13,所以0乞d ： . 13.例5設(shè)直線I的方程為(a 1)x y 0( R)，若I不經(jīng)過第二象限，求實(shí) 數(shù)a的取值范圍.【解】將方和變形為x + y+2+a(x-1) =0 ,故知直線過點(diǎn)P(1,-3)但不與x軸垂直, 所以由條件知直線的傾斜角的取值范是 0 ,90 ),其斜率k0,二)，所以- (a T) 一0, a 1例1如果直線l1 : x m2y 12 = 0和|2 : (m _2)x - 3my 4m二

18、0平行，求m的值.【解】由它們的法向量平行，得3m-m2(m-2) =0,解得m=0,-1,3,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng) m =0, -1時(shí)，符合題意.例2若直線ax + 2 y +1 = 0與直線x+(a1)y + a= 0垂直，貝U a =例3已知直線l : x 2y 3 = 0 ,求下列直線的方程.(1) 過點(diǎn)P(2,3)且與直線I平行；(2) 過點(diǎn)M(1,-1)且與直線I垂直；(3) 與 I平行，且與I的距離等于2; 過點(diǎn)N(1,2)且與直線I的夾角為45 .【解】(1)因?yàn)樗笾本€與直線I平行,那么它的方程可設(shè)為x 2y+m = 0,又直線 過點(diǎn)P(2,3).所以2-6 m =0,m =4,所以所

19、求直線的方程為x - 2y 4=0.(2) 因?yàn)樗笾本€與直線I垂直,所以它的方程可設(shè)為2x + y + n=0,又直線過點(diǎn) M(1,-1),所以2 -1 n =0, n = 1，所以所求直線的方程為2x y -1 =0.(3) 因?yàn)樗笾本€與直線I平行,那么它的方程可設(shè)為x -2y C = 0,又直線與I的距離等于2 ,所以|C31=2,所以C=3_2-5,所以所求直線的方程為(4)設(shè)所求直線的斜率為k ,那么tan45 =k 12_11 k2x -2y 3 一2 .5 =0 .1，解得k -或k = 3.將其代入到3八y: xIII<1例6求過點(diǎn)P(-1,2)且與點(diǎn)A(2,3)和B(

20、4,5)的距離 相等的直線的方程【解】方法一(設(shè)參數(shù)法)：當(dāng)直線的傾斜角為90叩寸, 明顯直線x = -1符合條件；當(dāng)直線的傾斜角不為90時(shí)，設(shè)其斜率為k,其點(diǎn)斜式方程為y_2二k(x 1).整理得kxy k 0.所以由條件得：|3k二11二3k二3| lk2+1 Jk2+11解得k二-丄.所以所求直線的方程為x3y-5=0.3綜上,所求直線為x = -1或x3y-5 = 0方法二(結(jié)合圖形位置分析): 直線經(jīng)過AB中點(diǎn),得x 1; 直線與AB中平行,得x，3y-5 = 0.課后練習(xí)二十九1. 如果直線x (1 m) y m2 = 0與2mx 4y 16 = 0平行，則m等于()A.1B. -

21、2C.1 或-2D. -1 或 22. 方程(a-1)x-y2a1 =0所表示的直線()A.恒過點(diǎn)(-2,3)B.恒過點(diǎn)(2,3) C.恒過點(diǎn)(2,3)和(2,3)D.都是平行直線J53. 到直線2x y 0的距離為 二的點(diǎn)的集合是()5A.直線 2x y - 2 = 0B.直線 2x y = 0C.直線2x y - 2 = 0或直線2x y = 0 D.直線2x y0或直線2x y = 04. 點(diǎn)P(x, y)到直線5x -12y13 = 0和直線3x-4y 5 = 0的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)滿足()A. 32x -56y65 =0 或 7x 4y =0B. 7x 4y =0C.x-4y

22、4=0 或 4x-8y 9=0D.x-4y 4 = 05. 若直線x ay - a = 0與直線ax - (2a - 3) y -1 = 0相互垂直，貝U a的值是()A. 2B. -3或 1C. 2或 0D.1 或 06. 已知點(diǎn)A(1,2) , B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程是()A. 4x 2y=5B. x 2y=5C. 4x-2y=5D.x-2y=57. 已知直線 x +ay _a =0與ax _(2a _3)y _1 = 0平行，貝Ua =.8. 等腰三角形兩腰所在直線是 7x-y - 9 = 0和x y - 7 = 0,底邊所在直線過點(diǎn)(3,-8)則底邊所在直線方程為.

23、9. 已知直線 h : y =2x -1, l2: 3x + y -2 = 0,則 l2 到 l1 的角為.10. 經(jīng)過直線3x 2y 0和2x 5y - 7 = 0的交點(diǎn)，且傾斜角為一的直線的方程式是411.一條直線過點(diǎn)P(1,2)且被兩平行直線4x 3y 1 = 0和4x 3y 0截取的線段長 為.2，求這條直線的方程.第三節(jié) 對稱問題和簡單的線性規(guī)劃1. 關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，或關(guān)于特殊的直線成軸對稱問題(見第二章第九節(jié))(1)稱定義,對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的垂直平分線，即有：它們的中點(diǎn)在對稱軸 上；過這兩點(diǎn)的直線的斜率與對稱軸的斜率互為負(fù)倒數(shù).若設(shè)點(diǎn)P(x0, y0)關(guān)于直線= 1 y二k

24、xb的對稱點(diǎn)為P(x ,y ),則有X "Xo.y 卡 yx0 +x"0 = k bI 22一條直線I外的兩點(diǎn)A,B, A點(diǎn)關(guān)于I的對稱軸為A . 如果A, B在直線I的兩側(cè),則I與AB的交點(diǎn)P是I上到 代B距離的和取最小值的點(diǎn)；I與A B的交點(diǎn)Q是I上到A, B距 離的差取最大值的點(diǎn). 如果A, B在直線|的同側(cè)，則|與AB的交點(diǎn)Q是I上到 代B距離的和取最小值的點(diǎn)；I與AB的交點(diǎn)P是I上到A, B距離 的差取最大值的點(diǎn).2. 二元一次不等式 Ax By C 0( Ax By C : 0)表示的 平面區(qū)域.(1) 直線Ax By 0將平面分成兩個(gè)半平面，在其中任一 個(gè)半平

25、面內(nèi)任取一點(diǎn)，將其坐標(biāo)代入到不等式，如果滿足不等式， 則這點(diǎn)所在的半平面為該不等式表示的平面區(qū)域，否則，另一個(gè) 半平面為該不等式所表示的平面區(qū)域.(2) 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的公共部分3. 目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值. 目標(biāo)函數(shù) ax by取最值的確定方法：(1)將方程z =ax by變成y = -?x ?,則-是直線在y軸上的截距，當(dāng)-取最大 b b bb值時(shí)，由直線y二-ax -在y軸上的截距的位置來確定該直線應(yīng)經(jīng)過的可行域內(nèi)的b b占八、 通常情況下，目標(biāo)函數(shù)都是在可行域邊界的頂點(diǎn)處取得最值 ，所以，我們往往可 以通過將可行域邊界上的這些交點(diǎn)的坐標(biāo)代入到目標(biāo)函數(shù)

26、進(jìn)行比較，來確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值.例1求點(diǎn)A(3,9)關(guān)于直線x 3y -10對稱的點(diǎn)A的坐標(biāo).氓=3【解】設(shè)A'的坐標(biāo)為(x；y),那么嬉X：3,解得丿+習(xí)/乜）_10 = 0 2 2例2光線從點(diǎn)A(-3,4)出發(fā),經(jīng)過x軸反射,再經(jīng)過y軸反射,光線經(jīng)點(diǎn)B(-2,6),求 射入y軸后反射線的方程.【分析】設(shè)光線射在X軸上的點(diǎn)D，經(jīng)反射后射到 y軸上的點(diǎn)D.則DB與直線AB 關(guān)于y對稱!x y _ 0例3若x , y滿足約束條件x-y+3啟0,則0蘭x蘭3z =2x _ y的最大值為.八1例4已知實(shí)數(shù)x, y滿足y乞2x-1,如果目標(biāo)函數(shù)x y込mz=x-y的最小值為-1,則實(shí)

27、數(shù)m等于A. 7B. 5C. 4()D.3y A x 1例5在坐標(biāo)平面上，不等式組y 一所表示的平面區(qū)域的面積為y 蘭 一31 x| +1D. 2A.2 B.2"x + y 蘭 6x v 蘭 2例6已知變量x,y滿足條件，若目標(biāo)函數(shù)z二axy(a 0)僅在(4,2)處取x蘭0y -0得最大值，則a的取值范圍是.課后練習(xí)三十1. 直線2x - y 3 =0關(guān)于直線y = x 2對稱的直線的方程是A. x-2y 3=0 B. x-2y-3=0C. x 2y 3 = 02. 以點(diǎn)A(1,-1)為對稱中心，直線2x 3y-6 =0關(guān)于A對稱的直線方程是A. 3x - 2 y 2 = 0 B.

28、 2x 3y 7 = 03. 下列方程的曲線關(guān)于直線y=x對稱的是2 2A. x -x y 1 B. x(D.x 2y-3 = 0(4.設(shè)變量x, y滿足約束條件A. 2C. 3x-2y-12=0 D.2x 3y 8 = 0(=122ay xy 1<xx y _ 2 ,則目標(biāo)函數(shù)z = 2x y的最小值為y _ 3x - 62 2D. x - yB. 3x -4y 3 _0C. 4D.95.如果實(shí)數(shù)x, y滿足<3x +5y -25蘭0 ,目標(biāo)函數(shù)z = kx + y的最大值為12,最小值為3,x _1那么實(shí)數(shù)k的值為A. 2B. -26.如果實(shí)數(shù)x, y滿足2x y *5=0,那

29、么.x2y2的最小值是C. 4D.9A. 5B. .10C. 2 5D. 2,107. 滿足條件|x-1| |y -12的點(diǎn)(x,y)組成的圖形的面積是A.8B. 4C. 28. 不等式(x -2y 1)(x，y-3)：0表示的平面區(qū)域是圖中的A.B.D.1O 39.光線從點(diǎn)M (-2,3)射到x軸上 是.()點(diǎn)P(1,0)后被x軸反射，則反射光線所在直線的方程110.與曲線y關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線的方程為x 12x八°,則2小的最大值是I _3y十5王011.已知丿12.已知變量x,y滿足條件2 _ <cX0,則心的取值范圍是、y2_3y + 2 蘭0 x_2第四節(jié)圓的方程1.

30、圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為C(a,b)半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x -a)2 (y -b)2 =r2.特殊地：圓心在 圓點(diǎn),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2 yr2.3. 圓的一般方程 二次方程x2 y2 Dx Ey F =0(D2 E2 -4f 0)叫做圓的一般方程.其中 圓圓心為(-D,-旦)，半徑是r = D E - 4F .2 2 2二元二次方程Ax2 By2 Cxy Dx Ey 0表示圓的充要條件是| A = B =1< C = 02 2D +E 4F >04. 圓的參數(shù)方程x = a + r cos 日圓(x-a)2 +(y-

31、b)2 = r2的參數(shù)方程是丿(B是參數(shù)).特殊地，圓心在= b + r si n 日x = r cos9原點(diǎn),半徑是r的圓的參數(shù)方程是 嚴(yán)rCOS (日是參數(shù))y = r si n 日5. 圓的切線(1)過圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程的一般方法是： 經(jīng)證X =x°是否與圓相切，如果相切，則得出圓的一條切線； 由于過圓外一點(diǎn)有兩條直線和圓相切，因此傾斜角不為90的切線可設(shè)其斜率 為k ,寫出該直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng) - y° = k(x - X0),再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為該圓的半 徑r建立方程k(a二X0)_y°二b Lr,解出k,從而求出切線的方程.W +1

32、過圓x2 y2 Dx Ey F = 0上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線的方程是Xox y°y鏡 E(y° y) F =0.過圓(x _a)2 (y _b)2 =r2 上一點(diǎn) P(xo,yo)2 2的切線的方程是(x0 -a)(x -a) (y0 -b)(y -b)二r2 .特殊地：過圓x2 y2二r2上一點(diǎn)P(xo, yo)的切線的方程是x°x y°y = r2.6. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn) P(x0, y0)和圓(x -a)2 - (y -b)2 = r2. (x0 -a)2 - (y0 -b)2 r P(x0,y°)在圓外； (x°

33、 -a)2 (y。-b)2 二r2= P(x°,y0)在圓上； (x° -a)2 (y° -b)2 ： r2 二 P(x°,y。)在圓內(nèi).7. 直線與圓的位置關(guān)系(1) 如果直線I與圓(xa)2 (yb)2二r2的距離為d . d 直線I與圓相離； d =0=直線I與圓相切； d 0直線I與圓相交.(2) 直線被圓截得的弦長公式： 如果將直線方程y = kx b代入到圓的方程并化簡，得關(guān)于x的一圓二次方程22(1 k2)=ax bx0 ,其別判式厶=b -4ac.則弦長| AB | ，.|a| 如果圓心到直線的距離(弦心距)為d ,則弦長| AB卜2、r

34、2 - d2 .8. 圓與圓的位置關(guān)系如果兩圓的半徑分別是r,和r2,且r.Q；兩圓的圓心距為d .(1) d r.* d二兩圓相離；d二r,a =兩圓外切； r. -r2 : d : r.q 二 兩圓相交；d = r. -心:=兩圓內(nèi)切；d :ri- a二兩圓內(nèi)含;例1圓心為（1,2）且與直線5x 12y 7 =0相切的圓的方程是 .例2圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0, 4）, （0,2）,則圓C的 方程為.例3若直線ax by = 1與圓x2 y2 = 1相交，則點(diǎn)佝b）的位置為（）A.在圓內(nèi)B.在圓外C.在圓上D.不能確定例4如果直線.3xy 5=0與圓x2 y22x-2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于（）A. 3 或 -.3 B.3、3 或-、3C. 3 或-3.3D.3.3 或-3、3例5圓x