高數(shù)曲線積分與曲面積分總結(jié)

1、（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系第十一章：小結(jié)第十一章：小結(jié)（三）各種積分的計(jì)算方法（三）各種積分的計(jì)算方法（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分第一型曲面積分第一型曲面積分（對(duì)面積）（對(duì)面積）第二型曲面積分第二型曲面積分（對(duì)坐標(biāo)）（對(duì)坐標(biāo)）第一型曲線積分第一型曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)）（對(duì)弧長(zhǎng)）第二型曲線積分第二型曲線積分（對(duì)坐標(biāo)（對(duì)坐標(biāo))定義定義計(jì)算計(jì)算定義定義計(jì)算計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系 曲曲 線線 積積 分分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定定義義 niiiil

2、sfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 聯(lián)聯(lián)系系dsqpqdypdxll)coscos( 計(jì)計(jì)算算 dtyxtytxfdsyxfttl22)(),(),(三個(gè)代換)( dtytytxqxtytxpqdypdxttl)(),()(),(二代一定 (與方向有關(guān))與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域d上上),(),(yxqyxp具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . lqdypdxd與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1(qdyp

3、dxduyxud 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xqypd ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題 曲曲 面面 積積 分分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 rdxdyqdzdxpdydz計(jì)計(jì) 算算一投,二代,三換(與側(cè)無(wú)關(guān))一投,二代,三定號(hào) (與側(cè)有關(guān)) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,（二）（二）各種

4、積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算green公式公式stokes公式公式guass公式公式點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù))(,)(lim)(10mfmfdmfnii .)()(,1 badxxfdmfbar時(shí)時(shí)上區(qū)間上區(qū)間當(dāng)當(dāng).),()(,2 ddyxfdmfdr 時(shí)時(shí)上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng)積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分 dvzyxfdmfr),()(,3時(shí)時(shí)上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdmfr時(shí)時(shí)上空間曲線上空間曲線當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdmfr時(shí)時(shí)上曲面上曲面當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分曲

5、線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 ldsyxfdmflr時(shí)時(shí)上平面曲線上平面曲線當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分計(jì)算上的聯(lián)系計(jì)算上的聯(lián)系)( ,d),(d),()()(21面元素面元素 dyyxfxdyxfbaxyxyd )( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdx

6、pdydz)coscoscos( dsqpqdypdxll)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(dd,dd,dd(曲曲面面元元素素投投影影平平面面元元素素yxxzzy., ,xyzxyzdddxoyxozyoz面面投投影影，得得區(qū)區(qū)域域向向把把曲曲面面.),(),(),(dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp zxxyyzddddxdyyxzyxrdzdxzxzyxqdydzzyzyxp),(,),(,),(理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與

7、曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式（三）二型（三）二型積分計(jì)算積分計(jì)算,),(,),(),(,),(),(blalyxmttytxllyxqyxp運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為

8、的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) 參數(shù)法：參數(shù)法： ( , )( , ) ( ),( )( ) ( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqtttdt 1.1.二型二型曲線積分計(jì)算曲線積分計(jì)算格林公式：格林公式：題等價(jià)：題等價(jià)：內(nèi)連續(xù)，則下述四個(gè)命內(nèi)連續(xù)，則下述四個(gè)命一階偏導(dǎo)數(shù)在一階偏導(dǎo)數(shù)在及其及其是平面單連通區(qū)域，是平面單連通區(qū)域，設(shè)設(shè)定理定理dyxqyxpd),(),(2.),(,)4(dyxypxq ;),(,),(3dyxqdypdxduyxu 使得使得存在二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)存在二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)）（內(nèi)與積分路徑無(wú)關(guān)；內(nèi)與積分路徑無(wú)關(guān)；在在d

9、qdypdxl )2(; 0,1 lqdypdxld內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉路路徑徑對(duì)對(duì)）（積分與路徑無(wú)關(guān)：積分與路徑無(wú)關(guān)：定理定理 設(shè)設(shè) 為分段光滑的空間有向閉曲線為分段光滑的空間有向閉曲線, , 是以是以 為邊界的分片光滑的有向曲面為邊界的分片光滑的有向曲面, , 的正向與的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則的側(cè)符合右手規(guī)則, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxp, ,),(zyxq, , ),(zyxr在包含曲面在包含曲面 在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx ：

10、 ),(yxfz xydxyzon.,., ,重積分重積分化為三個(gè)坐標(biāo)面上的二化為三個(gè)坐標(biāo)面上的二進(jìn)行三個(gè)代換進(jìn)行三個(gè)代換面投影，得區(qū)域面投影，得區(qū)域向向把曲面把曲面xyzxyzdddxoyxozyoz2.2.二型二型曲線積分計(jì)算曲線積分計(jì)算投影法投影法dszyxr cos),( xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),( ,1 ,yxzzn ,0cos 取取上上側(cè)側(cè)，若若公公式式得得由由第第一一類類曲曲面面積積分分計(jì)計(jì)算算 dxdyzyxr),( 積積分分進(jìn)進(jìn)行行三三個(gè)個(gè)代代換換化化為為二二重重注：注：“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”xydxoy )1(面面投投影影

11、，得得區(qū)區(qū)域域向向把把曲曲面面.),()2(代代入入被被積積函函數(shù)數(shù)的的方方程程把把曲曲面面yxfz .)3(符符號(hào)號(hào)取取正正號(hào)號(hào)dxdyzzdszzyxyx22221 ,11cos , 0cos, 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(則則有有給給出出由由如如果果,),(.2zyxx yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(則則有有給給出出由由如如果果,),(. 3xzyy zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意:(1):(1)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .注：

12、注：“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”xydxoy 面面投投影影，得得區(qū)區(qū)域域向向把把曲曲面面yzdyoz 面面投投影影，得得區(qū)區(qū)域域向向把把曲曲面面xzdxoz 面投影，得區(qū)域面投影，得區(qū)域向向把曲面把曲面(2)若投影域面積是零，則積分值是零。若投影域面積是零，則積分值是零。 . 0,pdxdyz則則軸軸的的柱柱面面是是母母線線平平行行于于若若).10 ,0,0( ,1:);10( ,1:,)1(2221 zyxyxzyxdxdyyxi例例如如積積分分.0,021 xyzo n1 2 .cos,cos,cosdsdxdydsdzdxdsdydz xyodszdsdydzcos dsdxdycos ( , , )( , , )( , , ).p x y z dydzq x y z dzdxr x y z dxdy dsdxdz cos .cos,coscos,cosdsdxdydsdzdxdsdydz ),(yxzz 方程：方程：設(shè)曲面設(shè)曲面 yxzyxryxzyxqyxzyxpdd),(ddcoscos),(ddcoscos),( ( (三合一投影法）三合一投影法）( , , )d d( , , )d d( , , )d dxyp x y z zx