養(yǎng)魚問題數(shù)學(xué)模型向上文苑

1、楚雄師范學(xué)院2011年數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)第一次測試論文題 目 ：養(yǎng)魚問題的數(shù)學(xué)模型 姓 名 ： 系（院） ： 數(shù) 學(xué) 系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2011年 5月8日養(yǎng)魚問題的數(shù)學(xué)模型摘 要：本文是根據(jù)原有的合理條件假設(shè)之下，結(jié)合我們現(xiàn)實生活中的實際問題，忽略部分次要因素，建立解決養(yǎng)魚方案的優(yōu)化模型問題。筆者從幾個簡單的側(cè)邊具體描述和合理設(shè)計了三個基本的養(yǎng)育優(yōu)化模型，都從不同方面反映了養(yǎng)魚優(yōu)化模型問題。由于養(yǎng)魚問題的復(fù)雜性、多變性、多樣性，我們不得不忽略了部分養(yǎng)魚的因素，并應(yīng)用最優(yōu)化、線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃模型給予以解決我們的養(yǎng)魚最優(yōu)化問題。關(guān)鍵詞：養(yǎng)魚模型、最優(yōu)化、動態(tài)規(guī)劃、線性規(guī)劃、最大利潤一、問

2、題重述設(shè)某地有一池塘，其水面面積約為100×100，用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設(shè)下，設(shè)計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。 魚的存活空間為1kg /； 每1kg魚每天需要的飼料為0.05kg，市場上魚飼料的價格為0.2元/kg； 魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚； 魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長為成魚，成魚的重量為2kg；池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略；若q為魚重，則此種魚的售價為：該池內(nèi)只能投放魚苗。二、問題分析本題主要是設(shè)計一個可以獲得最佳的養(yǎng)魚方案，我們知道魚塘的面積，魚的存活空間，不考慮魚的繁殖與死亡，每1kg魚每天需要的飼料以及魚長成成魚

3、的時間以及不同質(zhì)量魚的價格，將魚的價位與魚的“培養(yǎng)”時間聯(lián)系起來，構(gòu)建一個價格體系，繪制魚的增長曲線圖（圖1），分析魚的價值取向來考慮和設(shè)計一個最佳的養(yǎng)魚方案。但由于養(yǎng)魚問題的復(fù)雜性，我們忽略了部分影響?zhàn)B魚的因素，并應(yīng)用線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃模型予以解決我們的養(yǎng)魚問題。三、模型假設(shè)1、該池內(nèi)只能投放魚苗。而且不考慮魚的繁殖與死亡；2、魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長為成魚，成魚的重量為2kg；3、魚的存活空間為1kg /；每1kg魚每天需要的飼料為0.05kg，市場上魚飼料的價格為0.2元/kg；魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚4、假設(shè)魚在生長過程中沒有出現(xiàn)

4、過變異，每條魚的生長都服從生長系數(shù)。5、假設(shè)我們在捕魚的過程中，魚都是新鮮的，可以買到題目所給的價格。6、假設(shè)每天捕的魚都能夠正常賣出，沒有魚殘留下來。7、放養(yǎng)魚苗和捕魚在一年四季都能進行，不受時間、季節(jié)的限制。8、放入的魚苗不受個體差異的影響，都能按照題目所給的條件生長，同時放入的魚苗在相同的時間內(nèi)能長到同樣大。9、市場上魚的售價和飼料的售價在三年之內(nèi)沒有發(fā)生變化。四、符號說明以下為文本中使用的符號： （1） ：最初放入的魚的數(shù)量。（2） ：魚每天增重的比例。（3） ：每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量。（4） ：每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下需要的飼料費用。（5）m ：三年的收益總額。（6） ：每條

5、魚在養(yǎng)殖t天時平均每天產(chǎn)生的利潤。（7）a ：每天放入的魚苗數(shù)目。（8） ：每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量。五、模型構(gòu)成與求解模型一（基本養(yǎng)殖模型） 假設(shè)將魚苗一次性放入魚塘，等到年終長成成魚是一次性賣出，第二年、第三年都分別按照第一年的方案。 根據(jù)魚塘的容量，等到魚長成成魚時的質(zhì)量為2kg，每條魚的存活空間為1 kg/,則我們設(shè)最初放入的魚的數(shù)量為，=10000/2=500(條) .（1）設(shè)魚每天增重的比例為，則1000/500=2000 (2)化簡可以得到 = （3）用matlab計算（1）可以求出=0.0191.(4)設(shè)養(yǎng)殖t天的條件下每條魚的重量為，則=1/500 . (5)設(shè)每條魚在

6、養(yǎng)殖t天的條件下需要的飼料費用為= (6)設(shè)三年的收益總額為m，則m=105000 .（7）通過計算可以得出最大利潤為： m= .（8）故在這個模型的狀態(tài)和條件下養(yǎng)魚，三年可以獲得的收益為189678元。模型二（利潤規(guī)劃模型）由模型一我們知道，=0.0191 每條魚在養(yǎng)殖t天的條件下的重量為我的們可以將其價位與魚“培養(yǎng)”時間聯(lián)系起來。q= (9)代入（5）式=輸入數(shù)據(jù)求解（2），我們可以得到表1：魚的重量和養(yǎng)殖時間的關(guān)系表魚的重量q (kg)0.20.751.52養(yǎng)殖時間t （天）243313349365飼料款（元）0.6292.33794.71456.3835我們?yōu)榱烁玫挠^察魚的重量和養(yǎng)殖

7、時間的關(guān)系，用matlab繪制圖表（3）已知魚的售價，故可知養(yǎng)殖t天的每條魚平均每天產(chǎn)生的利潤率為=（-） （10）由題目的各種已知條件和約束條件，我們只需要求（11）通過對約束條件用matlab求解（1），我們可以得到=0.0065，其對應(yīng)的天數(shù)為365天。故把魚養(yǎng)到365天2 kg時出售的每條魚平均每天產(chǎn)生的利潤最高，所以應(yīng)將每條魚全養(yǎng)到2 kg。故每條魚的利潤為= .（11）計算可得：每條魚的平均利潤為13.6165元如果年前把5000條魚養(yǎng)進池塘，年終把魚收獲，可以獲得的收益為：13.6165元模型三（分配養(yǎng)魚模型） 在模型二中，我們可以從另外一個角度考慮問題，我們知道已知池塘的面積為

8、（平方米）且每平方米容納1公斤魚，魚可以四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，所以，應(yīng)在盡可能長的時間里保持池塘內(nèi)有盡可能多的魚（保持總重略小于10000公斤），且最后一天應(yīng)將所有魚盡可能撈出，故每天投入與撈取的尾數(shù)應(yīng)相同，且在最后365天中不再增加魚苗，保持魚塘內(nèi)有同一批5000條魚苗。那么，第365天時出第一批魚，且此時池塘應(yīng)趨于飽和，最后一天出5000條，合10000kg成魚。設(shè)前期每天投入條魚苗，則第365天時有 . （12）結(jié)果計算 可得，每天放的條數(shù)為=94我們可以根據(jù)動態(tài)規(guī)劃模型，設(shè)計三年養(yǎng)殖具體方案及利潤如下：表2 養(yǎng)魚問題的動態(tài)規(guī)劃模型時間安排具體實施方案day366da

9、y735每天投入魚苗94尾，喂食，取2kg成魚94尾day736投魚苗5000尾，喂食，取2kg成魚94尾day737day1094每天喂食，取2kg成魚94尾day1095取2kg成魚5000尾根據(jù)共得到2kg成魚73620尾，合147240kg，毛利1472400.00元。由求和不難得到三年總的飼料價格：469953.27元，故最大凈利潤為1002446.73元！六、模型評價本文是根據(jù)原有的條件假設(shè)之下，結(jié)合現(xiàn)實生活中的實際情況，忽略部分次要因素，建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學(xué)模型。模型一種講的是計算出一一整年魚塘中可以養(yǎng)的魚的數(shù)量，計算出魚長成成魚后的利潤；這個模型是最基本得模型。但在現(xiàn)實生活中

10、不可取，因為在魚1到242天以及243到313之間還存在一些空間，這樣會有很大的浪費。模型二是根據(jù)題目所給的價位表，我們將其價位與魚的“培養(yǎng)”時間聯(lián)系起來，構(gòu)建一個價格體系，繪制魚的增長曲線圖（圖一），分析魚的價值取向，最終養(yǎng)殖t天的每條魚平均每天產(chǎn)生的利潤率，確定獲得最大利潤時魚的質(zhì)量以及魚的平均利潤，將魚的平均利潤和魚的數(shù)量 簡單相乘得到一個三年的收益額。而模型三是在模型二的基礎(chǔ)上，確定每天向魚塘里放一定的魚苗，根據(jù)約束條件，計算出最大放入池塘魚的數(shù)量，將其應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃模型，確定一個養(yǎng)魚方案，獲得最大的利潤。360天似乎還有空間，即可以初期多放一些魚苗，在240天359天的區(qū)間，即0.22.0 k