時間序列的指數(shù)平滑預測法

1、3.2時間序列的指數(shù)平滑預測法指數(shù)平滑法(Expinential smoothing method)的思想也是對時間序列進行修勻以消除不規(guī)則和隨機的擾動。該方法是建立在如下基礎上的加權平均法：即認為時間序列中的近期數(shù)據對未來值的影響比早期數(shù)據對未來值得影響更大。于是通過對時間序列的數(shù)據進行加權處理，越是近期的數(shù)據，其權數(shù)越大；反之，權數(shù)就越小。這樣就將數(shù)據修勻了，并反映出 時間序列中對預測時點值的影響程度。根據修勻的要求，可以有一次、二次甚至三次指數(shù)平滑。3.3.1 一次指數(shù)平滑法1 一次指數(shù)平滑法的計算公式及平滑系數(shù)a的討論設時間序列為X-X2X3,，Xn，次指數(shù)平滑數(shù)列的遞推公式為：廠 1

2、1St=axt + (1 a)S丄 0<ac1,1 蘭t 蘭 N1(3-6 )S0 = X1,式中，S；表示第t時點的一次指數(shù)平滑值，a稱為平滑系數(shù)。遞推公式(3-6 )中，初始值S0常用時間序列的首項 x1 (適用于歷史數(shù)據個數(shù)較多，如 50個歷史數(shù)據及以上)，如 果歷史數(shù)據個數(shù)較少，如在 15或20個數(shù)據及以下時，可以選用最初幾期歷 -史數(shù)據的平均 值作為初始值s0，這些選擇都有一定的經驗性和主觀性。下面討論平滑系數(shù) a。將遞推公式(3-6)展開可得：S1 = axt (1-a)S；=axt (1-a)axtj 仆-玄疋胃丨2 1= axt a(1 a)xt(1 a) St<二

3、二 axt a(1 - a)xt 4 a(1 - a)2xt< 川川 a(1 - a)t'x1 (1 - aS；容易看出，由于0 : a <1 , xi的系數(shù)a(1 - a)i隨著i的增加而遞減。注意到這些系數(shù)之和為1,即:-i jt1-(1-a)t、a(1-a)2(a) =a(1-=1id1 - (1 - a)1于是，遞推公式(3-6 )中的St就是樣本值X1,X2/ ,Xt的一個加權平均。當用遞推公式(3-6 )來進行預測時，我們將用S1作為第t 1時點的預測值。從上面的討論可以看到，離預測時點t 1最近的時點t的值xt，其權為a，最大，其次為Xt j的權a(1 - a

4、),，花的 權最小?？梢?，公式(3-6 )是在認為新近數(shù)據對未來影響大，遠期數(shù)據對未來影響小的情況下 對原時間序列的加權平均(修勻)。若平滑系數(shù)a =0，此時有S； = &斗= S0(= x1)，這表明確定s0(=xj后，每個時點的平滑值皆等于 S0，此時，每個時點i的觀察值人不起任何作用。若平滑系數(shù)a =1，此時有S1 =xt。說明平滑后數(shù)列 S1就是原時間序列，即沒有對原 時間序列進行任何處理和修勻。對于平滑系數(shù)a來說，除了上述兩種極端情況外，不可能出現(xiàn)Xi與Xj （i = j）系數(shù)相等的情況。綜上所述，不難看到，0 ： a :：: 1且比較接近1時，計算得到的一次指數(shù)平滑值對原歷

5、史數(shù)據的修勻程度將較小，平滑后的數(shù)列值S1能夠比較快地反映出原時間序列的實際變化， 因此，對于變化較大或趨勢性較強的時間序列適合選擇比較靠近1的數(shù)據作為平滑系數(shù)，比如取 a 0.95,0.90 等。若0 ：a ：1且取值比較靠近 0時，計算得到的一次指數(shù)平滑值對原歷史數(shù)據的修勻程 度將較大，平滑后的數(shù)列對原時間序列的變化反應較遲鈍。因此，對于變化較小的、或接近平穩(wěn)的時間序列，應選擇比較靠近0的平滑系數(shù)使得平滑過程中的各數(shù)據的權數(shù)比較接近。【例3-7】某電器銷售企業(yè)1992-2003年某種電器銷售額（萬元）及其一次指數(shù)平滑數(shù) 列計算列表如表3-2所示。表3-2一次指數(shù)平滑值計算表（單位：萬元）年

6、份19919931994199519961997199819992000200120022003銷售額2505247514948514048515159a= 0.25150.851.050.250.350.149.649.947.947.948.549.04380845676a= 0.55150.551.249.150.049.548.749.844.946.448.749.805374795847a-0.85150.251.647.950.349.248.250.442.046.850.150.804398659263本例中選擇第一、第二期的歷史數(shù)據平均值作為次指數(shù)平滑的初始值S0。從表3-

7、2中可以看到，原時間序列變動較大，稍具周期性。若想指數(shù)平滑后數(shù)列敏感地反映出最新的 一些觀察值的變動，則應取較大的平滑系數(shù)a，如a =0.8。若想消除其周期性變動，施加較大程度的修勻，以反映其長期趨勢，則可取較小的a，如a =0.2。2.檢驗及預測一次指數(shù)平滑法適用于對變化比較平穩(wěn)的時間序列作短期的預測。第t 1時點的預測值yt 1等于按遞推公式（3-6 ）計算的第t時點的一次指數(shù)平滑值 S1，即：二 S；（3-7）類似于移動平均法，同一個問題隨著平滑系數(shù)的不同可以有若干個一次指數(shù)平滑預測值。因此，應該在一個合適的評價標準基礎上選擇一個合理的平滑系數(shù)a。其方法是：首先計算與在原則上合理的多個平

8、滑系數(shù) a相對應的平滑數(shù)列，然后分別計算其均方差MSE（見公式（3-7 ）或計算其平均絕對誤差MAD （見公式（3-8 ）,以MSE或MAD最小者對應的平滑系數(shù)及其預測值為最合理的。1 NMAD =£ e，而 ©=為Si=Xtyt（3-8）N y一1 1公式（3-8 ）中的e = x - s丄工Xt - yt反映了各個時點的平滑值 StJ與實際值xt之間的誤差。根據公式（3-2），計算誤差數(shù)列et的自相關系數(shù)rt，若統(tǒng)計量mQ =（N -1） ' ：13則說明誤差數(shù)列具有隨機性，可以認為此時的預測是有效的（可以利用前面的Matlab程序funcoef.m 判斷）。一

9、次指數(shù)平滑法的計算、檢驗及預測的Matlab程序如下（文件名fun esm1.m）?！纠?-8】某商品2004年各月的銷售量Xt如表3-3所示，試預測2005年1月的銷售量。利用funesm1.m計算的部分結果如下，其他部分數(shù)據如表3-3所示。程序中令S0二 = 423，取 L0 =0.10，=0.05，L 0.95，m =7， : -0.05，對應的誤差值 Q，也列于表 3-3 中。表3-3歷史數(shù)據、一次指數(shù)平滑值及誤差值月0123456789101112序號t0123456789101112Xt42Q358434445527429426502480385427446S1 （=0.1）423

10、42416.418.420.431.431.430.437.442.436.435.436.3358953891455et（： =0.1）0-6517.526.7106.-2.5-5.371.242.1-57.-9.410.5111St -0.2）4242410414.420.442439.436.449.455.441.438.420.33884788672q（ =0.2）0-652430.2106.-13-13.65.330.2-70.-14.7.324861St （： =0.3）4242403.412.422.453.446.440.458.465.441.436.439.3357484

11、382198q （: =0.3）0-6530.532.3104.-24.-20.61.721.2-80.-14.9.168421這就是說，取平滑系數(shù):=0.10是合適的，此時預測值為2005年1月的銷售量將是y =436.4976。fun esm1.m%廠次指數(shù)平滑預測，文件名為fun esm1.m%輸入時間序列想，平滑系數(shù)初值L0,步長L1,終值L2%俞入判斷誤差是否為隨機誤差時需要計算的自相關系數(shù)個數(shù)m,顯著性水平alphafun ctio n ESM1=fu nesm1（x ,L 0,L1,L2,m,alpha）s=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);e

12、=zeros(1,le ngth(x);MAD=zeros(1,rou nd(L2-L0)/L1);k=0;for a=L0:L1:L2k=k+1s(k,1)=x(1);for i=2:le ngth(x)s(k,i)=a*x(i)+(1-a)*s(k,i-1);e(i)=x(i)-s(k,i-1);ends(k,:),efun coef(e,m,alpha);MAD(k)=mea n( abs(e);enddisp ('The smallest MAD and the corresp onding a and forecast')MAD,MAD,k=mi n( MAD);a=

13、L0+L1*(k-1),y=s(k,le ngth(x)end利用上述程序計算得到的一次指數(shù)平滑預測值是在多個平滑系數(shù)(可自己確定)中計算、比較得到的。3.3.2二次指數(shù)平滑法對于呈現(xiàn)出線性趨勢的時間序列，在一次指數(shù)平滑數(shù)列的基礎上用同一個平滑系數(shù)a再進行一次指數(shù)平滑，就是二次指數(shù)平滑。構成二次指數(shù)平滑數(shù)列S2的遞推公式如下：令初始值S： = S1 =花（也可取其他值作為初始值），則有:f 11(3-9)St1 =axt +(1 a)SlS1-a)St2_j二次指數(shù)平滑的目的是對原時間序列進行兩次修勻，使得其不規(guī)則變動或周期變動盡量消除掉，讓時間序列的長期趨勢性更能顯示出來。對于平滑系數(shù)，同樣

14、有一個合理選區(qū)的問題。其方法與一次指數(shù)平滑法一樣，先選取原則上較合理的多個 a值分別計算，得到不同的1 2數(shù)列St和S ,再根據均方差 MSE或MAD最小原則確定較為合理的 a值，并得到相應的二次指數(shù)平滑值。由于二次指數(shù)平滑的目的， 二次指數(shù)平滑法較適用于具有線性趨勢的時間序列，線性趨勢預測模型為：ytT =atbt T(3-10)上式中，T表示自T時點起向前預測的時點數(shù)；at，bt滿足:at =S；（S1-S2）=2S；-St2，bt（S；-S2）（3-11）1 -a預測模型的有效性檢驗方法與一次指數(shù)平滑法一樣。即通過自相關系數(shù)或2檢驗方法進行檢驗。利用二次指數(shù)平滑法預測具有線性趨勢性的時間

15、序列的基本步驟為：1.根據歷史數(shù)據(時間序列)X按照公式(3-6 )計算一次指數(shù)平滑值；2 根據公式(3-9 )計算二次指數(shù)平滑值；3.由公式(3-11 )計算at ,bt,并由(3-10 )計算自t時點起先前T時期的預測值 y t。 據此，編寫的 Matlab程序如下(文件名 funesm2.m)。其中，程序中的 s1 , s2分別表示一 次、二次指數(shù)平滑值，a2,b2表示相對于每個平滑系數(shù)的 at,bt (公式(3-11 ), y表示線性趨勢的預測值。平滑系數(shù)從L2 (步長L1 ),然后，從眾多平滑系數(shù)計算的結果中挑選最小的MAD所對應的平滑系數(shù)并最后得到預測值，自t時點起先前的時期數(shù)T由

16、預測值確定并輸入。fun esm2.m9二次指數(shù)平滑，線性趨勢預測模型%俞入時間序列x，平滑系數(shù)初值L0,步長L1,終值L2%俞入判斷誤差是否為隨機誤差時必須計算的自相關系數(shù)個數(shù)m,顯著性水平alphafun ctio n ESM2=fu nesm2(x ,L 0,L1,L2,m,alpha)T=i nput('T=')s1=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);s2=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);a2=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);b2=zeros(rou nd(L

17、2-L0)/L1),le ngth(x);y=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x)+T);e2=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);MAD2=zeros(1,rou nd(L2-L0)/L1);k=0;for a=L0:L1:L2k=k+1;s1(k,1)=x(1);s2(k,1)=x(1);for i=2:le ngth(x)s1(k,i)=a*x(i)+(1-a)*s1(k,i-1);s2(k,i)=a*s1(k,i)+(1-a)*s2(k,i-1);a2(k,i)=2*s1(k,i)-s2(k,i);b2(k,i)=(s1

18、(k,i)-s2(k,i)*(a/(1-a);y(k,i+T)=a2(k,i)+b2(k,i)*T;if i+T<=le ngth(x)e2(k,i+T)=x(i+T)-y(k,i+T);endend's1:',s1(k,:),'s2:',s2(k,:),'a2:',a2(k,:),'b2:',b2(k,:),'y:',y(k,:),'e2:',e2(k,:),fun coef(e2(k,:),m,alpha);MAD2(k)=mea n( abs(e2(k,:);endMAD2;MAD2,k

19、=mi n(MAD2);a=L0+L1*(k-1),y(k,le ngth(x)+T)end【例3-9】某市1990-1999年工業(yè)產值為xt(t二1,2/ ,12)，如表(3-4 )所示，由于原 時間序列大體上呈現(xiàn)增長的趨勢，取平滑系數(shù)a =0.9利用二次指數(shù)平滑法計算的結果如表(包括at,bt值以及誤差值et)3-4所示。表3-4中的at,bt值按公式(3-11)計算。于是2000年的預測值為：= 13.700.51 6 =16.76y =13.70 0.51 1 =14.21。而2005年的預測值為：y表3-4年19919911992份0t 012310.10.711.2xt11 10.

20、10.10.611.1S1t 11442 10.10.10.511.0S2 119910.611.2at900.490.50bt11.7012.101993199419951996456711.712.112.312.211.6412.0512.2812.2111.5912.012.2512.21歷史數(shù)據、二次指數(shù)平滑值及誤差值ytet0.5011.111.7080.02-0.0020.420.24-0.04012.2012.5212.54-0.10-0.22-0/34103按照表3-4中的誤差值et容易看到，對所有的rt都有rk <1997199819992000891012.613.

21、213.712.513.113.646412.513.013.563812.613.213.70000.310.550.5112.112.913.7514.27110.430.29-0.044661.96 _ 80.69。說明誤差數(shù)列12.3012.20具有隨機性(利用2檢驗法也一樣)，預測有效。利用Matlab程序funesm2.m計算結果如下：>> x=10.1,10.7,11.2,11.7,12.1,12.3,12.2,12.6,13.2,13.7;>> fun esm2(x,0.90,0.05,0.90,4,0.05)T=1ans =s1:ans =Column

22、s 1 through 710.1000 10.6400 11.1440 11.6444 12.0544 12.2754 12.2075Columns 8 through 1012.5608 13.1361 13.6436ans =s2:ans =Columns 1 through 710.1000 10.5860 11.0882 11.5888 12.0079 12.2487 12.2117Columns 8 through 1012.5258 13.0751 13.5868ans =a2:ans =Columns 1 through 70 10.6940 11.1998 11.7000 1

23、2.1010 12.3022 12.2034Columns 8 through 1012.5957 13.1971 13.7005ans =b2:ans =Columns 1 through 70 0.4860 0.5022 0.5006 0.4191 0.2408 -0.0370Columns 8 through 100.3142 0.5492 0.5117ans =y:ans =Columns 1 through 70 0 11.1800 11.7020 12.2006 12.5201 12.5430Columns 8 through 1112.1664 12.9099 13.7463 1

24、4.2122ans =e2:ans =Columns 1 through 70 0 0.0200 -0.0020 -0.1006 -0.2201 -0.3430Columns 8 through 100.4336 0.2901 -0.0463These data are stochastica = 0.9000ans = 14.2122333布朗(Brown)非線性指數(shù)平滑法當時間序列呈現(xiàn)非線性趨勢時，可以采用布朗(Brown)非線性指數(shù)平滑法進行預測。其基本原理是在一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑數(shù)列的基礎山，再進行一次指數(shù)平滑，即三次指數(shù)平滑，然后，以此對非線性模型(這里就是二次曲線模型)的參數(shù)

25、進行估計，從而達到對非線性時間序列進行預測的目的。設時間序列為為公2,，xN，那么，第t時點的三次指 數(shù)平滑數(shù)列S3(t =1,2, N)按如下遞推公式計算:S； =axt + (1 -a)S；“ S2 =aS +(1 -a)SL( 3-12)§3 =aS2 +(1-a)s2般來說，取初始值 So = So = S03 = X1，且取同一個平滑系數(shù)a。根據選定的較合理的平滑系數(shù)a值的計算結果sU和S3，按下式(3-13)計算系數(shù)。123at =3S： 3S： +S：«bt =a一2 (6 _5a)S； -(10_8a)S； +(4_3a)St3(3-13)2(1-a)2Cf

26、a、2(S： - 2St2+St3) l 2(1-a)合理的平滑系數(shù) a選定與前面的方法相同。即按均方差MSE或平均絕對誤差 MAD最小所對應的平滑系數(shù)為原則。用T表示自t時點起向前預測的時點期數(shù)，則此時的(布朗)二次拋物線型預測模型為：yt T = atbt TctT2(3-14 )預測模型的有效性檢驗方法同前。即先計算預測偏差$數(shù)列及其自相關系數(shù)rk，再按2檢驗法來檢驗?；蛲ㄟ^，|rk - 1.96 N是否成立來檢驗。編寫Matlab程序funesm3.m如下：fun esm3.m%布朗非線性指數(shù)平滑%俞入時間序列x，平滑系數(shù)初值L0,步長L1,終值L2%俞入判斷誤差是否為隨機誤差時必須計

27、算的自相關系數(shù)個數(shù)m,顯著性水平alphafun ctio n ESM3=fu nesm3(x ,L 0,L1,L2,m,alpha)T=i nput('T=')s1=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);s2=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x); s3=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);a3=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);b3=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);c3=zeros(rou nd(L2-L

28、0)/L1),le ngth(x);y=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x)+T);e3=zeros(rou nd(L2-L0)/L1),le ngth(x);MAD3=zeros(1,rou nd(L2-L0)/L1);k=0;for a=L0:L1:L2k=k+1;s1(k,1)=x(1);s2(k,1)=x(1);s3(k,1)=x(1);for i=2:le ngth(x)s1(k,i)=a*x(i)+(1-a)*s1(k,i-1);s2(k,i)=a*s1(k,i)+(1-a)*s2(k,i-1);s3(k,i)=a*s2(k,i)+(1-a)*s3(

29、k,i-1);a3(k,i)=3*s1(k,i)-3*s2(k,i)+s3(k,i);b3(k,i)=(a/(2*(1-a)A2)*(6-5*a)*s1(k,i)-(10-8*a)*s2(k,i)+(4-3*a)*s3(k,i);c3(k,i)=(aA2/(2*(1-a)A2)*(s1(k,i)-2*s2(k,i)+s3(k,i);y(k,i+T)=a3(k,i)+b3(k,i)*T+c3(k,i)*TA2;e3(k,i+T)=x(i+T)-y(k,i+T);endend's1:',s1(k,:),'s2:',s2(k,:),'s3:',s3(k

30、,:)'a3:',a3(k,:),'b3:',b3(k,:),'c3:',c3(k,:),'y:',y(k,:),'e3:',e3(k,:),fun coef(e3(k,:),m,alpha);MAD3(k)=mea n( abs(e3(k,:);endMAD3;MAD3,k=mi n(MAD3);a=L0+L1*(k-1),y(k,le ngth(x)+T)end程序中的s1,s2,s3分別表示一次、二次以及三次指數(shù)平滑值，a3,b3,c3表示相對于每個平滑系數(shù)的at,bt,ct (公式(3-13)，y表示布朗非線性趨勢的預測值。平滑系數(shù)從L0到L2 (步長L1)，然后，從眾多平滑系數(shù)計算的結果中挑選最小的MAD所對應的平滑系數(shù)并最后得到預測值，自t時點起先前的時期數(shù) T由預測者確定并輸入?！纠?-10】某國企1988-2000年的利潤(萬元)歷史數(shù)據如表 3-5所示。今取平滑系 數(shù)=0.5并利用三次指數(shù)平滑數(shù)列，用二次拋物線型預測模型(3-14 )預測2001、2002年的利潤。表3-5歷史數(shù)據、三次指數(shù)平滑值a =0.50年份1988198919901991199219931994t01234567Xt10.615.117.621.624.819.530.4s110.610.612.851