動力學臨界問題解題技巧

1、動力學臨界問題的類型與處理方法0、問題的緣起高中物理中的動力學臨界問題是一類較難的題目，本文嘗試從牛頓第二定律的等號的含義的挖掘出發(fā)，提出這類問題的產(chǎn)生原因、基本類型和基本解決方法。一、動力學臨界問題的本質一一供需匹配問題牛頓第二定律 F ma，等式的左邊是其他物體 提供給物體的力（供），右邊是物體以加速度 a運動時所需要的力（需），因此 F ma實際上是供需匹配的方程 。當某些外界條件變化時，a可能變化，因此物體所需要的力可能發(fā)生變化，這就存在供需匹配問題。動力學臨界問題，本質上講，就是供需匹配問題： 供需相匹配（等號成立），則可維持兩物體間的某種關聯(lián)（如相對靜止、距離不變等）； 若供需不匹

2、配（等號不成立），則兩物體間的該種關聯(lián)被破壞（如兩物體相對滑動、距離增 大或者減小等）。二、動力學臨界問題的類型依據(jù)其他物體 提供給物體的力 的特點，可將動力學臨界問題分為兩大類型：供可變型和供不可 變型。1、供可變型其他物體提供的力可以在一定范圍內變化；若所需要的力在該范圍內，則能夠維持物體間的某 種關聯(lián)，若所需要的力超出該范圍，則物體間的該種關聯(lián)被破壞。具有這種特點的力，主要是兩大類：靜摩擦力和彈力。具體分析如下：（1） 靜摩擦力：-Ffm < FfW Ffm, Ffm0FN若：所需FfW Ffm,則兩物體相對靜止， 若：所需Ff> Ffm,則兩物體相對滑動。（2）彈力：Fn&

3、gt; 0,0< FtW FTm 支持力/壓力Fn :所需Fn> 0,則兩物體相互接觸，所需Fnv 0,則兩物體相互分離。 繩中張力Ft：所需FT滿足0< FtW FTm,則繩子繃直，兩物體維持某間距，所需FtV 0，則繩子松弛，兩物體間距減小，靠近，所需Ft> FTm,則繩子繃斷，兩物體間距增大，分開。2、供不可變型特定位置處，其他物體提供的力是一個確定的值；若需要的力等于該值，則能夠維持物體間的 相對位置，若需要的力不等于該值，則兩物體接近或者遠離。具有這種特點的力有萬有引力、庫侖力、彈簧彈力等。其中萬有引力作用下人造衛(wèi)星的變軌問 題就屬于這類問題的典型，下文重點是

4、供可變型，所以將此問題的處理方法單獨在此處說明，下文 不再贅述。如右圖所示，人造衛(wèi)星在離地心r處的A點以某速度va發(fā)射，若發(fā)射速度合適（為 v）,衛(wèi)星在該處所受萬有引力恰好等于其在該圓周軌道上做圓周運動所需要的向心力，則衛(wèi)星就能在該軌道 上做圓周運動，有4MmG 2 r2V m 一r解得VGM、一。r即有：若：VAv J r ,所需要的向心力2Va m 一rG亍，供求平衡，衛(wèi)星將做圓周運動, r右：VAGM，所需要的向心力mVArrGMmm，供不應求，衛(wèi)星將做離心運動,r右：VAGM，所需要的向心力m±rrMm2，供過于求，衛(wèi)星將做近心運動。r、動力學臨界問題處理的基本方法動力學臨界

5、問題的處理方法有兩種:1、物理分析法 第一步：極端分析法一一找到臨界點 第二步：分析臨界條件一一受力轉變條件女口： Ff=Ffm，F(xiàn)n=O， Ft=0， Fr=Frm2、數(shù)學解析法第一步：假設法一一假設物體間的該關聯(lián)正常第二步：動力學方程（或平衡方程）+受力范圍條件女口： -Ffm W FfW Ffm, FnA 0, OW FtW FTm不過，在此處要做一個說明：物理分析法對學生的生活經(jīng)驗或者物理實驗的經(jīng)驗有較強的依賴 性，而數(shù)學解析法則對學生的數(shù)學能力一一解不等式組一一有較高的要求，因此，兩種方法各有優(yōu)j- m -.-'i- j- -j-.-1 i- -j-'i-j-i- -

6、i-j-i-j-j- -jm-i -i-u- j- -m-i _ii-j"劣，不同學生、不同問題，方法的選擇就會不同?！纠?】（靜摩擦力類） 如圖所示，質量 M=8kg小車放在光滑的水平面上，在小車上面靜止放置一質量m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動摩擦因數(shù)尸0.2?，F(xiàn)在小車右端施加一水平拉力F,要使物塊保持與小車相對靜止 則拉力F不能超過多少？ g取10m/s2.V【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點根據(jù)經(jīng)驗，我們知道，拉力F很小時，m將隨M 起 向右加速運動，拉力 F很大時，m將相對M向后滑動。因此，拉力 F從很小逐漸增大時，必定有 個時候（F取某個值Fo

7、）,此時，m就要相對M向后滑動但還沒有相對滑動。這個狀態(tài)即為本問題 的臨界點。第二步：分析臨界條件一一受力轉變條件在拉力F很小時，m之所以能夠隨 M 起向右加速運動，是因為 M對m的靜摩擦力足以維持 兩物體相對靜止一一給 m提供隨M 起向右加速運動的加速度一一這個加速度隨整體加速度增大而 增大；當達到臨界點時，整體加速度達到了一個臨界值，此時，是最大靜摩擦力給m提供加速度;若整體加速度再增大，靜摩擦力將不足以提供足夠大的加速度一一不能滿足需要，于是就會發(fā)生相 對滑動。即:最大靜摩擦力給 m提供加速度，是本問題的臨界受力轉變條件。小物塊：mgmao整體：F0(Mm)ao聯(lián)立解得：Fo(M m)

8、g 20N即：拉力F不能超過20N。方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法一一假設物體間的該關聯(lián)正常設m隨M 起向右加速運動，加速度為a.第二步：動力學方程（或平衡方程）+受力范圍條件小物塊：Ff靜 ma整體：F （M m）a 其中：Ff靜mg聯(lián)立解得F 20N【總結】本問題中研究對象的選取是關鍵一一在本題中，對m才有供需匹配的問題一一對 M來說，拉力F需要多大，就可以施加多大，因此，應先選m為研究對象來分析臨界受力轉變條件。若本題拉力F施加在m上，則應先選 M為研究對象來分析臨界受力轉變條件。【例2】（靜摩擦力類） 如圖所示，質量 m = 1 kg的物塊放在傾角為 B的斜面上，斜面體質量 M =

9、2 kg,斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)尸0.2，地面光滑，0= 37 °現(xiàn)對斜面體施加一水平推力 F,要使物體m相對斜面靜止，力 F應為多大？（設物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2）【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點推力F很小時，由于本題中tan37，物體m就會相對斜面下滑，推力 F很大時，物體 m就會相對斜面上滑，因此，本題有兩個臨界點：推力F較小且大小合適時，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑；推力 F較大且大小合適時，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑。第二步：分析臨界條件一一受力轉變條件推力F大小合適時，物體m之所以能夠相對斜面靜止，是因

10、為能夠提供的靜摩擦力足以維持物體 m相對斜面靜止；當推力F較小且大小合適時， 物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑，此時是沿斜面向上的最大靜摩擦力 維持物體m相對斜面靜止，設此時推力為對m 有:x方向：FN1sin 0 N1cos 0= ma1*t/|*：丿A丹y方向：Fn1COS0+ 卩 N1Sin 0 mg = 0亠解兩式得：a1= 4.78 m/s2XO對整體有：F1 = (M + m)a1,所以 F1 = 14.34 N.當推力F較大且大小合適時，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑，1Fi,此時物塊受力如圖甲.此時是沿斜面向下的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設此時推力為F2,此時物塊受

11、力如圖乙.對 m 有：x 方向：FN2sin 0+ 卩 F2cos 0= ma2y 方向： Fn2cos 0 卩 N2sin 0 mg = 0 解 兩式得：a2= 11.2 m/s2 對整體有：F2= （M + m）a2，所以 F2 = 33.6 N.F 的范圍為：14.34 N F 33.6 N.方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法一一假設物體間的該關聯(lián)正常 設m隨M 起向左加速運動，加速度為a.第二步：動力學方程（或平衡方程）對m 有:屮0mg乙x 方向： Fnsin 0 Ffcos0= may方向：由于推力F較小時, 向上），推力F較大時, 向下），則有：-INW Ff w此時物塊受力如圖丙

12、.+受力范圍條件FnFfOFncos0+ Ffsin 0 mg = 0物體 m有相對斜面下滑的趨勢（摩擦力沿斜面 物體 m有相對斜面上滑的趨勢（摩擦力沿斜面 N解三式，得 F的范圍為：14.34 N « 33.6 N.【總結】物理分析法對學生分析能力要求較高，但是其分析出來的結果很直觀; 管分析過程簡單些，但計算上講麻煩一點，而且算出來的結果直觀性較差?！纠?】（彈力類一一Fn）試分析在豎直平面內的圓周軌道內側運動時，數(shù)學解析法盡小球通過最高點的條件。【解析】方法一：物理分析法甘*第一步：極端分析法一一找到臨界點根據(jù)實驗，我們知道，小球在最低點初速度較大時，小球可以在圓周軌道內側做完

13、整圓周運動，小球在最低點初速度較小時，小球在到達 最高點前就已脫離軌道做了斜拋運動。因此，必定有一種情況，小球在 最低點初速度合適時， 小球剛好能夠通過圓周最高點，由能量守恒可知,此時小球在最高點速度是確定的某個值。第二步：分析臨界條件一一受力轉變條件小球速度較大時，小球在最高點會緊壓軌道；小球速度較小，小球到最高點前就脫離軌道后與軌道分開；因此，小球剛好通過最高點時，就是剛好到達最高點且不壓軌道時一一即Fn=O .此時對小球：2v.mg m解得vgRR即小球通過最高點的條件是：小球在最高點的速度V .：gR方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法一一假設物體間的該關聯(lián)正常設小球能夠通過最高點，并設此

14、時小球通過最高點的速度為 第二步：動力學方程（或平衡方程）2Vmg Fn mR+受力范圍條件對小球，有:其中Fn只可能向下、不可能向上，即：聯(lián)立，解得vgR【總結】如下圖甲、乙兩種情況中，均是vV，斤、Fn均只能豎直向下，因此小球能夠通過最高點的條件gR；如圖丙的情況，輕桿對小球的彈力既可向下也可向上，因此速度既可大于gR，也可小于：gR，即小球能夠通過最高點的條件是 v 0。圖甲圏乙圖丙【例4】（彈力類一一Fn）如右圖所示，在傾角為B的光滑斜面上端固定一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧，彈簧下端連有一質量為 m的小球，小球被一垂直于斜面的擋 板A擋住，此時彈簧沒有形變，若手持擋板A以加速度a（a<

15、;gsin B）沿斜面勻加速下滑，求：從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時 間?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇?第一步：極端分析法一一找到臨界點擋板A下滑過程中，最開始一段時間，小球和擋板一直緊壓在一起，具有相同的加速度；當擋板A下滑太遠時，小球和擋板就分開了。因此，必定有一個臨界點一 小球就要離開擋板但還沒有離開。第二步：分析臨界條件一一受力轉變條件開始時小球和擋板一直緊壓在一起，兩者之間有壓力；當小球和擋板就 分開后，兩者之間沒有壓力一一因此，小球就要離開擋板時，小球和擋板間 的壓力為Fn=0.此時，對小球，有：mgsin 0 kx= ma即小球做勻加速運動發(fā)生的位移為x= m(gsin

16、0 a)時小球與擋板分離。1由運動學公式x = 2at2得從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間為t2m(gsin 0 a)ka方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法一一假設物體間的該關聯(lián)正常設小球尚未與擋板分離，則其受力如圖所示。第二步：動力學方程(或平衡方程)+受力范圍條件此時，對小球，有：mgsin 0 Fn kx= ma其中：Fn 0聯(lián)立解得：xw m(gsin0 a)即小球做勻加速運動發(fā)生的位移為x= m(gsin 0 a)時小球與擋板分離。1由運動學公式x = ；at2得從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間為2m(gsin 0 a)ka【總結】分離類問題，分離條件均是相互接觸的

17、兩個物體間壓力Fn=0時。不過要注意的是,離之前直到分離瞬間，相互接觸的兩個物體在垂直接觸面方向始終具有速度和相同加速度。很多學 生以為小球加速度為零時分離，從而出錯?！纠?】(彈力類一一FT)如圖所示，繩 AC 的小球，其中AC桿長度為I當豎直桿以某一角速度 繩與豎直方向夾角為 30° BC繩與豎直方向夾角為【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點根據(jù)經(jīng)驗，我們知道，當只有 AC繩時，轉動桿的角速度 豎直方向的夾角就越大。因此，在本題中，若桿轉動的角速度 豎直方向的夾角太小，BC繩就會松弛；若桿轉動的角速度 方向的夾角太大，AC繩就會松弛；桿轉動的角速度BC一端拴

18、在豎直桿上，另一端拴著一個質量為3轉動時，繩AC BC均處于繃直狀態(tài)，此時 45°試求3的取值范圍。已知重力加速度為3越大，AC繩偏離3太小，AC繩偏離3太大，BC繩偏離豎直3合適時，繩AC、BC均處于較小，BC繩剛好松弛；桿轉AC繩、BC繩與豎直方向mACg.繃直狀態(tài)。即存在兩個臨界點桿轉動的角速度3動的角速度3較大，AC繩剛好松弛一一這兩種情況下， 夾角分別為30°和45°不變。第二步：分析臨界條件一一受力轉變條件桿轉動的角速度 3較小，BC繩剛好松弛，此時 BC繩中的張力為零，只有 AC繩中有張力 設此時的角速度為 31,則有豎直方向： Fti cos30

19、mg=0 水平方向： Fisin30 =m 3i2r 其中 r=lsi n30聯(lián)立解得12、3g31桿轉動的角速度設此時的角速度為豎直方向：Ft2COs45 mg=0 水平方向：FT2sin45 =m族2r3較大，AC繩剛好松弛，此時 AC繩中的張力為零，只有 AC繩中有張力32,則有Fl2,其中r=lsi n30聯(lián)立解得2|g時,繩AC BC均處于繃直狀態(tài)。方法二：數(shù)學解析法第一步：假設法一一假設物體間的該關聯(lián)正常設豎直桿以某一角速度3轉動時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時 AC繩中張力為FTi, BC繩中張力為Ft2o第二步：動力學方程（或平衡方程）+受力范圍條件由牛頓第二定律，有豎直方向：FTicos30 ° Ft2cos45 ° mg =0水平方向： Fisin 30 + FT2Si n45=m3i2r由于繩AC BC均處于繃直狀態(tài)，因此有Fti> 0, Ft2 >0聯(lián)立解得:【總結】對大多數(shù)學生來說，物理分析法分析這個問題要簡單直接一些；數(shù)學解