《運(yùn)籌學(xué)》群決策

1、1上一章所研究的多屬性決策問題是由單個決策者從有限個方案中，選擇一個決策者認(rèn) 為滿意的方案。其決策行為主要表現(xiàn)在單一效用函數(shù)或單一優(yōu)先關(guān)系的構(gòu)造和分析，這一 類決策是所謂的獨(dú)斷型決策。但在現(xiàn)代社會生活中，實(shí)際決策的形成往往不是一個人說了 算的。由于各種經(jīng)濟(jì)決策問題變得越來越復(fù)雜，在許多情況下都有必要集中一群人的智慧 來共同解決決策問題。即使是人們每天碰到的日常決策，雖然本質(zhì)上不屬于群決策的范疇, 但也會征求親友或同事們的意見，然后才作出決定。因此，根據(jù)群體各個成員的意見和偏 好來制訂統(tǒng)一的決策是人類決策的普遍形式?，F(xiàn)代群決策(GDM)理論的研究范疇已經(jīng)從早期的社會選舉理論發(fā)展到近代的多屬性 群

2、決策理論，乂從多屬性群決策理論進(jìn)一步推廣到現(xiàn)代的專家系統(tǒng)理論和對策理論，并與 模糊集理論結(jié)合在一起，形成了一個十分活躍而廣泛的研究領(lǐng)域。多屬性決策問題從單個決策者的獨(dú)斷情形轉(zhuǎn)變到多個決策者集議的情形，給決策分析 帶來許多復(fù)雜的因素，并提出一系列的新問題。由于不同的決策者對同一問題的理解和愿 望彼此不同，甚至是相互抵觸和矛盾的，如何根據(jù)每個成員的偏好形成整個群體的偏好， 即從單一優(yōu)先關(guān)系或單一效用函數(shù)形成群體優(yōu)先關(guān)系或群體效用函數(shù)，進(jìn)而排列方案的優(yōu) 劣次序，便成為解決多屬性群決策問題的關(guān)鍵。12.1 選舉函數(shù)和福利函數(shù)12.1.1 社會選舉理論選舉是民主社會中表達(dá)民眾意愿的基本形式，也是最典型的

3、群決策方法之一。當(dāng)選民 在投票的時候，心中對候選人的各方面條件，如資格、能力、誠信度等，都已經(jīng)作了綜合 性的衡量與比較，才形成自己的選擇意愿。所以，選舉過程實(shí)質(zhì)上是一個多屬性的群決策 過程，只是這里的決策屬性沒有以外在的形式表現(xiàn)出來而已。社會選舉方法的形成和發(fā)展可以劃分為三個主要的歷史時期。第一個歷史時期發(fā)生在 十八世紀(jì)八十年代的法國，其代表人物為Boida和Condorceto第二個歷史時期發(fā)生在十 九世紀(jì)六十年代和九十年代之間的英國，其代表人物為Dodgson和Nansoiio第三個歷史 時期發(fā)生在二十世紀(jì)五十年代至八十年代的美國，其代表人物為Allow, Gibbaid和 Satteil

4、hwaiteo選舉需要解決的根本問題是如何在充分考慮個人意愿的基礎(chǔ)上形成合理的全社會的選舉結(jié)果。對于只有兩個候選人的選舉情況，簡單多數(shù)的選舉原則被普遍認(rèn)為是公正可行5的。但如果有多名候選人存在時，簡單多數(shù)的選舉原則卻有可能導(dǎo)致矛盾荒謬的結(jié) 果。譬如，設(shè)有三個選民甲、乙、丙和三個候選人公，務(wù)，門，如果甲認(rèn)為占優(yōu)于勺 乂優(yōu)于后；乙認(rèn)為勺優(yōu)于4,啟乂優(yōu)于勺；而丙認(rèn)為4優(yōu)于工1，工1 乂優(yōu)于心。那么兩 兩比較的結(jié)果是：占優(yōu)于勺有兩票贊成一票反對，心優(yōu)于物也有兩票贊成一票反對， 但是優(yōu)于總只有一票贊成兩票反對。因此，按簡單多數(shù)原則得到的結(jié)果是不傳遞的， 即占優(yōu)于勺，勺優(yōu)于冷，但勺卻不優(yōu)于冷o這就是十八世

5、紀(jì)末由Condorcet揭示的選 舉問題中的“多數(shù)悖論"，稱為Condorcet現(xiàn)象，或Condorcet效應(yīng)。為了克服Condoicet現(xiàn)象在選舉理論上造成的極大困擾，許多不同的群決策程序相 繼提出，形成了社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)兩大類別。前者主要用于政治選舉問題， 后者主要用于經(jīng)濟(jì)決策問題。當(dāng)方案集為有限集時，社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)是完 全等價的，只有當(dāng)方案集為無限集時，社會福利函數(shù)才有別于社會選舉函數(shù)。社會選舉函數(shù)基于Condoicet倡議的簡單多數(shù)原理，并由Borda (1784), Copeland (1951), Nanson (1883), Dodgson (18

6、76), Kemeny (1959), Cook 和 Seifbid (1978), Fishburn (1977), Bernardo (1981), Miller (1983), Shepsle 和 Wemgast (1984), Banks (1985), Mckelvey (1986),Feld 及其合作者(1987),Hartley 和 Kilgoui (1987),Dutta (1988), Zavist 和 Tideman (1989)等人圍繞著Condoicet現(xiàn)象從不同角度對社會選舉函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)和推廣。Black (1958)和Fishburn (1977)以及Gehrle

7、in (1983)對早期的這些方法進(jìn)行了總結(jié)，并從理 論上作了詳細(xì)的比較性研究。社會福利函數(shù)的概念由Beigson (1938)提出，經(jīng)過Samuelson (1947), Goodman- Markowits (1952)的改進(jìn)和發(fā)展，并由Allow (1963)加以創(chuàng)新和推廣。此后，Kirkwood (1972), Bowman-Colantom (1973), Gibbard (1973), Blm-Whmston (1974), Satteithwaite (1975), Fams-Sage (1975), Parks (1976), Pollak (1979), Dyer-Sann

8、(1979), Mackay (1980), Boweis (1981), Giether-Plott (1982), Fishburn (1983, 1987), Nuinu (1987), Memll (1988), Enelow-Huiich (1989)等人在Anow的不可能性定理的基礎(chǔ)上，提出了各種各樣的改進(jìn) 方法。Luce-Raiffa (1957), Rothebeig (1961), Kelly (1978)和 Fishbum (1973, 1984, 1990) 對各種社會福利函數(shù)都有過精辟的論述。下面我們將扼要介紹社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)的基本理論和方法。12.1.2社會

9、選舉函數(shù)在社會選舉問題中，候選人集合是一個非空有限集合，記為設(shè)有位選民參加 投票，每個人將按照自己的意愿對候選人進(jìn)行排隊(duì)。對于任何兩個候選人采用 符號#(i：表示文優(yōu)于y的票數(shù)，則有#(i： x>i y) + # (/： y>i x) = n, V xyo那么簡單多數(shù)原則可以被定義為：x>y 當(dāng)且僅當(dāng) #(/： x>,y)>#(/： y>ix)如果#(z： x>iy) = #(i：則認(rèn)為x與y無差異。Condoicet認(rèn)為，在簡單多數(shù)原則下，如果存在某一個候選人能夠擊敗所有的對手,則該候選人必然是最能代表大多數(shù)選民意愿的選舉結(jié)果。換言之，Condoic

10、et原則被定義 為：i2.i選舉函數(shù)和福利函數(shù)ix = x* 當(dāng)且僅當(dāng)V >?gAx但是，當(dāng)選舉結(jié)果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時，不存在以簡單多數(shù)勝出的候選人。為此，許多學(xué)者對 上述簡單多數(shù)原則進(jìn)行了推廣，并由此產(chǎn)生了多種多樣的社會選舉函數(shù)?，F(xiàn)選擇其中有代 表性的幾種社會選舉函數(shù)分別介紹如下。(1) Condorcet 函數(shù)當(dāng)簡單多數(shù)勝出的候選人不存在時，Condoicet提議采用下面的方法。設(shè)則候選人的優(yōu)先順序?qū)凑蘸瘮?shù)/c(x)的值來排列。這里，人。)的值表示X與其它候選人比 較時所處的最不利情形。因此，於(M是一個極大-極小型的保守函數(shù)。(2) Boida 函數(shù)在包含m個候選人的選舉問題中，Bo

11、rda提議對每一個候選人依據(jù)其排序名次分別記 分,稱為Boida分。記分原則是排在第一位得團(tuán)-1分，第二位得?-2分，這樣依次遞 減，直到最后一位得0分。候選人的最終排名取決于Boida總分的高低，其數(shù)學(xué)表示式為/b(x)= E #i： yve4*(3) Cook-Seiford 函數(shù)Cook和Seifoid引進(jìn)了距離函數(shù)d以度量排序的不一致性，并將總距離最小的排序方 式定義為一致性排序。設(shè)q表示選民i對候選人)的排序結(jié)果，令表示候選人)的一致 性排序結(jié)果，那么選民i排序的不一致性可以表示為4 = ZI= 1,2, ,nj=i 故排序的總偏差為d=idi=Hrij-rjf=li=l j=l因?yàn)?/p>

12、只能等于序數(shù)1,2,，團(tuán)中的某一個，設(shè)。* =鼠則可定義 dik=iLrn-k/=1 從而d = £d jk，k = l,2,m六1假定每個候選人都有m個不同的k值,則一共要計算個距離系數(shù)或，j, k= 1,2,7。顯然，尋找使總距離最小的一致性排序問題等價于求解一個?X7的分配問題。限于本教材的撰寫目的和篇幅，其它社會選舉函數(shù)不再一一列舉，有興趣的讀者可參 閱書后所列的參考文獻(xiàn)。例12.1假設(shè)某班級60位學(xué)生擬從3名任課教師中評選1名優(yōu)秀教師，投票結(jié)果為：23 票：a > b> c17 票:b> c> a2 票：b> a> c10 票:c>

13、 a> b8 票：c> b> a(l)Condoicet函數(shù)：兩兩比較結(jié)果為# (z： a >i b) = 33, # (/： b>j a) = 27, # (z： a >, c) = 25,# (/： c >i a) = 35, #(i： b>i c) = 42, #(i： c>, b)= 18o顯然，這里不存在能以簡單多數(shù)勝出的候選人。采用Condorcet函數(shù)的計算結(jié)果可表示為 如下矩陣形式：abcfca332525b274227c351818結(jié)論：b> a> Co(2) Borda 函數(shù)：abc/ba332558b274

14、269c351853結(jié)論：b> a> Co(3) Cook-Seifbid 函數(shù):已知 i =j = a, b, c, k = 1,2,36060/=1r=l= 23|l-l|+17|3-l|+2|2-l|+10|2-l|+8|3-l|=6212.1選舉函數(shù)和福利函數(shù)96042 =21兀-2|r=l=23|1-2|+17|3-2|+2|2-2|+10|2-2|+8|3-2|=4860乙3這匕- 3|r=l=23|1-3|+17|3-3|+2|2-3|+10|2-3|+8|3-3|二58類似地，可算出：606060九=£1小-" =51,%=£匕,-2|

15、 = 29,%=£匕,-3| = 69,r=li=lz=l606060= 2Ll ric -11 = 67, dc2 = ric - 21 = 43, % =-3| = 53.i=li=li=l以上距離系數(shù)被總結(jié)在下面的矩陣表中：X123a624858b512969c674353這是一個使總偏差達(dá)到最小的分配問題，其求解過程為:62485851296967435314010220402401008100例0030 0結(jié)論：a> b> Co12.1.3社會福利函:福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是西方的一種經(jīng)濟(jì)學(xué)派，主要研究社會資源和商品的分配理論與方法，旨 在發(fā)現(xiàn)某種合理的社會結(jié)構(gòu)，以使由資源

16、和商品產(chǎn)生的社會福利達(dá)到最大。福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家 從社會福利的觀點(diǎn)去評價各種可能的社會結(jié)構(gòu)，并用一個反映社會狀況的實(shí)值函數(shù)一福 利函數(shù)去度量和判斷每種社會結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣。早期的社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)對候選人或事所處狀態(tài)的描述采用的都是序數(shù) 型變量，即排序比較方法。針對這種情形，Allow提出了滿足一致性要求的兩條公理和五 項(xiàng)條件，并在此基礎(chǔ)上證明了著名的Allow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一 種程序或方法將所有社會成員的個人偏好集成為整個社會的群體偏好而不違背一致性原 則。為此，其它學(xué)者作出了種種假設(shè)，旨在將序數(shù)型的社會福利函數(shù)改寫成基數(shù)型的效用 函數(shù)，從而發(fā)展為現(xiàn)代的多屬性群決策理論與

17、方法。在介紹Allow的不可能性定理之前，我們先引進(jìn)二元關(guān)系和社會福利函數(shù)的定義與性 質(zhì)：定義12. 1集合A上的一個二元關(guān)系R是域AxA上的一個子集，定義為A上全部有 序?qū)?x,y)的集合，記作xRy,并用符號 ,)和分別表示之間的強(qiáng)序關(guān)系，弱序關(guān) 系和無差異關(guān)系，記作和xy。定義12.2設(shè)R是集合A上的一個二元函數(shù)。則：(1)R是自反的當(dāng)且僅當(dāng)：xRx, VxeAa(2) A是連通的當(dāng)且僅當(dāng)：了金VjRi, Vx, y6Z o式中V是邏輯”或“的符號，即對于 集合A中的任何不是xRy,就是yRx。(3) A是不循環(huán)的當(dāng)且僅當(dāng)：不存在勺，工如，/w火，使得勺取2 A x及m A . A &a

18、mp;.際 A式中八是邏輯“與“的符號。(4) R是可傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)：x中八J取tx電 WU/w火，即如果工£,，而且泮z， 貝 iJxHz。(5) R是一個弱序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)：R是連通的和可傳遞的。定義123設(shè)有一組方案4,，船和決策群體。二 (5,6,。加)。社會福 利函數(shù)一是將決策者個人口在方案集A上的獨(dú)立序關(guān)系&合成為決策群體。在A上的總 序關(guān)系R的法則，亦即/是從積空間R"'到空間R的一個映射，記為，/: (&t R 或 R =/(&國)定義12.4對于A中的任意方案x, y,當(dāng)決策者D認(rèn)為x于y,x,和時,分別 記4=1,0和-1。

19、則由社會福利函數(shù)/確定的群決策法則具有以下性質(zhì)：(1)可決策性:(&此,.一，&)=0 -R =/(&&.,0”口；(2)公正性：/(-馬&4)=(3琢，O；(3)平等性：如果。是1,?上的任一排列，則f的瑪4)=/(夫。(1，凡(2)凡移。(4)正相關(guān)性:(& -，&)之(凡為，耳)-RNR ；(5)均分性：對于任意正整數(shù)?，風(fēng)沈區(qū))=雙的；(6)弱 Pad。最優(yōu)性：.= 1 或 H1) = -1；(7)強(qiáng)Pad。最優(yōu)性：如果31, &，4)中的某些值等于1,而其它值等于0,則/(凡, 氏,，耳)=1；如果中的全部值等于o,則陛

20、= 口。對定義10.4中的有關(guān)性質(zhì)可作如下解釋，(1)可決策性：指由社會福利函數(shù)產(chǎn)生的群 決策法則對于選民的每一種選擇意向都應(yīng)該能得到一個有意義的、唯一的決策結(jié)果。(2)公 12.1選舉函數(shù)和福利函數(shù)L正性：如果所有的人都改變原來的選擇意向，則原決策的結(jié)果將會被推翻，其作用是防止 任何候選人或候選方案被外部勢力內(nèi)定為決策的必然結(jié)果。（3）平等性：避免某一個決策 成員享有高于其它決策成員的權(quán)力，體現(xiàn)了一人一票的選舉原則。（4）正相關(guān)性：如果一 個或幾個決策成員的選擇意向朝著對方案x有利的方面轉(zhuǎn)化，而對其它方案的選擇意向保 持不變，則方案x所處的選舉地位只會變好，不會變差。（5）均分性：當(dāng)某一個決

21、策者認(rèn) 為方案x和方案y無差異時，可設(shè)想該決策者被一分為二，其中的半個人投票贊成-另 外半個人投票贊成y。如果有多個方案被認(rèn)為無差異時，也可用類似的方式進(jìn)行處理。（6） Paieto最優(yōu)性（也稱為全體一致性）：當(dāng)所有的人都選擇;v時，則x勝，當(dāng)所有的人都選擇y 時，則y勝。容易想見，滿足上述定義的社會福利函數(shù)很多，有些是可以接受的，有些是不能接受 的。Allow在群決策理論上的重大貢獻(xiàn)之一是為社會福利函數(shù)規(guī)定了一組看起來非?？尚?的公理和條件，從而導(dǎo)出了群決策理論上著名的”不可能性定理”。它們是：公理1連通性：設(shè)有方案集工=小,4,凡）和決策群，區(qū)），決策 者對于A中任意方案A,4的偏好，不是

22、見之可，就是耳之耳，或者凡4。公理2傳遞性：對于方案集火=小,用,4中的任意方案A,可，月,，如果決策 者認(rèn)為凡之可，可之力，則必有其之4。條件1（完備性）方案集4中至少有三個方案，決策群。中至少有二個決策人，由社 會福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則必須考慮每一個決策者的選擇意愿。條件2 （正相關(guān)性）如果社會福利函數(shù)/給出x優(yōu)于y的結(jié)果，則當(dāng)決策者對x以外的 方案進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果不變，且對x與其它方案之間的比較結(jié)果對x而言沒有任何不利 時，社會福利函數(shù)的結(jié)果將維持不變。條件3（無關(guān)方案獨(dú)立性）設(shè)，為方案集A中的一個子集，如果每一個決策者都保持 對4中方案兩兩比較的結(jié)果不變，而只改變，以外方案的比較結(jié)

23、果，則對，中的方案來 說，兩種情況下的決策次序是一樣的。條件4 （Pare，。最優(yōu)性）對于其中的任意方案A,可，必須有某些決策者認(rèn)為凡優(yōu)于 4時，才有可能導(dǎo)致群體的選擇結(jié)果是凡優(yōu)于可。條件5（非獨(dú)裁性）對于A中的任意方案A,可，沒有任何一個決策者可以為群體指 定一個優(yōu)劣次序A24,或者4 N 4，而不管其它決策者的意見如何。定理12.1沒有任何一個社會福利函數(shù)/W9能同時滿足上面的兩條公理和五個條件。在Allow之后，許多其它形式的不可能性定理相繼提出。其中最有代表性的幾種形式 是：Mass-Colell 和 Soimenschein （1972）, Gibbard （1973）和 Satte

24、ithwaite （1975）, Parks （1976） 和Pollak （1979）以及Giether和Plott （1982）。每一條不可能性定理的后面都伴隨著相應(yīng)的 可能性定理和一系列相互可比的條件，這些條件都是通過松弛或弱化Anow定理中的一個 或多個條件以達(dá)成一致而得到的。感興趣的讀者可以查閱后面的參考文獻(xiàn)或Kelly(1978) 和Fishbum (1987)對此所作的精辟論述。社會福利函數(shù)之所以不能同時滿足Airow定義的兩條公理和五個條件，有原理和方法 兩方面的原因。從條件本身來說，Goodman和Maikowitz( 1952)曾用下面的例子說明了 Allow條件的 局限性

25、。設(shè)主人擬用茶或咖啡中的一種同時招待兩位客人，如果主人只知道客人甲對咖啡 的喜好勝于茶，而客人乙對茶的喜好勝于咖啡，則主人會認(rèn)為以茶或咖啡待客是沒有區(qū)別 的。但如果主人還進(jìn)一步知道甲的喜好是咖啡勝于茶，茶勝于可可，可可勝于牛奶；但乙 的喜好是不僅茶勝于咖啡，而且可可、牛奶其至白水都勝于咖啡。在這種情況下，主人要 招待這兩位客人顯然是以茶為好。這說明表面上看起來似乎無關(guān)的方案(在此為可可、牛奶 和白水)對于群決策的集成法則并不是完全無關(guān)的，因而Allow定義的條件3對社會福利 函數(shù)而言并非絕對適當(dāng)。同時，F(xiàn)ishbum(1970)己經(jīng)證明，當(dāng)問題的決策集是無限集合時, Allow定義的五個條件將

26、可以被滿足。這里，決策集有限和無限的差別在于，原不可能性 定理中獨(dú)裁者的角色可以從幕前轉(zhuǎn)到幕后。從方法上來看，序數(shù)型的社會福利函數(shù)僅僅給出了個人和群體對不同方案的偏好順 序，但忽略了他們對不同方案的偏愛程度，因而缺乏對事物的分辨力。以Goodman和 Markowitz的例子來說，如果客人甲和乙各自對咖啡和茶的喜愛程度可以被量化，即用某 種統(tǒng)一的尺度去衡量的話，譬如甲對咖啡的喜愛是8個單位，對茶的喜愛是6個單位，而 乙對茶的喜愛是10個單位，對咖啡的喜愛是2個單位，則主人不難決定待客的飲料以茶 為宜。這樣得到的社會福利函數(shù)被稱為基數(shù)型的社會福利函數(shù)。只要經(jīng)過簡單的變換，基 數(shù)型的社會福利函數(shù)很

27、容易轉(zhuǎn)化成所謂的的效用函數(shù)。容易證明，在個人效用函數(shù)基礎(chǔ)上 建立的群效用函數(shù)可以滿足Allow提出的全部條件和公理。12.2 群效用函數(shù)基于群效用函數(shù)作出的決策并不是一種簡單的多數(shù)規(guī)則，它包含了更多個人效用的信 息和人與人之間的效用的比較。群效用函數(shù)的一般形式為：式中1,2,刈代表第i個決策者對方案X的個人效用函數(shù)值。如果群效用函數(shù) 為己知，則群決策問題就可以寫成下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：max U(x) = g(Pi(x),U2(x),(x)S.t. XG X為了便于構(gòu)造群效用函數(shù)，Keeney和Raiffa(1976)為群效用函數(shù)的存在提出了某些必 要的條件，并在此基礎(chǔ)上定義了群效用函數(shù)的加法模

28、型和乘法模型。現(xiàn)將這兩種模型分別 介紹如下：(1)加法模型條件1個人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應(yīng)滿足關(guān)于效用的Neumann-Moigenstein公理系統(tǒng)，即方案集4上的二元關(guān)系是完備的、傳遞的、獨(dú)立的、和連續(xù)的。條件2如果群中每個決策成員都認(rèn)為某兩個方案是無差異的，則決策群也認(rèn)為這兩 個方案是無差異的。條件3個人效用函數(shù)的效用值是獨(dú)立可加的。定理12. 2滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：改工)= 2 = 1式中H(力 U是群中第i個成員的個人效用函數(shù)，而也是NW的權(quán)值。(2)乘法模型條件1個人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應(yīng)滿足關(guān)于效用的Neumann-Moigenstein公理 系統(tǒng)，即方案集4

29、上的二元關(guān)系是完備的、傳遞的、獨(dú)立的、和連續(xù)的。條件2如果群中所有的決策成員除第i個成員外都認(rèn)為所有方案無差異，則群效用 函數(shù)是第i個個人效用函數(shù)的正線性變換+ 換言之，此時的群偏好等價 于第i個成員的偏好。條件3如果群中所有的決策成員除第i個和第，個成員外都認(rèn)為所有方案無差異，則 決策群體對這些方案的偏好僅取決于第i和第，個成員的偏好。12.1選舉函數(shù)和福利函數(shù)15定理12. 3滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：尤優(yōu)乃+1 = nu自500 +1i=l式中國刈0,1, 2和4為標(biāo)度常數(shù)，0<4<l,i=l,2,川。淑淑Keeney（1974）已經(jīng)證明：當(dāng)£為=1時，群

30、效用函數(shù)應(yīng)采用加法模型；當(dāng)£公工1時， 2=12=1群效用函數(shù)應(yīng)采用乘法模型。群效用函數(shù)的存在性表明，可以由群中每個成員的偏好形成整個群體的偏好，并根據(jù)群 體的偏好排列方案的順序。這為解決群決策問題提供了重要的理論基礎(chǔ)。但在實(shí)際決策中， 直接構(gòu)造群效用函數(shù)有諸多不便，故很少應(yīng)用。我們在下一節(jié)將介紹如何將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的多 屬性決策方法移植過來，用以解決群決策問題。12.3 多屬性群決策方法在前面討論的群決策模式中，事物的屬性并沒有以外在的形式表現(xiàn)出來。群效用函數(shù)的 集成對象是所有個人效用函數(shù)的效用值，但個人效用的獲取過程并沒有涉及。這里，我們將 在本書第九章的基礎(chǔ)上，介紹有多個決策者存在

31、時多屬性決策問題的解決方法。設(shè)有方案集A = 4, A?,A,”和決策群體D = Db " D,.每一位決策者將依據(jù)自 己選定的一組屬性C = G, C2,.,C/對每一個方案獨(dú)立地進(jìn)行評價，并用權(quán)向量W = wh g,，曲表示各屬性的重要程度，符合歸一化條件帖+g+叫,=lo不同決策者考察的 屬性及采用的權(quán)值可以相同，也可以不同。其決策模式寫為：C1 C： C為1町2 口4=網(wǎng)產(chǎn)=也1 1叼1如I聯(lián)1111 1111 11114*1 %2""。上與多屬性決策一樣，決策者采用的評價方式有序數(shù)型和基數(shù)型兩種：前者只給出每一屬 性上各方案的排列順序;后者則度量各方案每

32、一屬上的實(shí)際水平,并以數(shù)值形式表明其結(jié)果。 不同之處在于多屬性決策的決策矩陣是唯一的，它反映了決策者對多個屬性的偏好結(jié)構(gòu)：而 群決策的決策矩陣有許多個，分別代表了不同決策者的決策意愿，其偏好結(jié)構(gòu)互不相同，但 都應(yīng)受到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏廢。為了使問題簡化，假定個人效用函數(shù)的效用值是獨(dú)立可加的。那么，求解群決策問題的 關(guān)鍵在于：（1）如何表示每一位決策者的個人優(yōu)先關(guān)系：（2）如何將個人優(yōu)先關(guān)系合成為群 優(yōu)先關(guān)系；（3）是先合成、后評價，還是先評價、后合成？這里，前者是先將不同決策者就 方案屬性作出的評價綜合到一起，然后選用已知的多屬性決策方法統(tǒng)一求解，其實(shí)質(zhì)是將一 個群決策問題整體轉(zhuǎn)化為

33、一個獨(dú)裁決策問題，它要求所有的決策者采用相同的屬性和屬性權(quán) 值以方便合成:后者是由每一位決策者先按照自己的意愿分別對相應(yīng)的多屬性決策問題進(jìn)行 求解，其結(jié)果歸結(jié)為社會選舉問題，然后采用本章討論的社會選舉函數(shù)作出最終的選擇，其 實(shí)質(zhì)是將一個群決策問題分解成若干個獨(dú)裁決策問題，該方法對不同決策者考察的屬性和采 用的屬性權(quán)值不強(qiáng)求一致。綜上所述,求解一個效用值獨(dú)立可加的群決策問題，關(guān)鍵在于怎樣合成和什么時候合成。 因?yàn)樯婕皟煞N數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(序數(shù)型和基數(shù)型)和兩種合成順序(先合成和后合成)，兩兩組合共有 四種不同的決策程序，現(xiàn)通過實(shí)例分別介紹如下。例12.2 NASA為宇宙飛船的科學(xué)實(shí)驗(yàn)擬定了六個可能的實(shí)驗(yàn)

34、方案，它們分別是：通 訊與航行實(shí)驗(yàn)(4)，地面觀測實(shí)驗(yàn)(A?),物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)(A3),微生物實(shí)驗(yàn)00,系統(tǒng)檢測實(shí)驗(yàn) (A5)和環(huán)境效應(yīng)實(shí)驗(yàn)口6)。對每一實(shí)驗(yàn)都要從需要性(G)、研究性(Q)和發(fā)展性«3)三個方面 進(jìn)行評價。NASA組織了六位專家。1,。2,03,04,。5,。6)對方案實(shí)施考察，后因?qū)嶒?yàn)時間和 條件的限制，通訊航行實(shí)驗(yàn)的方案被先行淘汰而退出了選擇程序。其評定結(jié)果為：DiGC2Gd2GC2GD3GC2GA2533a2344a2344A3212A3221A3112A4344A535A535A5455A5452A5451As12141134223D、GC2C3DsGC2GD

35、bGC2GA2413a2444a2155A3231A3122A3312A,54545554544a5324A5332A5433A然，這是一個序數(shù)型的多屬性群決策問題，下面是兩種不同的決策程序。(1)先綜合意見，后統(tǒng)一求解對于被考察的每一種屬性G，) = 1，2,-1,我們有以下序列矩陣fu 玲 fv心4場 ,1,24人知B卻8 2其中矩陣元素4 £12#表示決策者A對方案4在屬性，上所排的名次。采用任何一種 社會選舉方法，如Borda方法，可確定各方案關(guān)于屬性j的優(yōu)劣次序。本例中，屬性G的序列矩陣為：G5d2AA。5d6a2533441A3221213a43

36、55555A5444334Ae112122現(xiàn)采用Borda記分法求解，令排名第一至第五位的分值分別為4, 3, 2, 1,0,可得分值矩陣12.1選舉函數(shù)和福利函數(shù)2140208000結(jié)論：A3 > 46 > A5 > A? > Ao(2)先個別求解，后綜合決策每一位決策者5將采用自己選定的考察屬性(G,J,G* )和屬性權(quán)值(W1M2卅以)對 方案進(jìn)行獨(dú)立評價。本例中考察屬性已被確定為(G,G,C3),但權(quán)向量可以自由設(shè)計。設(shè)決 策者Di選用的權(quán)向量為附=(0.2, 0.3, 0.5),則其個人的序列矩陣、加權(quán)一致性矩陣和排序 結(jié)果分別為：小ClC2C3A?533A3

37、212a4344A5455Ae121A：00卬 2+W30WiA3卬 2Wi+w'3 000G = A400Wi卬 2+W30As000vvi W2+W3AeW'l+“'3 W2000第一位 第二位 第三位 第四位 第五位第一位第二位第三位第四位第五位a2000.800.2A30.30.7000A,000.20.80A50000.20.8Ac0.70.3000故決策者?！康呐判蚪Y(jié)果為：A6>A3>A2>/14>A5o類似地，我們有。2：卬2 = (0.3. 0.3, 0.4) f A(5 > A3 > A2 > A5 >

38、A4 或 46 >> 44 > A? > As°D3：卬3 = (0.2, 0.4, 0.4) f A3>A6>A4>4z>A5Da： vv4 = (0.3, 0.4, 0.3) f Ai>As>Az>Aa>AcD5：卬5 = (1/3, 1/3, 1/3) f A3>A6>4>A2>A4Z)(5：卬6 = (0.3, 0.2, 0.5) f 46 > A3 > A5 > A4 > A,2因?yàn)闆Q策者給出了兩個不同的排隊(duì)順序，故分別綜合如下2 3 4 5n XNAN

39、月A5 2 4 3 1A4 15 3 2A1 3 4 2 5A4 13 5 2A3 2 5 4 1z>3 2 4 5 1排名第1至第5位的分值,2 2 14 10334243102101010322443034對每一行的分值求和_ -88H分值結(jié)果L10195818故方案的排列順序?yàn)椋篈3>A6>An>A5>A4。采用后8A記分法排名第1至第5位的分值2 114 10334243122101000322443034對每一行的分值求和_ -88H分值結(jié)果L口197718AAdAAA3441452213124334545552331125212 3 4 s- d NX

40、/XH故方案的排列順序?yàn)椋篈3>A6>A?>A4例12. 3某專家組正負(fù)責(zé)優(yōu)秀論文的審評與選拔工作。該專家組由三位專家組成，記 為D4D3,待審的論文為五篇，記為A,A2,A3,A4,A5。評選工作分兩步進(jìn)行：第一步由 每一位專家對論文獨(dú)立考核，考核指標(biāo)為理論價值、實(shí)用價值和難易程度三個方面，記為 C15 C2, C3,其相對重要性商定為04 0.4, 0.2?？己私Y(jié)果以計分的形式（而不是以排序的形式） 給出。計分標(biāo)準(zhǔn)為10分制：非常好計10分，優(yōu)秀計9分，良好計7分，一般計5分，較差 計3分，很差計1分，非常差計0分。第二步由專家組集中各位專家的意見，以形成最后的 決議。專

41、家的計分結(jié)果如下表所示：PiCiCiJAi579A27107A3753A,355A5997DiCiC2GAi559977A353541574975D3CiC2GAi7779105A353545594977規(guī)范方式為:規(guī)范矩陣為:GC2Gd2GC2GAi0.34260.41830.6167Ai0.34260.39900.5947A：0.47960.59760.47960.61670.55870.4626A30.47960.29880.2056a30.34260.23940.3304AJ0.20560.29880.3426a40.06850.39900.4626A50.61670.53780.47

42、9640.61670.55870.3304。3GC2C3Ai0.43330.45960.4626A：0.55710.65650.3304A30.30950.19690.3304A40.30950.32830.5947450.55710.45960.4626(1)先綜合意見，后統(tǒng)一求解首先計算綜合的規(guī)范性決策矩陣：0=40= £力放其結(jié)果為I)GC2C3Ai0.37280.42560.5580A20.55110.60420.4927A30.37720.24500.2888A40.19450.34200.4666A50.59680.51870.4242然后計算加權(quán)的規(guī)范性決策矩陣:

43、87;=辦=叼聞，w = (0.4,0.4,0.2),其結(jié)果為I)/GC2C3Ai0.14910.17020.1116A：0.22040.24170.0985A30.15080.09800.0578A40.07780.13680.0933A50.23870.20750.08481 .簡單加權(quán)平均法:I)7GC2GAi0.1491070201160.4309A20.22040.24170.09850.5606A30.15080.09800.05780.3066A40.07780.13680.09330.3079A50.23870.20750.08480.5310結(jié)論：> 45 > A

44、i > 44> A3o2 .折衷算法：理想解：A- = (imxd, max dfi2 , max Jr/3) = (0.2390. 0.2417, 0.1116)；i/*/反理想解：4 = (mind'，mind%, mind%) = (0.0778, 0.0980, 0.0578)：與理想解距離：d： = (0.1149, 0.0228, 0,1770, 0,1932, 0.0434)；與反理想解距離：d = (0,1149, 0.2065, 0.0730, 0.0526, 0,1965)：綜合效用值：U(AJ = d； +4一) = (0.5000, 0.9005,

45、0.2920, 0.2140, 0.8191)。結(jié)論：Ai > As > 4 > A3 >(2)先個別求解，后綜合決策1 .簡單加權(quán)平均法：首先由每位專家獨(dú)立評價，其中對Q而言，其評價過程為C1(O.4)C：(0.4)G(0.2)不Ai0.34260.41830.61670.4277A?0.47960.59760.47960.5268As0.47960.29880.20560.3525A,0.20560.29880.34260.2703As0.61670.53780.47960.5577f D： A5 > A? > Ai > A3 >類似地，可以

46、求出D： Az>A5>Ai>A>AaD3： A? > 45 > A】> A4 > A3然后采用社會選舉方法，如Borda方法，求出專家組綜合排序結(jié)果。其過程為DDiDi。3EAi2226Az34411A31102A,0011A543310結(jié)論：A? > A5 > Ai > A3 > A2 .折衷算法：專家的加權(quán)規(guī)范矩陣及評價過程為5GC2C3Ai0.13700.16730.1233A?0.19180.23900.0959A30.19180.11950.0411A40.08220.11950.0685A50.24670.21510.0959理想解：A* = (0.2467, 0.2390, 0.1233)；反理想解：A-= (0.0822, 0.1195,0.0411)；與理想解距離：d： = jgd'盯尸=(0.1311, 0.0584, 0.1551, 0.2106, 0,0364)； 12.1選舉函數(shù)和福利函數(shù)與反理想解距離：d =也%-吟尸=(0.1097, 0.1711, 0.1096. 0.0274, 0.1980)； 綜合效用值：U(4)= 4-/(d： +1)= (0.4556,