第1課時(shí)直線的傾斜角與斜率(教師版)

1、第1課時(shí) 直線的傾斜角與斜率【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】1.在直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與軸相交的直線,把軸(正方向)按逆時(shí)針繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線重合所成的角,叫做直線的_,當(dāng)直線與軸平行時(shí),直線的傾斜角為_(kāi),傾斜角的取值范圍為_(kāi).2.若,則,兩點(diǎn)所在直線的斜率_.參考答案: 1.傾斜角, 2.【基礎(chǔ)自測(cè)】1.若一條直線的傾斜角為,則這條直線的斜率為( ) (A) (B) (C) (D)2.若一條直線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),則這條直線的傾斜角為( ) (A) (B) (C) (D)3.若經(jīng)過(guò),兩點(diǎn)的直線的斜率為,則( )(A) (B) (C) (D)4.以下說(shuō)法正確的是( )(A)直線的傾斜角增大時(shí),其斜率增大(B)直線的傾

2、斜角增大時(shí),其斜率減小(C)斜率為正的直線不可能經(jīng)過(guò)第四象限(D)過(guò)第一、二、三象限的直線斜率為正參考答案: 1.C 2.A 3.B 4.D【典例剖析】題型1: 傾斜角與斜率的概念例1 在下列四個(gè)命題中,正確的有_個(gè).(1)在坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線都有傾斜角和斜率；(2)直線傾斜角的取值范圍為；(3)若直線的傾斜角為,則此直線的斜率為；(4)若直線向上的方向與軸正方向所成角為,則直線的傾斜角為或.思路分析根據(jù)傾斜角與斜率的定義對(duì)各個(gè)命題逐一進(jìn)行判斷即可.解由于當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),其斜率不存在,故(1),(3)均不對(duì)；由傾斜角的定義可知直線傾斜角的范圍為,故(2)不對(duì)；對(duì)于(4),當(dāng)時(shí),直線的

3、傾斜角為,符合題意；當(dāng)直線向上的部分在軸左側(cè)時(shí),直線的傾斜角為,當(dāng)直線向上的部分在軸左側(cè)時(shí),直線的傾斜角為,符合題意；當(dāng)時(shí),直線的傾斜角為,符合題意；故(4)正確.綜上可知,正確的命題個(gè)數(shù)為.規(guī)律技巧掌握直線的傾斜角與斜率的概念是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.1已知直線的傾斜角的變化范圍為，求該直線斜率的變化范圍；思路點(diǎn)撥：已知角的范圍，通過(guò)正切函數(shù)的圖像，可以求得斜率的范圍，反之，已知斜率的范圍，通過(guò)正切函數(shù)的圖像，可以求得角的范圍解析：，總結(jié)升華：在知道斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍，或知道傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍時(shí)，可利用在和上是增函數(shù)分別求解.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)不存在時(shí)，.反之

4、，亦成立.變式訓(xùn)練下列敘述中不正確的是( )A.若直線的斜率存在,則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)B.每一條直線都有且只有一個(gè)傾斜角C.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角為或D.若直線的傾斜角為,則這條直線的斜率為；解:當(dāng)直線的傾斜角時(shí),沒(méi)有意義,從而可知D選項(xiàng)不正確,答案為D.2如圖，直線l經(jīng)過(guò)二、三、四象限，l的傾斜角為，斜率為k，則 ()Aksin>0 Bkcos>0Cksin0 Dkcos0解析：顯然k<0，<<，cos<0，kcos>0.答案：B變式：直線過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為 。（2010山東濰坊，模擬）直線的傾斜角的范圍是A B C D【答案】B

5、解析：由直線，所以直線的斜率為設(shè)直線的傾斜角為，則又因?yàn)椋?，所以題型2: 直線的斜率公式及其應(yīng)用2已知ABC為正三角形，頂點(diǎn)A在x軸上，A在邊BC的右側(cè)，BAC的平分線在x軸上，求邊AB與AC所在直線的斜率. 思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵點(diǎn)是求出邊AB與AC所在直線的傾斜角，利用斜率的定義求出斜率.解析：如右圖，由題意知BAO=OAC=30°直線AB的傾斜角為180°-30°=150°，直線AC的傾斜角為30°，kAB=tan150°= kAC=tan30°=總結(jié)升華：在做題的過(guò)程中，要清楚傾斜角的定義中含有的三個(gè)條件直線向上方向軸

6、正向小于的角，只有這樣才能正確的求出傾斜角.若三點(diǎn)共線,求實(shí)數(shù)的值.解:點(diǎn)共線,即.解得.變式訓(xùn)練變式：1.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線，則+的值等于_.答案：【變式1】如圖，直線的斜率分別為，則( )A BC D【答案】由題意，則本題選題意圖：對(duì)傾斜角變化時(shí)，如何變化的定性分析理解.選B.【變式1】過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，求的值【答案】由題意得：直線的斜率，故由斜率公式，解得或經(jīng)檢驗(yàn)不適合，舍去.故【變式2】為何值時(shí)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-，6)，(1，)的直線的斜率是12【答案】，即當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)的直線的斜率是123.若一個(gè)直角三角形的三條邊所在直線的斜率分別為k1，k

7、2，k3，且k1<k2<k3，則下列說(shuō)法中一定正確的是 ()Ak1k21 Bk2k31 Ck1<0 Dk20解析：結(jié)合圖形知，k1<0.答案：C5已知兩點(diǎn)A(1，5)，B(3，2)，若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是_解析：設(shè)直線AB的傾斜角為2，則直線l的傾斜角為，由于0°2180°，0° 90°，由tan2，得tan，即直線l的斜率為.答案：題型3: 直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用例3 設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,且,求的最大值和最小值.思路分析由消元可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解；由可看成點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率來(lái)求解.在此

8、,我們用后者.解在函數(shù)的圖像上的點(diǎn)為,的點(diǎn)為,又由于,故表示線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,而, 故的最大值為,最小值為.規(guī)律技巧本題將代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行了挖掘,是數(shù)形結(jié)合法的典型應(yīng)用,值得大家學(xué)習(xí)和借鑒.另外需要注意的是,本題中的在臨界狀態(tài)與之間,而有的題目可能在臨界狀態(tài)之外,需要注意體會(huì).6.已知兩點(diǎn)A(3,4)、B(3，2)，過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線的斜率k的取值范圍.(2)求直線的傾斜角的取值范圍.變式訓(xùn)練設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,且,求的取值范圍.解:在函數(shù)的圖像上的點(diǎn)為,的點(diǎn)為,又由于,故表示線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,而, 故或.10.若關(guān)于x的方程

9、|x1|kx0有且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：數(shù)形結(jié)合在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)ykx，y|x1|的圖象如圖所示，顯然k1或k0時(shí)滿足題意. 答案：k1或k011(2009·青島模擬)已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,2)，若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,6)，且與線段AB相交，則該直線傾斜角的取值范圍是_解析：如圖所示，kPA1，直線PA的傾斜角為，kPB1，直線PB的傾斜角為，從而直線l的傾斜角的范圍是，答案：，例6.已知兩點(diǎn)M(2，3)、N(3，2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)且與線段MN相交，則直線的斜率k的取值范圍是( ) A.k或k4 B.4k C. k4 D.k4【課時(shí)作業(yè)】一

10、、選擇題1.過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為( )(A) (B) (C) (D)答案:A. 因.2.若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為,則的值為( )(A) (B) (C) (D)答案:D. 由得.3.若過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角,則的取值范圍為( )(A) (B)(C) (D)答案:B. 由可得.4.下列各組中,三點(diǎn)共線的是( )(A)(B)(C)(D)答案:C. 由斜率公式計(jì)算可得答案.二、填空題5.若直線的傾斜角為,則該直線的斜率為_(kāi)；若直線的斜率不存在,則該直線的傾斜角為_(kāi).答案:,不存在.6.若點(diǎn)所在直線的斜率與點(diǎn)所在直線的斜率相等,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).答案:. 由得.7.已知直線的斜率分別為,若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

11、則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi).答案:. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則由題意可得,且,于是可解得.8.若將直線沿軸負(fù)方向平移三個(gè)單位,再沿軸正方向平移一個(gè)單位后,又回到了原來(lái)的位置,則原直線的斜率為_(kāi).答案:. 設(shè)是原直線上任意一點(diǎn),則平移兩次后的點(diǎn)也在原直線上,由此求得的斜率即可.三、解答題9.已知直線過(guò)點(diǎn),根據(jù)以下條件求實(shí)數(shù)的值.(1)直線的傾斜角為；(2)直線的傾斜角為；(3)點(diǎn)也在直線上.解:(1)因,故.(2)因,故.(3)因,故.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,求直線傾斜角的取值范圍.解:由題意可知函數(shù)的圖像是下圖中的曲線段,其中點(diǎn)分別為和.從而可求得:,于是直線的斜率滿足:或.又由于,且,故可得:

12、或,且.解得:或.另外,直線的傾斜角能取到.綜上可知,直線傾斜角的取值范圍為.一、選擇題1.直線與直線的位置關(guān)系是() A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合答案:B 由題意可知直線的斜率為,直線的斜率為,且,故兩直線垂直.2.過(guò)點(diǎn),且與平行的直線的方程為()A. B.C. D.答案:A 由于直線的斜率為,故所求直線方程為,也即是.3.若直線:與平行,則在兩坐標(biāo)軸上的截距和為()A. B. C. D.答案:C 由兩直線平行可得,再依次令得,令得,從而可得.4.過(guò)點(diǎn),且與垂直的直線的方程為()A. B.C. D.答案:D 由于直線的斜率為,故所求直線方程為,也即是.二、填空題5.若直線,的斜率分別是一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)根,則直線與的位置關(guān)系為_(kāi)答案:垂直 由韋達(dá)定理可知兩直線斜率之積為,故兩直線互相垂直.6. 若過(guò)兩點(diǎn)的直線平行于直線,則_.答案:. 由題知,故.7.若直線平行于,則的值為_(kāi).答案:或. 由兩直線平行可得:,解得或.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)或時(shí),兩直線均平行而不重合,符合題意.8.順次連接點(diǎn),及得到的四邊形為_(kāi)答案:直角梯形. 由四點(diǎn)坐標(biāo)可得四邊所在直線的斜率依次為:,. 從而可得,以及,故是直角梯形.三、解答題9.已知直線與直線:平行,且直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為,求直線的方程.解得）.故直