多元函數(shù)的無條件極值學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)的無條件極值多元函數(shù)的無條件極值第一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。0000( , )(,)(,)f x yf xyhkf xyxy001 (,)!nhkf xynxy0011(,)(1)!nhkf xh yknxy01LagrangeTaylor帶余項的二元公式第1頁/共32頁第二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。.首先回顧一元函數(shù)的極值問題9.多元函數(shù)的極值00()()0f xfx極小00()()0f xfx極大000 ()0()()0fxf xfx 極小000()0()()0fxf xfx極大第2頁/共32頁第三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。1.極值的定義與必

2、要性00000, ( )( )(),()()Def. ().nnfxUxU xxf xf xf xfxf 元函數(shù) 在的某個鄰域 中有定義,若都有則稱為 的一個 嚴(yán)格 極小值,稱 為 的一個嚴(yán)格 極小值點0000, ( )( )(),()()().xU xxf xf xf xfxf 若都有則稱為 的一個 嚴(yán)格 極大值,稱 為 的一個嚴(yán)格 極大值點第3頁/共32頁第四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。000012000 ,(),gThm.rad ()0.nnnfxxxxf xxff x元函數(shù) 在的某個鄰域中可微,極小 則 為 的一個駐點,即0000121Pro (),of.,nf xf x xx

3、x極小一元函數(shù)在 取到極小值010.fxx從而0,0,2,3,.kfxkxn 同理0grad ()0.f x于是第4頁/共32頁第五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。0022 ,(),( ,Remark:),(0,0),(0,0).f f xxf x yxyff對一般的函數(shù)極小不一定為駐點.例如極小但不是的駐點(偏導(dǎo)數(shù)不存在)0022 grad ()0,.,( , ),grad (0,0)0,(0,R0).emark:f xxff x yxyff但 不一定是 的極值點例如但不是 的極值點()().Remar,()() .k: 極大 小 值不一定是最大 小 值反之 最大 小 值一定是極大 小

4、值第5頁/共32頁第六頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。2.矩陣的正定性(),(),Tn nn nijPaMPP ,(),0,( )0.(),0,( )0.,0,0.TnTTTTn nnnPMPxxx PxPxxx PxPx yx PxDefy PPPy 設(shè)稱 正定 負(fù)定 若稱 半正定 半負(fù)定 若稱 不定 若,1:nTij iji jx Pxa x x二次型12,.Tnnxx xx第6頁/共32頁第七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。 , 0 0 0.Thm.Tn nPMPPPPPPP則正定的每個主子式的每個順序主子式半正定的每個主子式 000,0,01Remar(.k:),.PPPPP的

5、每個順序主子式不能推出 半正定例如每個順序主子式都等于但 半負(fù)定半正定 而非半正定第7頁/共32頁第八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。3.極值的充分條件12 D f.(ennf x xx設(shè) 元函數(shù), ,)二階連續(xù)可微,000012(,),nMxxx稱對稱矩陣0.fMHasse為 在點的矩陣0()fHM221fx212fx x 21nfx x 0M221fx x 222fx22nfx x 21nfxx22nfxx22nfx第8頁/共32頁第九頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。00001200000000000 (,),grad ()0,(1)(),().(2)(),().(3)(),()(

6、4)(),().(5)()0,(T m.h)fffffnnfxxxxf xHxf xHxf xHxf xHxf xHxf x元函數(shù) 在的鄰域中二階連續(xù)可微若正定 則嚴(yán)格極小若負(fù)定 則嚴(yán)格極大若不定 則不是極值.若0半正定 則不是極大值若半負(fù)定 則不是極小值第9頁/共32頁第十頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。Taylor,公式0( )()f xf x21212( )nnhhhf xxxx12012()nnhhhf xxxx00 (),01xxxx其中200,1()niji jijhhf xxxx x 12012()nnhhhf xxxx000grad ()0,Proof:iiif xhxx因

7、記,由多元函數(shù)的T0000()() ()fxxHxxxxx第10頁/共32頁第十一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。T0000()() ()fxxHxxxxx0( )()f xf x0(1)(),0.fHx若正定 則其各階主子式都f由 的二,階連續(xù)可微性00,xx存在當(dāng)時00()0,fHxxx的各階主子式都00()fHxxx即正定.0 xx從而當(dāng)且00, ( )()0.xxf xf x時0()f x即為嚴(yán)格極小值.00 (2)(1),(),0,fHxxx同可證 若負(fù)定 存在當(dāng)000,(),()fHxxxf x時負(fù)定為嚴(yán)格極大值.第11頁/共32頁第十二頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。0(

8、),. .nfHxy zst(3)若不定,則存在,*TT00()0,()0,ffy Hxyz Hx z0,0,fxx由 的二階連續(xù)可微性 存在當(dāng)時T00()0,fy HxxxyT00()0.fz Hxxxz001(0, ),2xxyxx 取則,且00000( )()()Tff xf xxxHxxxxx2T001()0.4fy Hxxxy0()f x故不是極大值.1.yz第12頁/共32頁第十三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。001,2xxzxx同理,取則,且0( )()0.f xf x0()f x故不是極小值.000,(),()fHxxxf x綜上不定不是極值.0()0,. .nfHxys

9、t(4)若半正定 則存在,*T0()0, 1.fy HxyyT00T00,()0.()().1,0(),0().1,20,0,()0,.ijnijffijiiijfiijjijfyy HxyHxayyjiy HxyayyaaaaHx 否則,記令則令則故矛盾第13頁/共32頁第十四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。00,xx同(3),存在當(dāng)時,001(0, ),2xxyxx 取則,且0().f x故不是極大值(5)(4).* 證法同Remark Hasse判斷多元函數(shù)的駐點是否為極值點,關(guān)鍵在于研究函數(shù)在這一點的矩陣的正定性.T00()0.fy Hxxxy0 ( )()0,f xf x,特別地

10、 對二元函數(shù)有如下定理:第14頁/共32頁第十五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。000( , )(,)Thm.f x yMxy設(shè)在的鄰域中二階連續(xù)可微,00grad (,)0,f xy記22200022()()(),f Mf Mf MABCxx yy 2001)0,0,(,)AACBf xy則 若則嚴(yán)格極小.2002)0,0,(,)AACBf xy若則嚴(yán)格極大.2003)0,(,).ACBf xyf若則不是 的極值Proof. 200,0().fAACBHM負(fù)定200()fACBHM不定.0()fH M ,A BB C200,0().fAACBHM正定第15頁/共32頁第十六頁，編輯于星期

11、一：十八點 四十七分。200 0,(Rema,k:)rACBf xyf當(dāng)時可能不是 的極:f值,也可能是 的極大值或極小值.例如(0,0)fH ( , )f x y23xy222xx y222xx y20002000(0,0)2000f不是 的極值點.f是 的極小值點.f是 的極大值點第16頁/共32頁第十七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。0000 (,)R(,emark:).fHxyf xy半正定不蘊含極小0000(,)(,).fHxyf xy半負(fù)定不蘊含極大(0,0)fH ( , )f x y23xy2000半正定2000半負(fù)定(0,0)f不是 的極值點23xyf不是 的極值點Rema

12、rk:ff求函數(shù) 的極值,先求出 的所有駐點,再逐個判斷他們是否為極值點.第17頁/共32頁第十八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。4.例題22222410 10: xyzxyz 確例定隱函數(shù):解視方程Step1. ( ,.:)zz x y分求的駐點析Step2.Hasse.求駐點處的矩陣,判斷是否為極值點( , ).( , ).zz x yz x y求的極值222224100 xyzxyz( , ),zz x yxy中分別對 和 求偏導(dǎo) 得 22240 (1)22240 (2)xxyyxzzzyzzz第18頁/共32頁第十九頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。于是 22240 (1)222

13、40 (2)xxyyxzzzyzzz11,.22xyxyzzzz( , )(1, 1),2,6.x yzz 駐點為對應(yīng)或(1),x y分別對求偏導(dǎo) 得222240,xxxxxzzzz2240,x yxyxyz zzzz(2),y對 求偏導(dǎo) 得222240.yyyyyzzzz第19頁/共32頁第二十頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。( , , )(1, 1, 2)x y z 當(dāng)時,222240,xxxxxzzzz2240,x yxyxyz zzzz222240.yyyyyzzzz1/4,0,1/4.xxxyyyAzBzCz20,0,AACB2.z 故為極小值( , , )(1, 1,6)x y

14、 z 當(dāng)時,1/4,0,1/4.xxxyyyAzBzCz 20,0,6. AACBz故為極大值第20頁/共32頁第二十一頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。22()22 ():.xyfxye求2的極值例Step1, : 解求駐點.由22(0,0)1.xy得駐點或Step2. Hasse求矩陣,極值判斷22()222222(1 3)4(1)xyxxfxyxxye22()222 (1)0 xyxfxxye22()222 (1)0 xyyfyxye22()222222(13)4(1)xyyyfxyyxye22()224(2)xyxyfxyxye 第21頁/共32頁第二十二頁，編輯于星期一：十八點 四

15、十七分。( , )(0,0),x y當(dāng)時2,0,2.xxxyyyAfBfCf20,0,(0,0).AACBf極小221,xy當(dāng)時211214,4,4.Ax eBxyeCy e 20,( , ).f xACBy不能直接判斷是否為極值22,txy令1(1)0.ge 1( )1(1).g ttge在時有極大值221( , )1.f x yxye從而當(dāng)時有極大值( )(1)01.tg tt et由得駐點則22()22( , )()( )xytf x yxyeteg t( )(2),tg tte第22頁/共32頁第二十三頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。2( , )(0,0)( , )(0,0)lim

16、0,:sinx yf x yfAfxy例3連續(xù).22,: 0,fxy由 的連續(xù)解性 存在當(dāng)時2( , )(0,0)sin20.f x yfA xy(0,0). f故為 的極小值點2( , )(0,0)sRiemark: n,f x yfxy若(0,0).f判斷是否為 的極值點2( , )(0,0),2sinf x yfAxy(0,0)則不是嚴(yán)格極小值點.第23頁/共32頁第二十四頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。22 2( , )(0,0)( , ),lim1. (0,0)?):(x yf x yxyffxy連例續(xù)是否極值( , )(0,0)lim( , )0,x yf x yxy解:(0,

17、0)0.f220,xy存在,當(dāng)時22 222 231()( , )() .22xyf x yxyxy, n于是對充分大的241 112,0,fn nnn2422111616,(1)0.fnnnnnn (0,0). f故不是極值第24頁/共32頁第二十五頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。22 ( , )1.,.xxyyu x yxyuuu在上連續(xù)可微*例221, ( , )0.:xyu x y且當(dāng)時求證221) ( , )0,1.u x yxy222) ( , )0,1.u x yxy22 1),( ,:)u x yxy若不然 則連續(xù)函數(shù)在有界閉集解10.上的最小值00(,),uxy設(shè) 在處取

18、到最小值 則00221(,)min( , )0.xyu xyu x y00221,xy第25頁/共32頁第二十六頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。記00(,)xyu最小值點也是 的極小值點,則000000(,),(,),(,).xxxyyyAuxyBuxyCuxy20,ACB0.AC 從而,xxyyuuu另一方面 由有()Hasse否則矩陣不定00(,)0.ACu xy0,0,0.ACA C于是且不同時為0,0AC當(dāng)時,00(,),uABHxyBC0負(fù)半定00(,).uxy在不是極小值矛盾第26頁/共32頁第二十七頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。000(,),00uAHxy0負(fù)半定00(

19、,)u xy 不是極小值.矛盾.,0,0,AC同理時0000(,)0uHxyC0負(fù)00, (,)u xy半定不是極小值.矛盾.22, ( , )0,1.u x yxy綜上0,0,AC當(dāng)時20,0.ACBB因必有于是第27頁/共32頁第二十八頁，編輯于星期一：十八點 四十七分。222211(2)= min( , ), max (),yxxyxyu x yee記0,0.則令( , )( , )().2yxv x yu x yee22( , )1,v x yxy則在上連續(xù)可微 且22, 1.xxyyvvvxy22( , )0, 1.v x yxy(1),由中結(jié)論22( , )0, 1.v x yxy于是,22( , )()0, 1.2yxu x