梯子模型(軌跡的探究)

1、走進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室系列用幾何畫板探究“梯子模型”茂名一中數(shù)學(xué)科組 楊金光【片段摘抄】我們將目光落在梯子模型中的MAB的費(fèi)馬點(diǎn)上（或許大家覺得奇怪，怎么會(huì)想到這個(gè)點(diǎn)呢？其實(shí)沒(méi)什么，只是去年有道高考題涉及到費(fèi)馬點(diǎn)，從而產(chǎn)生試試這個(gè)點(diǎn)的想法），卻發(fā)現(xiàn)，它的軌跡一直是我想要的（哈，套用了孫儷的廣告詞）一、 幾何畫板軟件簡(jiǎn)介幾何畫板是一個(gè)適合數(shù)學(xué)和物理學(xué)科輔助教學(xué)的工具，它能為老師和學(xué)生提供一個(gè)觀察和探索數(shù)學(xué)圖形或物理現(xiàn)象內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。幾何畫板最大的特色是“動(dòng)態(tài)性”，即用鼠標(biāo)拖動(dòng)圖形上的任一元素（點(diǎn)、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系都保持不變。學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測(cè)并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)

2、現(xiàn)的過(guò)程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明，因而也極易激發(fā)或培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。相關(guān)鏈接1：兩位美國(guó)中學(xué)生用幾何畫板發(fā)現(xiàn)了“任意等分線段”的新方法，在美國(guó)引起轟動(dòng)效應(yīng)。我國(guó)東北吉林石化實(shí)驗(yàn)學(xué)校的初二學(xué)生關(guān)雪揚(yáng)、黃卉、劉馨，又在兩位美國(guó)中學(xué)生的基礎(chǔ)上，加以改進(jìn)、推廣，得到了另一種“等分線段”的新方法。相關(guān)鏈接2：我國(guó)東北育才中學(xué)馮偉同學(xué)，利用幾何畫板，在“蝴蝶定理”的基礎(chǔ)上，將一個(gè)圓推廣到兩個(gè)圓，從而發(fā)現(xiàn)了“廣義蝴蝶定理”。二、“梯子模型”探究1、什么叫“梯子模型”如下圖，一根長(zhǎng)度一定的梯子斜靠在豎直的墻上，當(dāng)梯子底端滑動(dòng)時(shí)，探究梯子上某點(diǎn)（如中點(diǎn)）或梯

3、子構(gòu)成圖形上的點(diǎn)的軌跡的模型，就是所謂的梯子模型。 “梯子模型”是個(gè)探究性很強(qiáng)的模型。大陸稱它為“定長(zhǎng)桿問(wèn)題”，臺(tái)灣師范大學(xué)陳創(chuàng)義教授稱它為“等棍問(wèn)題”。巧的是，我們的高中數(shù)學(xué)必修課本里也出現(xiàn)了“梯子模型”。它源自于我們課本的一道題：“定長(zhǎng)為2a的一條線段，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x,y軸上滑動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡?！蹦敲矗@個(gè)梯子模型，會(huì)給我們帶來(lái)些什么呢？會(huì)有意外的驚喜嗎？正所謂“一沙一世界”，當(dāng)筆者帶領(lǐng)同學(xué)們走進(jìn)“梯子模型”這個(gè)世界時(shí)，就好象忽然來(lái)到一座開滿鮮花的山上，我們隨手摘一朵，都是不知名的花兒，我們陶醉了2、上帝是數(shù)學(xué)家？ 我們是無(wú)神論者，由于在探究梯子模型過(guò)程中得到的點(diǎn)的軌跡五花八門，

4、結(jié)果又出乎人的意料，仿佛來(lái)自上帝之手，讓人不得不承認(rèn)，原來(lái)上帝也偏愛數(shù)學(xué)，上帝是不折不扣的數(shù)學(xué)家。 下面我們與學(xué)生一起，先利用幾何畫板軟件，畫出“定長(zhǎng)為2a的一條線段，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x,y軸上滑動(dòng)”的這個(gè)梯子模型，然后再去探究梯子模型的點(diǎn)的軌跡。（1）探究梯子及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)的軌跡橢圓規(guī) 梯子中點(diǎn)的軌跡（圓，見圖1） 梯子非中點(diǎn)的軌跡（橢圓, 見圖1） 梯子延長(zhǎng)線上點(diǎn)的軌跡（橢圓，見圖1）相關(guān)鏈接3：人們利用梯子模型的特性，發(fā)明了“橢圓規(guī)”。有了它，同學(xué)們就可以象用圓規(guī)畫圓那樣，輕易地畫出橢圓了。 （圖1） (圖2)（2） 探究梯子本身的軌跡利用幾何畫板的跟蹤功能，跟蹤梯子本身，我們得到一

5、個(gè)星形。（見圖2）星形，太漂亮了，她來(lái)得太突然了,我們一點(diǎn)思想準(zhǔn)備都沒(méi)有。她常在清涼夏夜閃亮登場(chǎng)，她是退潮時(shí)海灘浪漫的海星。相關(guān)鏈接4：星形線。它的直角坐標(biāo)方程是:,參數(shù)方程是:.星形線有著廣泛的應(yīng)用.如公共汽車折疊式的門開與關(guān)時(shí),就劃出星形線.這種門能比普通門節(jié)約了更多空間，使車輛載更多的乘客。相關(guān)鏈接5:星形線的另一種形成方法.一個(gè)小圓在一個(gè)大圓內(nèi)滾動(dòng),小圓上某一固定點(diǎn)形成的軌跡.星形線是內(nèi)擺線.如右圖.（3） 探究梯子上與某線垂直相交的交點(diǎn)（垂足）的軌跡如果我們過(guò)平面上任一點(diǎn)Q作梯子AB的垂線，垂足P的軌跡會(huì)是什么呢？ Q的位置不特殊（軌跡有點(diǎn)象導(dǎo)彈，見圖3） Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合（軌跡是玫瑰

6、線，或稱梅花，見圖4） （圖3） （圖4）哈，難以想象，一個(gè)人類最可惡的東西（導(dǎo)彈）和一個(gè)人類最可愛的東西（玫瑰）居然會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在梯子模型中，且是通過(guò)同一方法得到，正與邪只不過(guò)是一念之差，一紙之隔。我們由得到了玫瑰，自然愛不釋手，于是突發(fā)奇想：變形1：把墻與地面弄成不垂直，垂足軌跡會(huì)是什么？（不是吧，居然是古代女孩子頭發(fā)上蝴蝶結(jié)。難怪此圖一出，女同學(xué)馬上尖叫起來(lái)了。見圖5）變形2：墻與地面依然垂直，只是把梯子作平行滑動(dòng)，跟蹤中得到的軌跡,形成了色彩斑斕的蝴蝶，見圖6。 （圖5） （圖6）初步的探究,讓我們驚喜頻頻.我們仿佛看到,在一個(gè)開滿鮮花的山上,一個(gè)頭戴蝴蝶結(jié)的小姑娘,正在追逐著一只色彩斑

7、斕的蝴蝶。不知不覺，天已暗下來(lái)，星星卻掛滿了天幕。正是這種驚喜，使我們倍受鼓舞。坐在山坡上，一陣陣花香飄來(lái)，我們精神為之一振，決心乘勝追擊，擴(kuò)大戰(zhàn)果。（4） 探究三角形的各種心的軌跡珠江三角洲、長(zhǎng)江三角洲的富裕發(fā)達(dá)，眾所周知。梯子模型，好象也有好幾個(gè)三角洲（形）喲，我們會(huì)滿載而歸嗎？三角形的內(nèi)心軌跡（設(shè)Q是平面上任一點(diǎn)）a)QAB的內(nèi)心P的軌跡i)將Q拖至M處（P點(diǎn)軌跡是正方形，見圖7）意外，太意外，剛才軌跡都還是曲的，現(xiàn)在突然成了方的。這難道是暗示著“方與圓的既矛盾又統(tǒng)一”辯證法原理？ii)將Q拖至O處（P點(diǎn)軌跡是“×”形，見圖8。）這就怪了，怎么出現(xiàn)一個(gè)“×”形，難道這

8、是梯子模型中的禁區(qū)？我們無(wú)意中闖了進(jìn)來(lái)，有打擾之處，還請(qǐng)多多見諒。iii)將Q在平面上拖動(dòng)（會(huì)變出許多圖形，見圖9） （圖7） （圖8） （圖9）b) QAM的內(nèi)心P的軌跡i) Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合（軌跡好象蜘蛛俠的“眼鏡”？見圖10）是不是闖進(jìn)了梯子模型的禁區(qū)，我們都變成蜘蛛俠了？ii) Q在x軸上（P點(diǎn)軌跡象顆花生,見圖11） （圖10） （圖11）三角形的內(nèi)心，著實(shí)讓我們的內(nèi)心澎湃，梯子模型太神奇了，一會(huì)兒圓，一會(huì)兒方，一會(huì)兒變成了蜘蛛俠，讓我們好象跨越了時(shí)空，在宇宙中翱翔。那么，三角形的其它心呢？外心、旁心、重心、垂心、界心，它們的軌跡又是什么？由于篇幅所限，我們就不在這里展開探究了。有興趣

9、的同學(xué)，可以自己去試試。 探究三角形中特殊的心-費(fèi)馬點(diǎn)的軌跡我們將目光落在梯子模型中的MAB的費(fèi)馬點(diǎn)上（或許大家覺得奇怪，怎么會(huì)想到這個(gè)點(diǎn)上呢？其實(shí)沒(méi)什么，只是去年有道高考題涉及到費(fèi)馬點(diǎn)，從而產(chǎn)生試試這個(gè)點(diǎn)的想法），卻發(fā)現(xiàn)，它的軌跡一直是我想要的（哈，套用了孫儷的廣告詞）。如圖12。 （圖12） 茂名一中校徽我們一直想要的，就是在我們茂名一中50周年校慶之際，用我們數(shù)學(xué)特有的圖形語(yǔ)言，表達(dá)我們對(duì)學(xué)校的愛。我們無(wú)意中，找到的茂名一中?；盏耐庑?。相關(guān)鏈接6：在一個(gè)多邊形中，到每個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)多邊形的費(fèi)馬點(diǎn)。（5）探究角平分線與AM交點(diǎn)軌跡設(shè)N是y軸上高過(guò)B點(diǎn)的點(diǎn)，角NBM的平分線與

10、AM交點(diǎn)（軌跡是心形,見圖13）角MOA平分線與AM交點(diǎn)（軌跡是無(wú)窮大“”形,哈，這個(gè)結(jié)論還挺數(shù)學(xué)的。見圖14） （圖13） （圖14）天啊，這樣的結(jié)果太意外了。上帝居然將一個(gè)偌大的心形，隱藏在這個(gè)再普通不過(guò)的梯子模型中。這難道有什么居心？是不是想告訴我們，大家只要齊心（ ），力量就無(wú)窮大（）呢？相關(guān)鏈接7：韓劇嫂子19歲中的浪漫主義數(shù)學(xué)天才承宰就是通過(guò)愛的方程式：17x2-16|x|y+17y2=225 傳達(dá)他對(duì)女友柳敏的感情的。而這個(gè)方程式用幾何畫板畫出來(lái)，就是右圖。3、 神奇的彩色世界色彩幾何？幾何畫板不但有極強(qiáng)的動(dòng)態(tài)探究功能，更有極強(qiáng)的色彩表現(xiàn)功能。如果運(yùn)用得當(dāng)，我們可以得到一個(gè)更加神

11、奇、連畫家都自嘆不如的色彩世界。讓我們用幾何畫板跟蹤圖7中的正方形吧。方法是：（1）量度圖7中一些線段的長(zhǎng)x；（2）構(gòu)造x的函數(shù)值（如x-trunc(x)，tan(x)等） ;(3)由計(jì)算得到的值與要表現(xiàn)色彩的點(diǎn)進(jìn)行顏色相關(guān)；（4）滑動(dòng)梯子AB，跟蹤正方形。由于構(gòu)造出的圖形色彩細(xì)膩、均勻，常伴有各種花紋、臉譜，比如罕見的水果、孫悟空臉譜等,簡(jiǎn)直讓人匪思，猶如七仙女手舞仙筆彩帶，在天地間飛舞、作畫。（1） 單變量與顏色相關(guān)算式：PO-trunc(PO)；得到圖形：圓系。如圖15算式：PM-trunc(PM)；得到圖形：街心花園。如圖16算式：PS-trunc(PS)；得到圖形：豬都笑了。如圖17

12、。 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，S是角MOA平分線上的一點(diǎn)。 （圖15） （圖16） （圖17）（2） 雙變量與顏色相關(guān)算式：sin(PA+PB)；得到圖形：星系。如圖18.算式：sin(PA)+sin(PB)-truncsin(PA)+sin(PB)；得到圖形：神奇“水果”、“地毯”。如圖19算式：tan-1(PA)-tan-1(PB)-trunc tan-1(PA)-tan-1(PB) ；得到圖形：四把劍鋒相對(duì)的倚天劍。如圖20 （圖18） （圖19） （圖20） 怎么樣，上面這樣圖，你能畫得如此美麗、精細(xì)、神奇嗎？或許你會(huì)說(shuō)“不”。但下面一組圖，一定會(huì)讓你目瞪口呆，進(jìn)而大嘆不已雙變量中的臉譜世界：

13、算式：sin(PT)+cos(PU)-truncsin(PT)+cos(PU)；圖形：中年孫悟空。其中U，T分別在y軸正半軸和負(fù)半軸上。如圖21算式：sin(PT)+cos(PU)×0.618-truncsin(PT)+cos(PU)×0.618；得到圖形：少年孫悟空。如圖22。算式：sin(PT)+cos(PU)×1.618-truncsin(PT)+cos(PU)×1.618；得到圖形：老年孫悟空。如圖23。 （圖21） （圖22） （圖23） 細(xì)心的同學(xué)，或許在算法里發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神奇的數(shù)字，不錯(cuò)，就是黃金分割率0.618或1.618.（3） 三變量與顏色相關(guān)算式：sin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618-truncsin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618；得到圖形：居然