行列式的性質(zhì)ppt課件

1、一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211證明證明 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式記記ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定義按定義 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺紻可表示為可表示為 .12121 nppptnaaaD故故.

2、TDD 證畢證畢 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 nijnpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為

3、排排列列njippppt,11tppppnij的逆序數(shù)為設(shè)排列則有則有即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 證畢證畢,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)

4、，等于用數(shù) 乘此乘此行列式行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的

5、元素都是兩數(shù)之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變素上去，行列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjn

6、jninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如 1201135001561234D 322141120112011201015101510151015601560007123400330033rrrrrrD34120101512100330007rr 1 1111 234 1 36 1018. 4 10 20D 例433221433243rrrrrrrrrrrr1 1111 1 111 2340 1 23 1 36 100 1 361 4 10 200 1 4 101 1 1 11 1 1 10 1 2 30 1 2 3

7、 10 0 1 30 0 1 30 0 1 40 0 0 1 D解 ：例例2101044614753124025973313211 D二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122

8、rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一

9、列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna1111000000332211aaaaaaD432100000000013210000000112100000003213322133221342312aaaaaaaaaaaaaDCCCCCC3214aaa例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkppp

10、ppD 設(shè)為設(shè)為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)11DkrrDji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì)22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)設(shè)為為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作運(yùn)運(yùn)，再再對(duì)對(duì)后后行行作作運(yùn)運(yùn)算算的的前前對(duì)對(duì)DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立的對(duì)列也同樣

11、成立). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值從而算得行列式的值三、小結(jié)三、小結(jié)行列式的行列式的6個(gè)性質(zhì)個(gè)性質(zhì)思考題思考題階行列式階行列式計(jì)算計(jì)算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知思考題解答思考題解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa1111

12、11111111122223 . 0 2222222222222222(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)aaaabbbbDccccdddd1223342222272523(1)272523(1)272523(1)272523(1)ccccccaaaabbbbDccccdddd122322222223(1)2223(1)02223(1)2223(1)ccccaabbccdd例例 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式解解naaa 11111111121), 2 , 1,0(niai nnnnaaaaaaaaaaa11111111111121212

13、11 原原式式ninininaaaaaaaaaaa111111111111112221 每每列列加加到到第第一一列列nnnnaaaaaaaaaaa1111111111112121211 原原式式100010111)11(21ninaaaaa 每每行行減減去去第第一一行行.)11(1 inaaa nnninaaaaaaaaa11111111111)11(2221 用遞推法計(jì)算用遞推法計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成兩個(gè)行列式之和拆成兩個(gè)行列式之和列把列把依第依第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxan

14、n .1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開列展開第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續(xù)下去，可得如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時(shí)時(shí)，還還可可改改寫寫成成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 1201135001561234D 112131122321233123nnnnnxaaaxxaaDxxxaxxxx 1201135001561234D 32214112011201120101510151015101560156