初中數(shù)學(xué)：勾股定理的多種證明 (1)

1、.初中數(shù)學(xué)：勾股定理的多種證明勾股定理的證明方法1做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。勾股定理的證明方法2以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于二分之一ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直

2、線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90º, AEH + BEF = 90º. HEF = 180º90º= 90º.四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90º, EHA + GHD = 90º.又 GHE = 90º, DHA = 90º+ 90º= 180º. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于a+b的平方。a加b的平方等于4

3、乘二分之一ab，加上c的平方。 .a的平方加b的平方等于c的平方。勾股定理的證明方法3以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于二分之一ab。把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀。 RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90º， EAB + HAD = 90º， ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90º. EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于b減a的平方。 4乘二分之一ab加上，b減a的平方等于c的

4、平方。 a2+b2=c2(說明a2為a的平方)。勾股定理的證明方法4以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于二分之一ab。把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90º, AED + BEC = 90º. DEC = 180º90º= 90º. DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于二分之一c2.又 DAE = 90º, EBC = 90º, ADBC. ABCD是一個直角梯形，它的面積

5、等于1/2(a+b)2.1/2(a+b)2=2x1/2ab+1/2c2. .a2+b2=c2.勾股定理的證明方法5做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點P. D、E、F在一條直線上,且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180º90º= 90º.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個邊長為c的正方形. ABC

6、 + CBE = 90º. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90º.即 CBD= 90º.又 BDE = 90º，BCP = 90º，BC = BD = a. BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則a2+b2=S+2 x 1/2xabc2=S+2x1/2 x ab a2+b2=c2.勾股定理的證明方法6做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊

7、形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QPBC，交AC于點P.過點B作BMPQ，垂足為M；再過點F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90º，QPBC， MPC = 90º， BMPQ， BMP = 90º， BCPM是一個矩形，即MBC = 90º. QBM + MBA = QBA = 90º，ABC + MBA = MBC = 90º， QBM = ABC，又 BMP = 90º，BCA = 90º，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】

8、勾股定理的證明方法7做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過C作CLDE，交AB于點M，交DE于點L. AF = AC，AB = AD，F(xiàn)AB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于1/2乘a2，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，矩形ADLM的面積 =a2.同理可證，矩形MLEB的面積 =b2.正方形ADEB的面積= 矩形ADLM的面積 +矩形MLEB的面積c2=a2+b2，即a2+b2=c2.勾股定理的證明方法8如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CDAB，

9、垂足是D.在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90º，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 AC2=AD·AB.同理可證，CDB ACB，從而有BC2=BD·AB .AC2+BC2=(AD+DB)·AB=AB2 ，即a2+b2=c2.勾股定理的證明方法9做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，D

10、E交AF于H. BAD = 90º，PAC = 90º， DAH = BAC.又 DHA = 90º，BCA = 90º，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA是一個矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB =CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA .又 DGT = 90º，DHF = 90º，GDH = GDT +

11、TDH = HDA+ TDH = 90º， DGFH是一個邊長為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為勾股定理的證明方法10設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號（如圖）. TBE = ABH = 90º， TBH = ABE.又 BTH = BEA

12、 = 90º，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90º，DBC + BHT = TBH + BHT = 90º， GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90º，勾股定理的證明方法11在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因為BCA = 90º，點C在B上，所以AC是B的切線. 由切割線定理，得AC2=AE·AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2,即b2=c2-a2, a2+b2=c2勾股定理的證明方法12在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）.過點A作ADCB，過點B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有AB·DC=AD·BC+AC·BD， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，AB2=