cht12VaR的計(jì)算方法

1、VaR的計(jì)算方法Cht 13風(fēng)險價值VaR的計(jì)算 VaR的計(jì)算方法有多種,適用于不同的市場條件,數(shù)據(jù)水平和精度要求,大體上可以歸為以下三種: 歷史模擬方法（Historical Simulation Method） 方差-協(xié)方差方法（VarianceCovariance Method） 蒙特卡羅方法（Monte Carlo Simulation Method）。金融風(fēng)險管理 閆海峰8.2歷史模擬法(Historical simulation 歷史模擬法是假設(shè)金融市場上未來收益率的分布與過去的歷史分布相同，利用金融資產(chǎn)損失的歷史數(shù)據(jù)模擬獲得資產(chǎn)的風(fēng)險值VaR. 該方法是基于經(jīng)驗(yàn)分布的一種方法，他

2、不需要對資產(chǎn)收益的分布做任何假設(shè),直接利用資產(chǎn)或市場因子的歷史價格數(shù)據(jù)來模擬未來情景,將市場因子或資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)當(dāng)作未來可能的情景集，然后將情景集中的資產(chǎn)價格排序后得到水平分位數(shù)，即可得到VaR值。 金融風(fēng)險管理 閆海峰8.3金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.4歷史模擬法步驟金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.5以歷史模擬法步驟算出風(fēng)險值 金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.6歷史模擬法(1) 債券風(fēng)險計(jì)算為例: (1)確定風(fēng)險因子：國內(nèi)債券的風(fēng)險因子為利率。 (2)選取歷史期間的長度 (3)搜集利率的資料，并計(jì)算每日利率波動的程度，及其所有相對應(yīng)之收益分佈。 (4)將所有相對的債券收益按大小依序排列，計(jì)算其機(jī)率并繪成直方

3、圖，模擬出未來的收益分布。 (5)選定所要估計(jì)之置信水平，在該百分位數(shù)之價值即為此債券之風(fēng)險值。 金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.7金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.8歷史模擬法(2) 假設(shè)今日以60元買入南京銀行的股票1萬張共60萬元，我們只可以找到過去101個交易日的歷史資料，求在95%置信水平之下的日風(fēng)險值為何？金融風(fēng)險管理 閆海峰8.9 根據(jù)過去101日南京銀行之每日收盤價資料，可以產(chǎn)生100個報(bào)酬率資料。 將100個報(bào)酬率由小排到大找出到倒數(shù)第五個報(bào)酬率（因?yàn)橹眯潘綖?5%），在此假設(shè)為-4.25%。 -4.25% * 600,000 =-$25,500 所以VaR= $25,500，因此明日在95

4、%的機(jī)率下，損失不會超過$ 25,500元。金融風(fēng)險管理 閆海峰8.10影響風(fēng)險值的重點(diǎn) 使用歷史模擬法要有大量的歷史資料，才有辦法精確的敘述在極端狀況下（如99%的置信水平）的風(fēng)險值 。 歷史資料中能捕捉到的極端損失的機(jī)率低于正常損益的機(jī)率，量多而且具有代表性的資料的取得就相形重要。 歷史模擬法更可以勾勒出資產(chǎn)報(bào)酬分布常見的厚尾、偏態(tài)、峰態(tài)等現(xiàn)象，因此計(jì)算歷史價格的時間（與資料的多寡有關(guān)）是影響風(fēng)險值的一個重點(diǎn)。 金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.11歷史模擬法的特點(diǎn)與優(yōu)缺點(diǎn)方法方法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn)對于所有商品的風(fēng)險值估 算具精確度可描繪出完整的收益分布圖不需要附加關(guān)于統(tǒng)計(jì)分步的假設(shè)估算速度較蒙特卡羅

5、模擬 法快（模擬情境較少）需要較長的價格歷史資料歷史資料可能無法模擬 未來情況置信水平水平太高時估 算精確度較差極端事件無法捕捉金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.12優(yōu)點(diǎn):不需要加關(guān)于資產(chǎn)報(bào)酬的假設(shè) 利用歷史資料，不需要加關(guān)于資產(chǎn)報(bào)酬的假設(shè)，可以較精確反應(yīng)各風(fēng)險因子的概率分布特性，例如一般資產(chǎn)報(bào)酬具有的厚尾、偏態(tài)現(xiàn)象就可能透過歷史模擬法表達(dá)出來。 金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.13優(yōu)點(diǎn):不需分布的假設(shè) 歷史模擬法是屬于無母數(shù)法的一員，不須對資產(chǎn)報(bào)酬的波動性、相關(guān)性做統(tǒng)計(jì)分布的假設(shè)，因此免除了估計(jì)誤差的問題；況且歷史資料已經(jīng)反應(yīng)資產(chǎn)報(bào)酬波動性、相關(guān)性等的特征，因此使得歷史模擬法相較于其他方法，較不受到模型風(fēng)險的

6、影響。 金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.14優(yōu)點(diǎn):完全評價法 不需要類似Delta-Normal的方法以簡化現(xiàn)實(shí)的方式，利用趨近求解的觀念求取進(jìn)似值；因此無論資產(chǎn)或投資組合的報(bào)酬是否為常態(tài)或線性，波動是否隨時間而改變，Gamma風(fēng)險等等，皆可采用歷史模擬法來衡量其風(fēng)險值。金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.1512.2 VaR 的精確度 在歷史模擬法中，對于交易組合價值變化分布的計(jì)算是基于過去發(fā)生的有限的觀察值，歷史模擬法對于分布的分位數(shù)的估計(jì)并不是絕對準(zhǔn)確。 肯德爾( Kendall) 及斯圖爾特 (Stuart )的研究成果給出了由抽樣數(shù)據(jù)計(jì)算出的概率分布的 分位數(shù)的置信區(qū)間。假定概率分布的第 q 個分位數(shù)的

7、估計(jì)值為 x ，這一估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為： n 為觀察值的個數(shù) ;f(x) 為對應(yīng)于損失量為耳的損失分布的密度函數(shù)值11qqfxn 假如我們采用 500 個觀察數(shù)據(jù)來估計(jì)損失分布的 99%分位數(shù)，這時 n = 500 ，q = 0. 99 ,我們可以 采用標(biāo)準(zhǔn)分布來對經(jīng)驗(yàn)分布進(jìn)行匹配，并由此求得f(x)的近似值。假定經(jīng)驗(yàn)分布服從正態(tài)分布，其期 望值為 0 ，標(biāo)準(zhǔn)差為1 000 萬美元。在 Excel 中， 99%分位數(shù)所對應(yīng)的數(shù)值為 NORMINV ( O. 99 ，0 1 000) =2326 萬(美元)， f(x) 對的數(shù)值為 NORMDIST (23.26 ，0 ，10 ，F(xiàn)ALSE) =0.

8、0027 ，分位數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為 假如采用歷史模擬法求取的 0.99 分位數(shù)的估計(jì)值為2500 萬美元，在 95%的置信程度下 VaR 的置信區(qū)間為 2 500 - 1.96 x 167 至 2500 + 1.96 x 167 ，2170 萬美元至 2830 萬美元。隨著置信程度的提高，標(biāo)準(zhǔn)差也不斷增大。標(biāo)準(zhǔn)差隨著抽樣數(shù)據(jù)數(shù)量的增加會有所降低，但降低的速度僅僅與數(shù)據(jù)量的平方根成反比。10 .9 90 .9 911 .6 7$0 .0 0 2 75 0 0M12.3 歷史模擬法的推廣 歷史在某種意義上是對將來的一種指導(dǎo)。 12.3.1 對觀察值設(shè)定權(quán)重 Boudoukh 等建議對最近的觀察數(shù)據(jù)賦

9、予更大的權(quán)重，這可以保證模型充分反映當(dāng)前市場披功率以及當(dāng)前市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化。類似于 EWMA 模型，情景i的權(quán)重為： 將所有的觀察值由最壞到最好進(jìn)行排序，由損失最壞的情形開始，累積計(jì)算每一項(xiàng)權(quán)重的和，當(dāng)權(quán)重總和達(dá)到某指定分位數(shù)界限時，停止計(jì)算，此時的損失數(shù)值即為VaR?？梢酝ㄟ^實(shí)驗(yàn)不同的 ，并在回溯檢驗(yàn)中選取最佳匹配。11n in12.3.2 在歷史模擬法中包含波動率的更新 約翰赫爾和艾倫懷特建議使得在歷史模擬法中可以包括更新的波動率的計(jì)算方法。 假定 是 的兩倍，這意味著我們對某市場變量今天的波動率的估計(jì)為第i-1 天的波動率估計(jì)的兩倍，因此可以預(yù)見今天到明天的變化量也應(yīng)該是從第 - 1

10、天到第 i天變化量的兩倍，由此第i天的市場變量：由此方法計(jì)算的99%VaR 為 591640 美元，這大約是由標(biāo)準(zhǔn)法計(jì)算出的 VaR 的兩倍。in1111niiiinivvvvv12.3.3 自助法 (Bootstrap Method) 由Efron（1979）于Annals of Statistics所發(fā)表的統(tǒng)計(jì)推論技巧，是近代統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展上極重要的一個里程碑。 其概念是利用樣本資料重復(fù)抽取，以模擬出總體的分布，再由模擬出來的總體特質(zhì)進(jìn)行估計(jì)與檢定，因此并不需要總體的實(shí)際分布為何。 Bootstrap法最適用于當(dāng)樣本數(shù)有限，以重覆抽樣原有樣本的方式，來求得較精確的抽樣分布。而在執(zhí)行上常需借助于

11、現(xiàn)代快速的電腦，所以隨著電腦運(yùn)算能力的發(fā)展， Bootstrap法的應(yīng)用也就越來越廣泛。金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.20Bootstrap法的步驟 將201筆歷史價格資料轉(zhuǎn)換成200筆的歷史價格變化量。 之后Bootstrap法對這200筆變動量進(jìn)行10,000次（或以上次數(shù)）的重覆取樣，因此產(chǎn)生10,000組的價格變動量值與報(bào)酬率，就可以建立一個資產(chǎn)損益報(bào)酬率的可能分布。 再將此10,000個報(bào)酬率由小到大排列，根據(jù)置信水平選取的分位數(shù)所在的報(bào)酬率，再乘上今天的資產(chǎn)價格，就可以求得以Bootstrap法調(diào)整的歷史模擬法風(fēng)險值。 對于計(jì)算值從小到大進(jìn)行排列，假如名列第 25 0位的 VaR 值為

12、530 萬美元，名列第 9750 位的 VaR 值為 890 萬美元，那么對應(yīng)于 95%置信水平的置信區(qū)間范圍為 530 萬 -890 萬美元金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.21金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.22極值理論 極值理論用于觀察變量x的經(jīng)驗(yàn)分布的右尾特征（觀察左尾可以考慮x ） 在分布的右尾選擇一個數(shù)值u 然后采用Gnedenko的結(jié)果， Gnedenko的結(jié)果闡明，對于多種概率分布，隨著u的增加，概率分布趨向于廣義 Pareto 分布。概率分布為位于u和u+y之間并且大于u的條件概率分布vNoImage12.4 極值理論 Gnedenk在1943 年證明了極值理論的一個主要結(jié)論，這一結(jié)論可以描述

13、多種概率分布的尾部狀態(tài)。假定 F( v) 為變量 u 的累積分布函數(shù)(例如，在一段時間段上組合的損失)， u 為 v右端尾部的一個數(shù)值 ，v 介于 u 與 u+y(yO) 之間的概率為 F(u+y) -F(u) ，v 大于 u 的概率為 1 -F(u) ，定義 Fu (y) 為在 vu 條件下 ，v 介于 u 與 u +y 之間的條件概率 數(shù)量 Fu (y)定義了右端尾部的概率分布，這一數(shù)量是在 vu 條件之下，變量超出 u 的累積概率 分布。 Gendenko 的結(jié)果闡明，對于多種概率分布 F( v)，分布 Fu(Y) (隨著 u 的增加)趨向于廣義Pareto 分布，廣義 Pareto分布

14、的累積分布函數(shù)為 1uF uyF uFyF u 1,11yGy 這一分布中的兩個參數(shù) 必須通過數(shù)據(jù)得以估計(jì)，參數(shù) 與分布的形狀有關(guān)，這一參數(shù)決定了尾部分布的肥瘦( heavines）時，參數(shù) 是分布的規(guī)模因子。 參數(shù) 和 的估計(jì) 我們可以采用最大似然法來估計(jì)參數(shù) 和 ，將式(12-3 )對 y 求導(dǎo)，我們可以 得出概率分布的密度函數(shù)，即： 首先我們選定數(shù)值 u，這一數(shù)值可能同實(shí)證分布( empirical distribution) 中的 95%的分位數(shù)較為接近近。將所有大于 u 的 v 觀察值按從大到小進(jìn)行排序，假定在所有觀察值中有nu抽樣大于u,將這些觀察值命名為 vi ，則似然函數(shù)為：,

15、 1uin 11,11ygy 即： 對尾部分布估計(jì)在 vu 的條件下 ，vu+y 的概率分布為 ； vU 的模率分布為 1-F(u) ，因此 vu+y 的無條件概率分布為 如果 n 為觀察值的總數(shù)量，由實(shí)證數(shù)據(jù)所得出的對于 1-F( u) 的估計(jì)值為 nu/n ，因此 vx(xu)的無條件概率為：11111uniivu1111ln1uniivu ,1Gy ,11F uGy 11,Pr11uunnxuob vxGxunn 12.4.4 與冪律的等價性 令 即：u1Pr1unxobvxn1,unkxkn12.4.5 左端尾部左端尾部分，可以變換 -v并用以上方法求得左端的尾部分布。Tail Pro

16、babilities widely so holdslaw power the why explains thereforetheory value Extreme where)Prob(law power the to scorrespond this that see we Settingis than greater is variable the thaty probabilit cumulative the for estimator Our-11/1/1nnKKxxvuuxnnx vuuRisk Management and Financial Institutions 3e, C

17、hapter 14, Copyright John C. Hull 20122712.4.6 計(jì)算 VaR 和預(yù)期虧損為了計(jì)算對應(yīng)于置信水平為 q 的 VaR ，我們需要對以下方程求解F(VaR) = q：預(yù)期虧損為：1111uunVaRuqnnVaRuqn1V a Ru12.5 極值理論的應(yīng)用 關(guān)于u的選擇 一個經(jīng)驗(yàn)法則是保證 u 近似等于實(shí)證分布中的 95%的分位數(shù)(在我們考慮的數(shù)據(jù)中，實(shí)證分 布中的 95% 的分位數(shù)為 168.6) ，對 最佳值進(jìn)行求解時，我們要保證這些參數(shù)為正，如果優(yōu) 化程序?qū)⑵湓O(shè)為負(fù)值，這可能是由于 (a) 分布的尾部不比正態(tài)分布更為肥大; (b) 對參數(shù) u 的

18、選取不當(dāng) 。, 作業(yè)題 P192頁 12.4,12.11，12.12，12.17金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.30缺點(diǎn):資料的品質(zhì)與代表性 龐大歷史資料的儲存、校對、除錯等工作都需要龐大的人力與資金來處理，如果使用者對于部位大小與價格等資訊處理、儲存不當(dāng)，都會產(chǎn)生不利結(jié)果。 有些標(biāo)的物的投資資料取得不易，例如未上市公司股票的價格、新上市公司股票的歷史資料太短、有的流動性差的股票沒有每日成交價格等。 若某些風(fēng)險因子并無市場資料或歷史資料的天數(shù)太少時，模擬的結(jié)果可能不具代表性，容易有所誤差。 金融風(fēng)險管理 張學(xué)功8.31缺點(diǎn):極端事件的損失不易模擬 主要的理由就是重大極端事件的損失比較罕見，無法有足夠的資料來模擬損失分布 。 極端事件發(fā)生期間佔(zhàn)