【教案】《簡單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計(2)教學(xué)設(shè)計-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)（人教A版2019必修第一冊）

1、5.5.5簡單的三角恒等變換（2）教學(xué)設(shè)計（一）教學(xué)內(nèi)容 輔助角公式的推導(dǎo)，以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。（二）教材分析 1. 教材來源 本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1第五章第5節(jié)簡單的三角恒等變換第2課時。本節(jié)主要利用兩角和差的正弦、余弦公式進行簡單的恒等變換,以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。2. 地位與作用 本節(jié)的內(nèi)容仍然是用例題來展現(xiàn)的,通過例題的解答,引導(dǎo)學(xué)生對變換對象和變換目標(biāo)進行對比、分析,促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據(jù)問題的條件進行公式變形,逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認識,從而加深理解變換思想,提高學(xué)生的推理能力。學(xué)生們利用學(xué)過的

2、公式獨立推導(dǎo)出輔助角公式，并清楚系數(shù)間的一般關(guān)系，并且會確定輔助角的三角函數(shù)值；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)逐漸學(xué)會針對實際問題，可以選擇合適的函數(shù)模型。（三）學(xué)情分析 1.認知基礎(chǔ)： 學(xué)生已經(jīng)掌握了兩角和差的正余弦公式以及三角函數(shù)圖象及性質(zhì)。2.認知障礙： 學(xué)生對問題中涉及的變換對象及目標(biāo)進行觀察和對比分析，如何根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認識。（四）教學(xué)目標(biāo) 1. 知識目標(biāo)：通過三角恒等變形，將形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為，靈活利用公式進行簡單的恒等變形,解決函數(shù)的最值周期、單調(diào)性等問題，體會三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.2.能力目標(biāo)：在整個推導(dǎo)過程中體會化歸、方程、

3、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力；通過自主探究和互相討論交流，進一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力；通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對問題中涉及的變換對象及目標(biāo)進行觀察和對比分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認識.素養(yǎng)目標(biāo)：提高學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。（五）教學(xué)重難點：1. 重點：將形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為；三角恒等變形的應(yīng)用。2. 難點：引導(dǎo)學(xué)生對問題中涉及的變換對象及目標(biāo)進行觀察和對比分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中

4、體現(xiàn)的逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認識，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。（6） 教學(xué)思路與方法 1） 確定好研究問題的路徑 從特殊到一般進行歸納，概括，總結(jié)；2）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模過程，由具體到抽象。（7） 課前準(zhǔn)備 多媒體（八）教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié)：新課引入教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖問題1我們學(xué)習(xí)了兩角和差的正、余弦公式，請同學(xué)們默寫，并利用公式展開和。復(fù)習(xí)兩角和差的正、余弦公式，同學(xué)們對和進行展開并觀察先從學(xué)生們熟悉的內(nèi)容入手，為后面一般形式的推導(dǎo)做鋪墊。教學(xué)環(huán)節(jié)：新知探究教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖問題 探究輔助角公式研究2：思考：對于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我們知道，對于一元二

5、次方程ax2+bx+c=0(a0)，設(shè)其判別式為=b2-4ac，它的解按照0,=0，0分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的解集我們也分這三種情況進行討論.活動1：師板書問題： 。 生： 師繼續(xù)板書問題： 請同學(xué)們觀察和前面的兩個式子有什么聯(lián)系？生：都是之前的2倍師：那結(jié)果呢？生：也應(yīng)該是之前的2倍，即 師繼續(xù)板書問題： 請同學(xué)們觀察和剛才的兩個式子有什么聯(lián)系？生：式一應(yīng)該是之前的倍，式二是之前的倍，因此 師:觀察上述幾個式子中右邊的常系數(shù)與左邊常系數(shù)有什么關(guān)

6、系？生：認真觀察分析，右邊系數(shù)的平方等于左邊兩個系數(shù)的平方和。師：請同學(xué)們猜想若，其中，則A=？生：異口同聲答5.師:請同學(xué)們嘗試證明一下。生： 師：那角是任意角嗎？生：不是，師：對完成情況予以點評、肯定和鼓勵?；顒?：師板書問題：請同學(xué)們填空，將下列所有形式均變?yōu)樾问剑?其中， 其中， 其中， 其中，生：獨立完成并同桌相互檢查?；顒?：師提問：形如的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為嗎？如果可以A和和之前的進行比較有變化嗎？生：小組交流完成后匯報。師：點評，鼓勵 活動5：師提問：請同學(xué)們判斷下列式子是否可以變形成Asinx+A>0的形式，若可以請寫出對應(yīng)的和，若不可以請說明理由，你有機發(fā)現(xiàn)？1 生：小組內(nèi)

7、交流并匯報師：點評，鼓勵 活動6：求函數(shù)的周期，最大值和最小值生獨立完成解：這種形式我們在前面見過，所以，所求的周期，最大值為，最小值為問題串的設(shè)置，逐步引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的具體的三角函數(shù)切入，層層遞進探索如何將形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式。并清楚將形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為時，可以先快速確定A，通過提取系數(shù)再結(jié)合兩角和差的正弦公式確定，同學(xué)們可以合作完成活動4中老師提出的問題，并清楚將形如的函數(shù)除轉(zhuǎn)化為形式外，還可以轉(zhuǎn)化為的形式，A不變，與之前的反了。需要結(jié)合兩角和差的正、余弦公式確定，同學(xué)們可以合作完成活動5中老師提出的問題，并清楚只有形如的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為形式，前后兩個角必須一致，且只能是加減法。同學(xué)們會研究

8、形如的函數(shù)的性質(zhì)問題。教學(xué)環(huán)節(jié)：例題解析教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖例1：，則（ ）A B C D.例2：已知函數(shù)（1）求證的最小正周期和最值；（2）求這個函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。例3：如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形記求當(dāng)角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積例1：生獨立完成；例2：師生一起分析完成，老師要給出詳細的板書示范例3：師：要求當(dāng)角取何值時，矩形ABCD的面積S最大，先找出S與之間的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最值生：找S與之間的函數(shù)關(guān)系得到：S=AB·BC=(cossin)sin=sincos-sin2師：引導(dǎo)學(xué)生

9、求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(x+)型的三角函數(shù)求最值解：在RtOBC中，BC=cos，BC=sin，在RtOAD中，=tan60°=，所以O(shè)A=DA=BC=sin所以AB=OB-OA=cossin設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB·BC=(cossin)sin=sincossin2=sin2+cos2-=(sin2+cos2)-=sin(2+)-由于0<<，所以當(dāng)2+=，即=時，S最大=-=因此，當(dāng)=時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為活動2：師：請同學(xué)們嘗試如果沒有POC=，還有其他的函數(shù)關(guān)系可以研究嗎？生：設(shè)AD=x，S=x().師：大家會求最值嗎？生：不會。（引導(dǎo)促進學(xué)生對函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點）例1，2幫助學(xué)生熟悉并爭強信心，進而快速掌握三角恒等變換的在輔助角公式中的應(yīng)用。例3打造學(xué)生建模能力，經(jīng)歷從實際情景中抽象出三角函數(shù)的過程，引出解決此類問題的思想方法。教學(xué)環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)P229習(xí)題5.