運(yùn)用圓錐曲線第二定義解題

1、運(yùn)用圓錐曲線第二定義解題圓錐曲線第二定義：動(dòng)點(diǎn)m與定點(diǎn)f的距離和它到直線的距離的比為e，則當(dāng)0<e<1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是拋物線；當(dāng)e>1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是雙曲線。一般來說，凡與圓錐曲線上點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率有關(guān)的問題，經(jīng)常考慮第二定義，因而，運(yùn)用圓錐曲線第二定義解題是最基本、最一般的方法，且圓錐曲線第二定義具有豐富的解題功能，在解題中不僅起到簡捷明快的作用，而且能優(yōu)化解題，下面舉例加以說明。一、求軌跡方程例1、 求經(jīng)過定點(diǎn)m(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程。解：由題意，知橢圓在y軸的右側(cè)，如圖1所示，設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)

2、，為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓第二定義有： 即又點(diǎn)m（1，2）在橢圓上，即有 ， 簡化得故，所求橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程為二、求最值問題例2、已知定點(diǎn)a（3，2），p是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，f是右焦點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求p點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：本題若按照常規(guī)方法建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則極其繁瑣。觀察焦半徑的系數(shù)與離心率的關(guān)系，借助于第二定義轉(zhuǎn)化，并結(jié)合平面幾何知識求解則相對容易許多。解： 設(shè)p到右準(zhǔn)線的距離為d，則, ,這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求一點(diǎn)p，使p到點(diǎn)a的距離與到右準(zhǔn)線的距離和和最小。如圖2即直線pa垂直于準(zhǔn)線時(shí)合題意。此時(shí)的最小值為，且例3、已知橢圓，過焦點(diǎn)不垂直于x軸和弦交橢圓于a、b兩點(diǎn)，ab的垂

3、直平分線交x軸于n，求|nf|：|ab|的值。解：如圖3，由a、b向準(zhǔn)線引垂線aa，bb，由a向bb作垂線ad，d為垂足，則 由定義知 同理 由得 三、求弦長例4、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)a、b，求線段ab的長。解：如圖4，由拋物線定義可知，|af|等于點(diǎn)a到拋物線準(zhǔn)線的距離|aa|，設(shè)，則，同理，于是得 由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為f（1，0），所以直線ab的方程為將方程代入拋物線方程，得于是|ab|=6+2=8四、求范圍例5、以雙曲線的右焦點(diǎn)f為焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的橢圓，截直線所得的弦恰被x軸所平分，求k的取值范圍。解：由雙曲線方程得橢圓的焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為設(shè)橢圓上任意一點(diǎn),離心率為，則即由得又因截得的弦恰被x軸所平分關(guān)于y的方程的兩根之和為零，即 即 又，例6、已知雙曲線，左右焦點(diǎn)分別為，左準(zhǔn)線為，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)p，使得是p到的距離d與的等比中項(xiàng)，求離心率e的