離散型隨機變量及其概率分布

1、1一、離散型隨機變量及其概率分布一、離散型隨機變量及其概率分布 對于離散型隨機變量對于離散型隨機變量X X，它的取值有限個或無限可列個，它的取值有限個或無限可列個. .我們我們關心的問題是：關心的問題是：X X的所有可能的取值是什么？取每一個值的概的所有可能的取值是什么？取每一個值的概率是多少？將這兩個問題綜合起來就是概率分布率是多少？將這兩個問題綜合起來就是概率分布. . 2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量D.r.v.及其概率分布及其概率分布1 1. .概率分布的定義概率分布的定義 定義定義：若離散型隨機變量：若離散型隨機變量X 所有可能的取值為所有可能的取值為 x 1 , x 2 , ,

2、 對應的概率為對應的概率為 p 1 , p 2 , ， 稱稱 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1)為隨機變量為隨機變量 X 的的概率分布概率分布或或概率函數(shù)概率函數(shù)或或 分布律分布律.注注（1）為了直觀，概率分布表示為：）為了直觀，概率分布表示為：X x 1 x 2 x n P p1 p2 pn (2) (X=x1 ), (X=x2 ), , (X=xn) ，構成完備事件組構成完備事件組.2 2 2. .概率分布的性質概率分布的性質(1) pk0， k = 1,2, ； 11)2(kkpP (X= xk ) = pk , k = 1, 2, 注意注意：任一任一具有上述

3、兩個性質的數(shù)列具有上述兩個性質的數(shù)列pk ，都都有資格作為有資格作為某一個隨機變量某一個隨機變量 X 的分布列。的分布列。這是判別某個數(shù)列是否成為分布列的充要條件！這是判別某個數(shù)列是否成為分布列的充要條件！用于驗證用于驗證概率函數(shù)概率函數(shù)的正確與否。的正確與否。練習練習1 下面給出的是不是概率函數(shù)？下面給出的是不是概率函數(shù)？1 1(1) ()( ) ,0,1,2,2 31(2) ()( ) ,1,2,2kkP XkkP Xkk解解0(1) ()kP Xk 由由于于1(2)()( )0,1,2,2kP Xkk 由由于于k0k)31(21 43311121 k0k)31(21 所以這不是概率函數(shù)所

4、以這不是概率函數(shù)因此這是概率函數(shù)因此這是概率函數(shù)1()kP Xk 且且121121)21(k1k 練習練習2設隨機變量設隨機變量X的的概率函數(shù)為概率函數(shù)為 求求 c 的值的值2()( ) ,1,2,33kP Xkck 解解 由性質知由性質知232221(1)(2)(3)( )( )( )333P XP XP Xccc3827c 解得解得5例例1 1 擲一枚擲一枚骰子骰子，求出現(xiàn)的點數(shù)的概率分布，求出現(xiàn)的點數(shù)的概率分布及及P(X3) . 解：設解：設X表示出現(xiàn)的點數(shù)，則表示出現(xiàn)的點數(shù)，則 X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6

5、)=1/6.所以，所以，X的概率分布為：的概率分布為： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.或或X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3 3. .會求概率分布及相關概率會求概率分布及相關概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2練習：書練習：書P35，例，例1 求分布律求分布律6 例例2 2 袋中有袋中有5 5個黑球、個黑球、3 3個白球，每次從中取一個，不放回，個白球，每次從中取一個，不放回，直到取到黑球為止直到取到黑球為止. . 求取到白球數(shù)目求取到白球數(shù)目X X的概率分布，并求的概率分布，并求P(-1X

6、0)，P(1X3)， P(X3).解：解：X=0，1，2，3 P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 351587565832558765632151876556概率分布為：概率分布為：X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56=0=P(X=2)=5/56=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 17若離散型隨機變量若離散型隨機變量X的的概率分布為：概率分布為：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, I )( )(kkxkIxkpxXPIXP則則若離散型隨機變量若離散型隨機變量X X的概率分布為：的概率分布為： )x

7、X()bXa(bxaii bxaibxaiiip)xX(P)bXa(P bxaibxaiiip)xX(P)bXa(P 則：則：證明：證明： 由概率的可加性知：由概率的可加性知： 解解 由題知由題知X 的的概率函數(shù)概率函數(shù)為為1 2 3 4 5Xpk1/15 2/15 3/15 4/15 5/15則則 (1)P(X =1 或或X =2)=(2) P ( X )=(3) P( 1 X 2)=P(1X 2)=2125P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5P(X=2)= 2/15P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5P(X=1 )+P(X=2)= 1/1

8、5 + 2/15=1/5練習練習設隨機變量設隨機變量X的的概率函數(shù)為概率函數(shù)為(),1,2,3,4,515kP Xkk 求求 (1)P(X =1 或或X =2)；(2) P ( X )； (3) P( 1 X 2)，P(1X 2)2125會求離散型隨機變量的概率分布（確定常數(shù)）；會求離散型隨機變量的概率分布（確定常數(shù)）；已知離散型隨機變量的概率分布，會求隨機變量的取值落在一已知離散型隨機變量的概率分布，會求隨機變量的取值落在一個范圍的概率；個范圍的概率；要求：要求：10二、二、 常用離散分布常用離散分布 1. 1. 退化分布退化分布若若 X 的概率分布為：的概率分布為：P ( X = a )

9、= 1 , a 為某一常數(shù)為某一常數(shù), 則稱則稱 X 服服從從 a 處的退化分布處的退化分布.此時隨機變量退化成了一個常數(shù)此時隨機變量退化成了一個常數(shù). .11若若X的概率分布為：的概率分布為：X 0 1 P 1- 1-p pP( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0p1) 2. 2.兩點分布兩點分布則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的兩點分布的兩點分布.注注0-1分布中分布中X的實質：的實質：設設P(A)=p，X“一次試驗中一次試驗中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)”，則，則X服從服從0-1分分布布.甲投籃的投中率為甲投籃的投中率為0.40.4，一次投籃中投中的次數(shù)，一次投籃中

10、投中的次數(shù)X X的分布？的分布？練習：練習：X 0 1P 0.6 0.4若若X服從服從x1=1 , x2=0 處參數(shù)為處參數(shù)為p的兩點分布，則稱的兩點分布，則稱X服從服從0-1分布。分布。另如另如 1 1o o 進行一次射擊進行一次射擊，設事件，設事件A =擊中擊中 ， P(A)= p 隨機變量隨機變量X=一次一次射擊射擊中中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X0-1分布分布(p) 2 2o o 進行一次投籃進行一次投籃，設事件，設事件A=投中投中， P(A)= p 隨機變量隨機變量X=一次一次投籃投籃中中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則X0-1分布分布(p)3 3o o 從一批產(chǎn)品中任意抽取一個

11、進行檢驗，從一批產(chǎn)品中任意抽取一個進行檢驗， 設事件設事件A=廢品廢品，P(A)= p ，隨機變量隨機變量X=一次一次抽取抽取中中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X0-1分布分布(p)例：例：拋擲硬幣的試驗中，設事件拋擲硬幣的試驗中，設事件A =正面向上正面向上 ， P(A)= p 隨機變量隨機變量 X=一次拋擲中一次拋擲中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X0-1分布分布(p)13若若X的概率分布為：的概率分布為： P (X = xk ) = 1/n , k = 1, 2, , n .且當且當 i j 時，時， x i x j ，則稱則稱 X 服從離散型服從離散型均勻分布均勻分布.例例 擲一枚

12、擲一枚骰骰子，出現(xiàn)的點數(shù)子，出現(xiàn)的點數(shù)X服從均勻分布服從均勻分布. . 3. 3. 均勻分布均勻分布P(X=k)=1/6 k=1，2，3，4，5，6.X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/614若若X表示表示“n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)”， X的可能取的可能取值為值為0,1,2, , n ,對應的概率分布為：對應的概率分布為：(), kkn knP XkC p qk = 0, 1, 2, , n. ( 0p 0 為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，簡記為簡記為X P( ). 定義定義

13、隨機變量隨機變量 X的概率分布為的概率分布為 (), 0, 1, 2,!kP Xkekk( (滿足二屬性滿足二屬性) ) 5. 5. 泊松泊松分布分布泊松分布的圖形泊松分布的圖形kO12 P( )泊松分布泊松分布( )1 2 345 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 240.120.100.080.060.040.02P( )特征如右圖所示特征如右圖所示. .注注： 歷史上，歷史上， 泊松泊松分布是作為二分布是作為二項分布的近似，項分布的近似，于于18371837年由法國數(shù)學家泊松引入的年由法國數(shù)學家泊松引入的. .泊松分布產(chǎn)生的一般條件泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和現(xiàn)

14、實生活中，在自然界和現(xiàn)實生活中， 常遇到在常遇到在隨機時刻隨機時刻出現(xiàn)的某種事件出現(xiàn)的某種事件. .把在隨機時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為把在隨機時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為隨機事件流隨機事件流. . 若隨機事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件若隨機事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為流為泊松事件流泊松事件流( (泊松流泊松流).).平穩(wěn)性平穩(wěn)性在任意時間區(qū)間內，在任意時間區(qū)間內，事件發(fā)生事件發(fā)生k次次)0( k的概率只依賴于區(qū)間長度而與區(qū)間端點無關的概率只依賴于區(qū)間長度而與區(qū)間端點無關. .無后效性無后效性在不相重疊的時間段內，事件的發(fā)生相互獨立在不相重疊的

15、時間段內，事件的發(fā)生相互獨立. .普通性普通性如果時間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的如果時間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計概率可忽略不計. .下列事件都可視為泊松流：下列事件都可視為泊松流：某電話交換臺一定時間內收到的用戶的呼叫數(shù)；某電話交換臺一定時間內收到的用戶的呼叫數(shù)；到某機場降落的飛機數(shù)；到某機場降落的飛機數(shù)；某售票窗口接待的顧客數(shù)；某售票窗口接待的顧客數(shù)；一紡錠在某一時段內發(fā)生斷頭的次數(shù)；一紡錠在某一時段內發(fā)生斷頭的次數(shù)；對泊松流，對泊松流，在任意時間間隔在任意時間間隔), 0(t內，內， 事件發(fā)事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為生的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，的泊松分布

16、， 稱為稱為泊松流的強度泊松流的強度. . 泊泊松松分布的優(yōu)點：有關計算可查表分布的優(yōu)點：有關計算可查表.泊松分布常與單位時間（單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計數(shù)過泊松分布常與單位時間（單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計數(shù)過程相聯(lián)系程相聯(lián)系. .28例例1 1 設設X P( 5 ) ，求求P（X =2）P（X=5） P（X=20）=0.084224=0.1754670.00000029例例2 某電話交換臺每分鐘收到的用戶呼喚次數(shù)某電話交換臺每分鐘收到的用戶呼喚次數(shù) X X 服從參數(shù)服從參數(shù) =3=3的的泊松分布，寫出泊松分布，寫出X X的概率分布，并求一分鐘內呼喚的概率分布，并求一分鐘內呼喚5 5次的概

17、率次的概率. .解：解： X的概率分布為的概率分布為35! 53)5(eXP33 (), 0, 1, 2,!kP Xkekk1008190.也可以求一分鐘內呼喚次數(shù)不超過也可以求一分鐘內呼喚次數(shù)不超過5次的概率次的概率P(X5).50(5)()0.916kP XP Xk 30每月的銷售數(shù)量為每月的銷售數(shù)量為X，則則X P(5 ).例例3（書（書P40，例，例7） 由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)量可由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)量可以用參數(shù)以用參數(shù) = =5 5的泊松分布來描述，為了以的泊松分布來描述，為了以9595以上的把握保證以上的把握保證不脫銷，問商店在

18、月初至少應進該商品多少件？（假定上個月沒不脫銷，問商店在月初至少應進該商品多少件？（假定上個月沒有存貨）有存貨）解：解：事件事件“不脫銷不脫銷”即（即（ X m） 查表知，查表知，m=9 .設商店在月初至少應進該商品設商店在月初至少應進該商品N N件件. .現(xiàn)已知現(xiàn)已知P(X m） 95% 505()95%!kNkp Xmek85050.9319060.95!kkek95050.9681720.95!kkek泊松分布的圖形泊松分布的圖形二項分布的圖形二項分布的圖形二項分布與泊松分布的關系二項分布與泊松分布的關系（2）二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似泊松定理泊松定理1nnkkkn knnnn

19、nnAp ,nnp,k,lim P Xk limCp(p )ek! 在在 重重伯伯努努利利實實驗驗中中，事事件件 在在每每次次實實驗驗中中發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為如如果果時時，則則對對任任定定理理( (泊泊松松定定理理) )意意給給定定的的有有二項分布二項分布 泊松分布泊松分布n n很大很大, , p p 很小很小注注： 00 11n10kkknknnpb( n, p )n)p( p. )( np )e.kp ()!pnp 當當二二項項分分布布的的參參數(shù)數(shù) 很很大大（，而而 很很小小時時，可可用用參參數(shù)數(shù)為為的的泊泊松松分分布布C C來來近近似似，即即書：書：np 10 1033 解：解： X

20、 “該單位患有這種疾病的人數(shù)該單位患有這種疾病的人數(shù)”，則則X b(5000,0.001) . .P(X2)= 500014999500010.9990.001 0.999C X可以可以近似地服從參數(shù)為近似地服從參數(shù)為 = n p=5 的泊松分布的泊松分布 P(X 2） 15051!kkek 例例4 已知某種疾病的發(fā)病率為已知某種疾病的發(fā)病率為1/10001/1000，某單位共有，某單位共有50005000人，問人，問該單位至少有該單位至少有2 2人患有這種疾病的概率有多大？人患有這種疾病的概率有多大？所求的概率為：所求的概率為：=1-0.006738-0.03369=0.95957234 例

21、例5 某人向某目標射擊，命中率為某人向某目標射擊，命中率為0.2 0.2 . .現(xiàn)在不斷地進行射擊，直現(xiàn)在不斷地進行射擊，直到命中目標為止，求命中時射擊次數(shù)的分布到命中目標為止，求命中時射擊次數(shù)的分布. .解：解：X表示表示“命中目標時的射擊次數(shù)命中目標時的射擊次數(shù)”，則，則X=1，2，(X= =k)表示射擊到第表示射擊到第k次才命中目標，即次才命中目標，即前前k-1次次不中，第不中，第k次擊中次擊中. .由獨立性可求出：由獨立性可求出： P(X=k)=(1-0.2)k-1 0.2 k =1,2,35若若X的概率分布為：的概率分布為：P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k

22、= 1, 2, 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的幾何分布的幾何分布. 例例11 設某批電子管的合格品率為設某批電子管的合格品率為0.750.75，現(xiàn)對該批電子管進行，現(xiàn)對該批電子管進行有放回地測試，設第有放回地測試，設第X X次首次測到合格品，求次首次測到合格品，求X X的概率函數(shù)的概率函數(shù) . . X 的可能取值為：的可能取值為：1, 2, .事件事件 (X = k ) 表示表示“第第 k 次才測到合格品次才測到合格品”，則，則P (X = k ) = 0.25 k - - 1 0.75, k = 1, 2, 解：解：幾何分布滿足概率分布的二屬性幾何分布滿足概率分布的二屬性. .

23、6. 6. 幾何分布幾何分布在獨立試驗序列中在獨立試驗序列中P(A)=p, X “事件事件A 首次發(fā)生時所需的試驗次數(shù)首次發(fā)生時所需的試驗次數(shù)”.注注X G( p)記記作作 解解 用X表示汽車因遇紅燈而停止前所經(jīng)過的交叉路口數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4.X=0表示第一個路口是紅燈，所以PX=0=0.4,而X=1 表示第一個路口是綠燈而第二個路口是紅燈，所以 ，同理(1)0.6 0.40.24P X 2(2)0.60.40.144P X 3(3)0.60.40.0864P X 4(4)0.60.1296P X 例例1 1 某汽車將要經(jīng)過的路線上有某汽車將要經(jīng)過的路線上有4 4個交叉

24、路口個交叉路口. .假設在每個假設在每個交叉路口遇到紅燈的概率都是交叉路口遇到紅燈的概率都是0.40.4，且各路口的紅綠燈，且各路口的紅綠燈是相互獨立的是相互獨立的. .求該汽車在因遇到紅燈而停止前所經(jīng)過求該汽車在因遇到紅燈而停止前所經(jīng)過的交叉路口個數(shù)的分布列的交叉路口個數(shù)的分布列. .幾何分布的無記憶性幾何分布的無記憶性定理定理 （幾何分布的無記憶性）設（幾何分布的無記憶性）設X G(p),則對任意正整數(shù)則對任意正整數(shù)m與與n有有()()P Xmn XmP Xn 定理表明：在一列貝努利試驗序列中，若首次成功（定理表明：在一列貝努利試驗序列中，若首次成功（A）出現(xiàn)的）出現(xiàn)的試驗次數(shù)試驗次數(shù)X服

25、從幾何分布，在前服從幾何分布，在前m次試驗中事件次試驗中事件A沒有出現(xiàn)的條沒有出現(xiàn)的條件下，則在接下來的件下，則在接下來的n次試驗中次試驗中A仍未出現(xiàn)的概率只與仍未出現(xiàn)的概率只與n有關，有關，而與以前的而與以前的m次試驗無關，似乎忘記了前次試驗無關，似乎忘記了前m次試驗結果，這就是次試驗結果，這就是無記憶性無記憶性.|P XmnP Xmn XmP Xm 證證明明1111kk m nkk mqpqp nq P Xn(1)(1)m nmqpqq pq 38 引例引例 某班有某班有20名學生，其中有名學生，其中有5名女生名女生.今從班上任選今從班上任選4名學生去名學生去參觀，求被選到的女生數(shù)參觀，求

26、被選到的女生數(shù)X的概率分布的概率分布.解：解：X=0，1，2，3，4. )4, 3, 2, 1 , 0()(4204155kCCCkXPkk 7. 7. 超幾何分布超幾何分布事件事件(X=k)表示選取的表示選取的4人中有人中有k名女生名女生.則則X 39 (1)(1)定義定義 設設 N個元素分成兩類，第一類有個元素分成兩類，第一類有N1個元素，第二類個元素，第二類有有N2個元素個元素(N1+ N2=N).從從N個元素中任取個元素中任取n個，個， X表示取出的表示取出的n個個元素中第一類元素的個數(shù)，則元素中第一類元素的個數(shù)，則X的概率分布為的概率分布為nNC()P XkkNC1knNNC 1)m

27、in( 2 1 01n,N.,k 稱稱X服從服從超幾何分布超幾何分布.其中其中 n， N1 ，N 都是正整數(shù)，且都是正整數(shù)，且 1n N， N1 N 。注意注意，若出現(xiàn)，若出現(xiàn) 或或 的情況，規(guī)定此時的情況，規(guī)定此時的的 . .1kN2nkN120kn kNNCCX 服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：隨機變量隨機變量 X 的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3例例1 1：1o 100個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有 3 個廢品，從中任取個廢品，從中任取 5 個，求取到個，求取到的次品數(shù)的次品數(shù) X 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。53100 35100() , 0, 1, 2,

28、3kkC CP XkkC 解：解：（2）舉例）舉例X 服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：隨機變量隨機變量X的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3 2 2o o100個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有 5 個廢品，從中任取個廢品，從中任取 3 個，求取到的個，求取到的次品數(shù)次品數(shù) X的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。35100 53100() , 0, 1, 2, 3kkC CP XkkC 解：解：X服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：隨機變量隨機變量X的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3, 4。例例2 2：一袋子中有一袋子中有 20 個球，其中有個球

29、，其中有 5 個白球?，F(xiàn)從中任取個白球?，F(xiàn)從中任取4個個球，求被選到的白球數(shù)球，求被選到的白球數(shù)X 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。4520 5420() , 0, 1, 2, 3, 4kkC CP XkkC 其概率分布表為：其概率分布表為：解：解：（3）超幾何分布的二項分布逼近）超幾何分布的二項分布逼近 對一批產(chǎn)品進行對一批產(chǎn)品進行有放回的抽樣時，有放回的抽樣時，產(chǎn)品的次品率始終保持產(chǎn)品的次品率始終保持不變，這時次品數(shù)服從不變，這時次品數(shù)服從二項分布二項分布。若進行若進行不放回抽樣不放回抽樣，其次品，其次品數(shù)服從數(shù)服從超幾何分布超幾何分布。但當批量。但當批量 N 很大，而很大，而 n 相對很小時，抽取相對很小時，抽取一件產(chǎn)品后不放回，對次品率影響不大，可以近似地認為次品一件產(chǎn)品后不放回，對次品率影響不大，可以近似地認為次品率近乎不變，這時從率近乎不變，這時從 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取 n 件所得次品數(shù)件所得次品數(shù) X 近似服近似