線性代數(shù)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形PPT課件

1、12 1. 二次型的定義二次型的定義定義定義 含有個(gè)變量含有個(gè)變量 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)nxxx,21),(21nxxxf222222111nnnxaxaxa21122xxa 31132xxa 32232xxa nnnnxxa1, 12 稱為二次型稱為二次型. (二次齊次多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式) 當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù) 為復(fù)數(shù)時(shí)，為復(fù)數(shù)時(shí)， 稱為復(fù)二次型；當(dāng)系稱為復(fù)二次型；當(dāng)系ijaf數(shù)數(shù) 為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)時(shí)， 稱為實(shí)二次型稱為實(shí)二次型. ijaf33. 二次型的矩陣表示式二次型的矩陣表示式 令令 ，則，則ijjiaa f 2332211nnnnnnnnnxaxxaxxaxxa nnxxaxxax

2、axxa22322322221221 nnxxaxxaxxaxa11311321122111 nnxxaxaxxaxxa33233323321331 于是于是 4 f )(332211nnnnnnnxaxaxaxax )(23232221212nnxaxaxaxax )nxaxaxaxax )(33332321313nnxaxaxaxax ninjjiijxxa115 f),(21nxxx),(21nxxx nnnnnnaaaaaaaaa212222111211,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaa nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxa

3、xaxa221122221211212111記記 nxxx21 nxxxx216 ,axxft 其中其中 為對稱陣：為對稱陣： . aaat 二次型的矩陣表示式二次型的矩陣表示式說明說明對稱陣與二次型一一對應(yīng)；對稱陣與二次型一一對應(yīng)；若若 ，axxft )(aat 二次型的矩陣二次型的矩陣 滿足：滿足：a 的對角元的對角元 是是 的系數(shù)；的系數(shù)；aiia2ix 的的 元是元是 系數(shù)的一半系數(shù)的一半. a)(),(jiji jixxaffa 則對稱陣則對稱陣 稱為稱為 二次型二次型 的矩陣的矩陣；二次型；二次型 稱為稱為對稱陣對稱陣 的的 二次型；二次型；3. 二次型的矩陣表示式二次型的矩陣表示

4、式 7例如：例如：二次型二次型.4322yzxyzxf 的矩陣為的矩陣為f 301a22 002121于是于是.3002021),(2121 zyxzyxf8二次型研究的主要問題是：二次型研究的主要問題是：尋找尋找可逆變換可逆變換 ，使，使cyx )(xf ninjjiijxxa11cyx 這種只含平方項(xiàng)的二次型稱為這種只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形(法式法式). 特別地，如果標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)特別地，如果標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù) 只在只在三個(gè)數(shù)中取值，那么這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形稱為三個(gè)數(shù)中取值，那么這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型二次型的規(guī)范形的規(guī)范形. ik0 , 1, 1 .)(2222211nnykyk

5、ykcyf標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角陣標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角陣. 91. 經(jīng)可逆變換后，新舊二次型的矩陣的關(guān)系：經(jīng)可逆變換后，新舊二次型的矩陣的關(guān)系：axxft cyx byyft 因?yàn)橛幸驗(yàn)橛衋xxft )()(cyacyt ,)(yaccytt 所以所以 與與 的關(guān)系為：的關(guān)系為：ab.accbt 102. 矩陣的合同關(guān)系矩陣的合同關(guān)系定義定義 設(shè)設(shè) 和和 是是 階矩陣，階矩陣，nab 若有可逆矩陣若有可逆矩陣 ，使使c,accbt 則稱矩陣則稱矩陣 與與 合同合同. ab說明說明 合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 設(shè)設(shè) 與與 合同，若合同，若 是對稱陣，則是對稱陣，則 也對稱陣也對稱陣

6、. abab 對稱陣一定對稱陣一定合同相似合同相似于一個(gè)對角陣于一個(gè)對角陣. 若若 與與 合同，則合同，則 . )()(brar ab 經(jīng)可逆變換經(jīng)可逆變換 后，二次型的矩陣由后，二次型的矩陣由 變變 為與為與 合同的矩陣合同的矩陣 , 且二次型的秩不變且二次型的秩不變. cyx aaacct11 把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形相當(dāng)于把對稱陣把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形相當(dāng)于把對稱陣 用合用合同變換化成對角陣同變換化成對角陣(稱為把稱為把對稱陣合同對角化對稱陣合同對角化)，a3. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對二次型對二次型 作可逆變換作可逆變換 ，axxft cyx 相當(dāng)于對對稱陣相當(dāng)于對對稱陣 作合同變換

7、；作合同變換；a即尋找可逆陣即尋找可逆陣 , 使使 . cacct),(21nkkkdiag 定理定理8 任給二次型任給二次型 , 總總)(aaaxxftt ,2222211nnyyyf 其中其中 是是 的矩陣的矩陣 的特征值的特征值.n ,21fa即任何二次型都可用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形即任何二次型都可用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.（主軸定理，（主軸定理，p262 th6.1） 存在正交變換存在正交變換 ，使，使 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形fpyx 12推論推論 任給二次型任給二次型 ，總，總)(aaaxxftt 有可逆變換有可逆變換 ，使，使 為規(guī)范形為規(guī)范形. czx )(czf即任何二次型都可用可逆變換

8、化為規(guī)范形即任何二次型都可用可逆變換化為規(guī)范形. 13證證 設(shè)有二次型設(shè)有二次型,axxft 由定理由定理8知，存在正交變換知，存在正交變換 ，使，使pyx .)(2222211nntyyyyypyf f 設(shè)二次型設(shè)二次型 的秩為的秩為 ，則特征值，則特征值 中恰有中恰有 個(gè)個(gè)不為不為0，不妨設(shè)，不妨設(shè) 不等于不等于0，ri rr ,21于是，令于是，令,21 nkkkk其中其中 , 1,|1ririkii 則則 可逆，且變換可逆，且變換 把把 化為化為kkzy )(pyf14)()()(kzkzpkzft zkkztt)( zdiagzrrt) 0 , 0 ,|,|(11 .|22111rr

9、rzz 記記 ，pkc 則可逆變換則可逆變換 能把能把 化為規(guī)范形化為規(guī)范形pkzx f.|22111rrrzzf 15推論推論 任給二次型任給二次型 ，總，總)(aaaxxftt 有可逆變換有可逆變換 ，使，使 為規(guī)范形為規(guī)范形. czx )(czf即任何二次型都可用可逆變換化為標(biāo)準(zhǔn)形即任何二次型都可用可逆變換化為標(biāo)準(zhǔn)形. 4. 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟： 寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣 ；a 求出求出 的特征值；的特征值；a 求出求出 的兩兩正交的單位特征向量；的兩兩正交的單位特征向量；a 用用 表示在中求得的特征向量構(gòu)成的矩表示在中求得的特征向

10、量構(gòu)成的矩陣，寫出所求的正交變換陣，寫出所求的正交變換 和二次型和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的標(biāo)準(zhǔn)型.ppyx 164. 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟： 寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣 ；a 求出求出 的特征值；的特征值；a 求出求出 的兩兩正交的單位特征向量；的兩兩正交的單位特征向量；a 用用 表示在中求得的特征向量構(gòu)成的矩表示在中求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫出所求的正交變換陣，寫出所求的正交變換 和二次型和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的標(biāo)準(zhǔn)型.ppyx 將對稱陣正交相似對角化的步驟：將對稱陣正交相似對角化的步驟：(1)求特征值；求特征值；(2)(2)求兩兩正交的單位特征向量；

11、求兩兩正交的單位特征向量；(3)(3)寫出正交矩陣和對角陣寫出正交矩陣和對角陣. .17例例1 已知二次型已知二次型 ,22223),(222zxxyzyxzyxf 用正交變換把二次型用正交變換把二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣應(yīng)的正交矩陣.f解解 析析：此題是一道典型例題：此題是一道典型例題. 目的是熟悉用正目的是熟悉用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的“標(biāo)準(zhǔn)程序標(biāo)準(zhǔn)程序”. 寫出二次型對應(yīng)的矩陣寫出二次型對應(yīng)的矩陣 二次型二次型 對應(yīng)的矩陣為對應(yīng)的矩陣為 f 201021113a18 求求 的特征值的特征值 a 201021113ea 20102

12、2013)4)(2)(1( 由由 ，求得，求得 的特征值為的特征值為 0 ea a, 11 , 22 . 43 19 求求 的兩兩正交的單位特征向量的兩兩正交的單位特征向量a對應(yīng)對應(yīng) ，解方程，解方程 ，由，由11 0)( xea 101011112ear,000110101 得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為,1111 將其單位化，得將其單位化，得;111311 p20對應(yīng)對應(yīng) ，解方程，解方程 ，由，由22 0)2( xea 0010011112ear,000110001 得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為,1102將其單位化，得將其單位化，得;110212 p21對應(yīng)對應(yīng) ，解方程，解方程 ，由，由43 0

13、)4( xea 2010211114ear,000110201 得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為,1123 將其單位化，得將其單位化，得.112613 p22 寫出正交矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形寫出正交矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 令矩陣令矩陣 61213161213162031),(321pppp 則則 為正交陣，于是，經(jīng)正交變換為正交陣，于是，經(jīng)正交變換p zyxpzyx原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.42222zyxf 23例例1+：求一個(gè)正交變換：求一個(gè)正交變換 x = p y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）化為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）24例例1+：

14、求一個(gè)正交變換：求一個(gè)正交變換 x = p y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形解：二次型的矩陣解：二次型的矩陣 有正交陣有正交陣使得使得于是正交變換于是正交變換 x = p y 把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f = 2y12 + y22 + y32011101110a 11132611132612036p 1000000211pap 25如果要把如果要把 f 化為規(guī)范形，令化為規(guī)范形，令 ，即，即可得可得 f 的規(guī)范形：的規(guī)范形：f = z12 + z22 + z320000001/211k 1000000211pap 1122

15、221/2yzyzyz 26例例2 已知二次型已知二次型的秩為的秩為2. 32312123222166255xxxxxxaxxxf 求參數(shù)求參數(shù) 以及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值；以及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值；a 指出指出 表示何種曲面表示何種曲面. 1),(321 xxxf解解 二次型二次型 的矩陣的矩陣f aa33351315r 300120351a因?yàn)橐驗(yàn)?的秩為的秩為2，f所以所以 的秩也為的秩也為2，因而，因而a. 3 a27當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 a3 a 333351315ea21rr )4(1 r 333351011)4( 363361001)4(),9)(4

16、( 28于是，于是， 的特征值為的特征值為 a, 01 , 42 . 93 由定理由定理8知，必存在正交變換知，必存在正交變換,321321 yyypxxx其中其中 為正交矩陣為正交矩陣(不必具體求出不必具體求出)，使二次型使二次型p.942322yyf 于是，曲面于是，曲面1),(321 xxxf1),(321 yyyg. 1942322 yy這表示準(zhǔn)線是這表示準(zhǔn)線是 平面上橢圓、母線平行于平面上橢圓、母線平行于 軸的軸的橢圓柱面橢圓柱面.32oyy1y321,yyy在新變量在新變量 下稱為標(biāo)準(zhǔn)形下稱為標(biāo)準(zhǔn)形291y2y3y1x2x3x166255323121232221 xxxxxxaxx

17、x1942322 yy 321321yyypxxx30配方法配方法 的系數(shù)的系數(shù)21x011 a例例3 用拉格朗日配方法化二次型用拉格朗日配方法化二次型32312123222162252xxxxxxxxxf 成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣. 解解 322322312121652)22(xxxxxxxxxf 3223222321652)(xxxxxxx 3223222 xxxx 3223222144yyyyy 322322232144)(xxxxxxx 31用到的線性變換為用到的線性變換為.100010111321321 xxxyyy .,33223211xyxyxxx

18、y即即233222214)4(yyyyyf 23232214)2(yyyy 234y 2221zz 用到的線性變換為用到的線性變換為 .,2,3332211yzyyzyz即即.100210001321321 yyyzzz配方法配方法32.100010111321321 xxxyyy.100210001321321 yyyzzz 321321100010111100210001xxxzzz 32111321100210001100010111zzzxxx 321321100210001100010111zzzxxx.100010111321321 xxxyyy配方法配方法33 321321100

19、210111zzzxxx所用的變換矩陣為所用的變換矩陣為于是，于是， 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為f;2221zzf ,100210111 c).01( c配方法配方法34 的系數(shù)的系數(shù)21x011 a例例4 用拉格朗日配方法化二次型用拉格朗日配方法化二次型323121622xxxxxxf 成規(guī)范形成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣. 解解3213212121)( 6)( 2)( 2yyyyyyyyyyf 先用下面可逆變換，使二次型中先用下面可逆變換，使二次型中. 011 a .,33211211yxyyxyyx即即 321321100011011yyyxxx323122218422yyy

20、yyy 配方法配方法35323122218422yyyyyy 3222312182)42(yyyyyy 233222231282)( 2yyyyyy 23322221282zzzzz 用到的線性變換為用到的線性變換為.100010202321321 yyyzzz .,223322311yzyzyyz即即配方法配方法3623232322182)2( 2zzzzz 23232216)2( 2zzzz 23322221282zzzzzf 233222212)4( 2zzzzz 232221www 用到的線性變換為用到的線性變換為.6002220001321321 zzzwww .6,222,3332

21、211zwzzwzw即即配方法配方法37.6002220001321321 zzzwww.100010202321321 yyyzzz配方法配方法38 6002220001321www.100010202321 yyy1321100010202 yyy 32116002220001www 1000101021321yyy 32161622161213210000wwwyyy 321616221000001www配方法配方法39于是，于是， 321321100011011yyyxxx 32161622161213210000wwwyyy配方法配方法40于是，于是， 100011011321xxx

22、 32161622161210000www 3216161212163212132100wwwxxx所用的變換矩陣為所用的變換矩陣為因此，因此， 的規(guī)范形為的規(guī)范形為f).0(61 c;232221wwwf ,0061612121632121 c配方法配方法41定理定理9 (慣性定理慣性定理) 設(shè)有二次型設(shè)有二次型 ，它，它 axxft 的秩為的秩為 ，有兩個(gè)可逆變換，有兩個(gè)可逆變換rcyx 及及pzx 使使,2222211rrykykykf 及及,2222211rryyyf ),0( ik),0( i 則則rkkk,21正數(shù)的個(gè)數(shù)相等正數(shù)的個(gè)數(shù)相等. （證明：（證明：p275 th6.3）中

23、正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)與r ,21中中42說明說明二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的 負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù). 正慣性指數(shù)；正慣性指數(shù)；若二次型若二次型 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為 ，秩為，秩為 ，則，則fpr 的規(guī)范形變可確定為的規(guī)范形變可確定為f.221221rppyyyyf 只有用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)只有用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn) 形的系數(shù)才是二次型矩陣的特征值形的系數(shù)才是二次型矩陣的特征值.43例例5 下列矩陣中，與矩陣下列矩陣中，與矩陣 100012021a合同的矩陣是哪一個(gè)？為什么？合同

24、的矩陣是哪一個(gè)？為什么？;111)( a;111)( b;111)( c;111)( d44解解 析析：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性定理解題定理解題.容易求得容易求得 的特征值的特征值 ，a3, 1, 1321 于是可知，于是可知， 所對應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù)所對應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù)a2 p1 q為為 ；負(fù)慣性指數(shù)為；負(fù)慣性指數(shù)為 .合同的二次型應(yīng)有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，合同的二次型應(yīng)有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，故選故選(b). 應(yīng)選應(yīng)選(b)，理由是理由是:45例例5 下列矩陣中，與矩陣下列矩陣中，與矩陣 100012021a合同的矩陣是哪一個(gè)？為什么？合

25、同的矩陣是哪一個(gè)？為什么？;111)( a;111)( b;111)( c;111)( d46定義定義 設(shè)有二次型設(shè)有二次型 ，)(aaaxxftt 如果對任何如果對任何 ，都有，都有0 x0)( xf0 x0)( xf 如果對任何如果對任何 ，都有，都有 ，則稱，則稱 為為負(fù)定二次型，負(fù)定二次型，并稱對稱陣并稱對稱陣 是是負(fù)定的；負(fù)定的；faa陣陣 是是正定的正定的；(顯然顯然 )0(f0 )，f則稱則稱 為為正定二次型，正定二次型，并稱對稱并稱對稱47說明說明按定義，當(dāng)變量取不全為零的值時(shí)，二次型按定義，當(dāng)變量取不全為零的值時(shí)，二次型 若是正定若是正定 ( ) 二次型，則它的對應(yīng)值總是二次

26、型，則它的對應(yīng)值總是 正數(shù)正數(shù) ( ) .負(fù)定負(fù)定負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)若若 是正定二次型，則是正定二次型，則 axxft axxgt 就是負(fù)定二次型就是負(fù)定二次型.48定理定理10 二次型二次型 為正定的充要條件為正定的充要條件axxft 是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的 個(gè)系數(shù)全為正數(shù)，即它的個(gè)系數(shù)全為正數(shù)，即它的n正慣性指數(shù)等于正慣性指數(shù)等于 . n推論推論1 正定二次型正定二次型 (正定矩陣正定矩陣) 的秩為的秩為 . n推論推論2 對稱陣對稱陣 為正定矩陣的充要條件是：為正定矩陣的充要條件是： a 的特征值全為正的特征值全為正.a證明證明49證證 已知已知 ，有可逆變換，有可逆變換 ，使，使axx

27、ft cyx .)()(2222211nntykykykyycyfxf 先證充分性：先證充分性：設(shè)設(shè) ，任給，任給 ，), 1(0niki 0 x則則 ，故，故01 xcy. 02222211 nnykykykf再證必要性再證必要性: 用反證法用反證法. 假設(shè)有假設(shè)有 ，0 sk取取 (單位坐標(biāo)向量單位坐標(biāo)向量) ，sey , 0)()( sskcefxf這與這與 為正定相矛盾為正定相矛盾. f這就證明了這就證明了 . ), 1(0niki 0 scex則有則有 ，且，且50定理定理11 (霍爾維茨定理霍爾維茨定理) 對稱陣對稱陣 為正定的充要條件是：為正定的充要條件是： 的各階的各階主子式都

28、為正主子式都為正. 即即aa, 011 a, 022211211 aaaa. 01111 nnnnaaaa, 對稱陣對稱陣 為負(fù)定的充要條件是：為負(fù)定的充要條件是： 的奇數(shù)的奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階主子式為正階主子式為負(fù)，偶數(shù)階主子式為正. 即即aa, 0)1(1111 rrrrraaaa)., 2 , 1(nr 51正定二次型的判定：正定二次型的判定： 正定正定axxft f的正慣性指數(shù)的正慣性指數(shù)np a的的 個(gè)特征值全為正個(gè)特征值全為正nf的規(guī)范形為的規(guī)范形為yyft a合同于單位陣合同于單位陣ea的各階主子式全為正的各階主子式全為正52例例6 判定二次型判定二次型 的正定性的正定性. xzxyzyxf44465222 解解 析析：此題的目的是熟悉定理：此題的目的是熟悉定理11，用定理，用定理11判定二次型的正定性判定二次型的正定性. 的矩陣為的矩陣為f,402062225 a1 階主子式：階主子式：