初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)：《分式》競(jìng)賽專題訓(xùn)練(含答案)(共17頁(yè))

1、分式競(jìng)賽專題訓(xùn)練1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能為零;只有當(dāng)分式的分母不為零，而分式的分子為零時(shí)，分式的值為零.經(jīng)典例題(1)當(dāng)為何值時(shí)，分式有意義?(2)當(dāng)為何值時(shí)，分式的值為零?解題策略(1) 要使分式有意義，應(yīng)有分母不為零這個(gè)分式有兩個(gè)分母和，它們都不為零，即且，于是當(dāng)且時(shí)，分式有意義，(2) 要使分式的值為零，應(yīng)有且，即且，于是當(dāng)時(shí)，分式的值為零畫龍點(diǎn)睛1. 要使分式有意義，分式的分母不能為零.2. 要使分式的值為零，應(yīng)有分式的分母不為零，而分式的分子等于零，以上兩條，缺一不可.舉一反三1. (1)要使分式有意義的的取值范圍是( ) (A) (B) ( C)

2、 (D)(2)若分式的的值為零，則的值為( )(A) (B)或 (C) (D)2. (1)當(dāng) 時(shí)，分式的值為零;(2) 當(dāng) 時(shí)，分式3. 已知當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義;當(dāng)時(shí)，分式的值為零，求.融會(huì)貫通4. 若，求值的范圍.2 分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)是:分式的分子和分母都乘以或除以同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.分式的基本運(yùn)算，例如改變分子、分母或分式的符號(hào)以及通分、約分等，都要用到這個(gè)性質(zhì).本節(jié)主要講解它在解答一些分式計(jì)算綜合題時(shí)的應(yīng)用.經(jīng)典例題若，求的值解題策略因?yàn)?，所以將等式的左邊分子、分母同時(shí)除以，得，所以有因此畫龍點(diǎn)睛對(duì)于含有形式的分式，要注意以下的恒等變形:舉一反三1. (1)不改

3、變分式的值，使分式的分子和分母的系數(shù)都化為整數(shù);(2)不改變分式的值，使分式的分子和分母的最高次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù): 2. 已知，求的值.3. 已知，求的值.融會(huì)貫通4. 已知，求的值.3 分式的四則運(yùn)算 分式的四則運(yùn)算和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算是一致的，加減法的關(guān)鍵是通分和約分.綜合運(yùn)算時(shí)要遵循先乘除后加減，以及先做括號(hào)內(nèi)的，再做括號(hào)以外的次序.經(jīng)典例題 計(jì)算：解題策略原式畫龍點(diǎn)睛 在進(jìn)行分式的四則運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算次序.在化簡(jiǎn)時(shí)，因式分解是重要的恒等變形方法;在解答求值問題時(shí)，一般應(yīng)該先化簡(jiǎn)分式，再將字母對(duì)應(yīng)的值代入計(jì)算.舉一反三1. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.2. 計(jì)算： 3. (1)已知實(shí)數(shù)滿足，求的值

4、 (2)已知、為實(shí)數(shù)，且，設(shè)，試比較、 的大小關(guān)系.融會(huì)貫通4. 甲、乙兩位采購(gòu)員同去一家肥料公司購(gòu)買兩次肥料，兩次肥料的價(jià)格有變化，兩位采購(gòu)員的購(gòu)貨方式也不同:甲每次購(gòu)買800千克;乙每次用去600元，而不管購(gòu)買多少肥料.請(qǐng)問誰(shuí)的購(gòu)貨方式更合算?4 分式的運(yùn)算技巧裂項(xiàng)法我們知道，多個(gè)分式的代數(shù)和可以合并成一個(gè)分式，如反過來(lái)，由右邊到左邊的計(jì)算往往可以使一些復(fù)雜的分式計(jì)算變得簡(jiǎn)捷常見的裂項(xiàng)有:，經(jīng)典例題 已知，求、的值解題策略 由，可得，解得畫龍點(diǎn)睛已知等式右邊通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，利用分式相等的條件求出、的值即可.舉一反三1. 若在關(guān)于的恒等式中，為最簡(jiǎn)分式，且有，求，.2.

5、化簡(jiǎn)：3. 計(jì)算：融會(huì)貫通4. 已知，當(dāng)時(shí)永遠(yuǎn)成立，求以、為三邊長(zhǎng)的四邊形的第四邊的取值范圍.5 含有幾個(gè)相等分式問題的解法 有一類化簡(jiǎn)求值問題，已知條件中含有若干個(gè)相等的分式，其本質(zhì)是幾個(gè)比的比值相等的問題.解決此類問題常將這個(gè)相等的比用一個(gè)字母表示，從而將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式的問題來(lái)解決.經(jīng)典例題 已知，且，求的值解題策略由得從而設(shè)，則，三式相加得，即，所以，或若，則，符合條件；若，則與題設(shè)矛盾，所以不成立因此畫龍點(diǎn)睛1. 將相等的比用一個(gè)字母表示，是解決含有連等分式問題的常見解法.2. 在得到等式后.不要直接將等式的兩邊除以，因?yàn)榇耸娇赡艿扔?.3. 在求出值后.要注意驗(yàn)證，看是否與已知條件

6、矛盾.舉一反三1. (1)已知，求值；(2)已知，求的值2. 若，求的值3. 已知實(shí)數(shù)、滿足，并且，則直線一定通過( )(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限 (C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限融會(huì)貫通4. 已知，且，求的值6 整數(shù)指數(shù)冪一般地，當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，這就是說(shuō)是的倒數(shù).引入了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到全體整數(shù).經(jīng)典例題 已知，求的值解題策略畫龍點(diǎn)睛 將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以、為底的乘方，進(jìn)而代入相應(yīng)的值進(jìn)行計(jì)算.舉一反三1. 計(jì)算(1)(2)(3)2. 水與我們?nèi)粘Ｉ蠲懿豢煞?，科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)水分子的質(zhì)量大約是kg，8 g水中大約有多少個(gè)水分子?通過

7、進(jìn)一步研究科學(xué)家又發(fā)現(xiàn)，一個(gè)水分子是由2個(gè)氫原子和一個(gè)氧原子構(gòu)成的.已知一個(gè)氧原子的質(zhì)量約為kg，求一個(gè)氫原子的質(zhì)量.3. 已知，求(1)；(2)；(3)融會(huì)貫通4. 如圖，點(diǎn)、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是0、0. 1.將線段(分成100等份，其分點(diǎn)由左向右依次為、，;再將線分成100等份，其分點(diǎn)由左向右依次為、，;繼續(xù)將線段分成100等份，其分點(diǎn)由左向右依次為、，.則點(diǎn)所表示的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為 7 分式方程的解法 分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程.通常我們采用去分母的方法，將其變形為整式方程來(lái)解答.經(jīng)典例題 解方程解題策略解法一 去分母，得所以驗(yàn)根知為原方程的解.解法二 方程兩邊加1，得即所以

8、解得驗(yàn)根知為原方程的解.解法三 原式可化為所以以下同解法二畫龍點(diǎn)睛1. 通常我們采用去分母的方法來(lái)解分式方程，先將其變形為整式方程，再用解整式方程的方法來(lái)解答.2. 除了用去分母的方法來(lái)解分式方程外，采用部分分式的方法，即將分式分解為一個(gè)整式和一個(gè)分式之和，這樣可以使解方程的過程變得簡(jiǎn)單.3. 解完分式方程后，要進(jìn)行檢驗(yàn)，這是一個(gè)必不可少的步驟.因?yàn)樵谌シ帜笗r(shí)容易產(chǎn)生增根.舉一反三1. (1)解方程 (2)解方程 2. (1)解方程 (2)解方程3. 若解方程是會(huì)有增根，求它的增根融會(huì)貫通4. 已知方程 (是常數(shù)，)的解是或，求方程 (是常數(shù)，且)的解.8 列分式方程解應(yīng)用題和整式中的一元一次

9、方程一樣，列分式方程所解的應(yīng)用題也包括工程問題、行程問題、經(jīng)濟(jì)問題等，本節(jié)介紹列分式方程解應(yīng)用問題的方法.經(jīng)典例題某市今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲25%，小明家去年12月份水費(fèi)是18元，而今年5月份的水費(fèi)是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求該市今年居民用水的價(jià)格.解題策略設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為元/m3，則今年用水價(jià)格為元/m3.根據(jù)題意得:，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解.所以所以該市今年居民用水的價(jià)格為2. 25元/m3.畫龍點(diǎn)睛列分式方程解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題步驟基本上是一致的:審查題意，設(shè)未知數(shù);找出等量關(guān)系，列出方程;解分式

10、方程并驗(yàn)根;寫出答案.舉一反三1. 某服裝廠準(zhǔn)備加工300套演出服，加工60套后，采用了新技術(shù)，使每天的工作效率是原來(lái)的2倍，結(jié)果共用了9天完成任務(wù)，請(qǐng)問:該廠原來(lái)每天加工多少套演出服?2. 便民服裝店的老板在株洲看到一種夏季衫，就用8000元購(gòu)進(jìn)若干件，以每件58元的價(jià)格出售，很快售完.又用17 600元購(gòu)進(jìn)同種襯衫，數(shù)量是第一次的2倍，每件進(jìn)價(jià)比第一次貴了4元，服裝店仍按每件58元出售，全部售完.問該服裝店這筆生意共盈利多少元?3. 從甲地到乙地共50 km，其中開始的10 km是平路，中間的20 km是上坡路，余下的20 km又是平路，小明騎自行車從甲地出發(fā)，經(jīng)過2小時(shí)10分鐘到達(dá)甲、乙

11、兩地的中點(diǎn)，再經(jīng)過1小時(shí)50分鐘到達(dá)乙地，求小明在平路上的速度(假設(shè)小明在平路上和上坡路上保持勻速).融會(huì)貫通4. 某工程隊(duì)(有甲、乙兩組)承包一項(xiàng)工程，規(guī)定若干天內(nèi)完成. (1)已知甲組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多30天，乙組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多12天，如果甲乙兩組先合做20天，剩下的由甲組單獨(dú)做，恰好按規(guī)定的時(shí)間完成，那么規(guī)定的時(shí)間是多少天? (2)實(shí)際工作中，甲乙兩組合做完成這項(xiàng)工程的后，工程隊(duì)又承包了新工程，需要抽調(diào)一組過去，從按時(shí)完成任務(wù)考慮，你認(rèn)為留下哪一組更好?說(shuō)明理由.參考答案1 分式的概念1. (1)B (2) C2. (1) (2) 或3. 64.

12、2分式的基本性質(zhì)1. (1)(2)2. 由已知，得，所以原式3.4. 將分子和分母同時(shí)除以，得3 分式的四則運(yùn)算1.當(dāng)時(shí)，原式2.3. (1) 由知所以原式(2) 所以4. 設(shè)兩次購(gòu)買肥料的單價(jià)分別為元/千克和元/千克(、為正數(shù)，且)，則甲兩次購(gòu)買肥料的平均單價(jià)為： (元/千克).乙兩次購(gòu)買肥料的平均單價(jià)為： (元/千克).因?yàn)?，又，所以所以甲的平均單價(jià)比乙的高，所以乙的購(gòu)貨方式更合算一些4 分式的運(yùn)算技巧裂項(xiàng)法1.且，所以，從而可得，2. 原式3. 原式4. 因?yàn)樗运裕獾?，所以四邊形的第四邊的取值范圍?yīng)滿足，解得5 含有幾個(gè)相等分式問題的解法1. (1)設(shè)，則(2)設(shè)則解得2. 設(shè)則所

13、以，得當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式3.于是因?yàn)樗灾本€的圖象經(jīng)過第一、三、四象限故選擇D4. 設(shè)，故所以又 所以6 整數(shù)指數(shù)冪1. (1)(2)(3)2. 個(gè) kg3. (1)因?yàn)?，?所以所以(2) (3)4. 表示的數(shù)為 表示的數(shù)為 表示的數(shù)為7 分式方程的解法1. (1)原方程分母因式分解為去分母得解得檢驗(yàn)知為原方程的根(2) 原方程式變形為整理得解得檢驗(yàn)知為原方程的根2. (1) 原方程分母因式分解為去分母得解得檢驗(yàn)知為原方程的根(2)原方程化為解得檢驗(yàn)把代入最簡(jiǎn)公分母，所以是原方程的根3. 去分母，得如果增根為，則，如果增根為，則，無(wú)解，所以4. 將方程整理得所以，或故或8 列分式方程解應(yīng)用題1. 設(shè)服裝廠原來(lái)每天加工套演出服.根據(jù)題意，得解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根.2. 設(shè)原進(jìn)價(jià)為元一件，則第二次進(jìn)價(jià)為元一件，依題意得解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根服裝店這筆生意第一次購(gòu)進(jìn)件，第二次購(gòu)進(jìn)件，服裝店這筆生意共盈利(元