中考二次函數(shù)壓軸題解題通法重點中學

1、題通法重點中學中考二次函數(shù)壓軸題解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學競賽中也有 二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣 二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學生在有限的時間內(nèi)都不能很好完 成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關(guān)，學生在初中階 段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學的學習。所以二次函數(shù)綜合 題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近6年的研究，思考和演算了上 1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個自定義概念： 三角

2、形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形 稱為三角形基本模型。動點（或不確定點）坐標“一母示一借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析 式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱“設橫表縱”。如：動點P在y=2x+l上， 就 可設 P （t, 2t+l） .若動點P在y=3/-21+ 1,則可設為P （ t , 3/-2/ + 1）當 然若動點M在X軸上，則設為（3 0）.若動點M在Y軸上，設為（0, t ）. 動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的?；蛑辽儆幸粋€頂點 是運動，變化的三角形稱為動三角形。 動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。 定三角

3、形：三邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。 定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：y=3 X -6OX標，Y標：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標稱為x標，縱坐標 稱為y標。直接動點：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為直接動 點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示是針對直接動點坐標而言 的。1 .求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離.還是“點軸距離，還是“點線距 離:再運用兩點之間的距離公式或點到X軸（y軸）的距離公式或點到直線的距離

4、公 式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。2、"平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等（常設為t）,借助于兩個端點所在 的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于y軸的線段長度計算公式y(tǒng)上-y下，把動線段的長度 就表示成為一個自變量為t,且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即 可求得動線段長度的最大值及端點坐標。3、求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標問題：先用點斜式（或稱K點法）求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再

5、求出兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可。4、“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大，的問題（方法1）先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的 直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（k）相等）， 再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關(guān)于 x的的一元二次方程，由題有=/-4m二0 （因為該直線與拋物線相切，只有一個交 點，所以4ac=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的 解析式組成方程組，求出X、y的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公 式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。

6、（方法2）該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取 得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。（方法3）先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數(shù)的幾何意義，當該導數(shù)等于 定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其最大距離運用點到直線的距離 公式可以輕松求出。5 .常數(shù)問題：（1）點到直線的距離中的常數(shù)問題：”拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個固定常數(shù)”的問題：先借助 于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立 一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱 坐標，從

7、而拋物線上的動點坐標就求出來了。（2）三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標需用一個字母表示）到定直線的距 離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋 物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。（3）幾條線段的齊次帚的商為常數(shù)的問題：用K點法設出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點坐標，再運用兩點間 的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即可。6 .“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定

8、直線）上是否存在 一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關(guān)于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一 個定點連結(jié)得到一條線段，該線段的長度應用兩點間的距離公式計算即為符合題中 要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求 出（利用求交點坐標的方法）。7,三角形周長的“最值（最大值或最小值）”問題：“在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構(gòu)成的三角形周長最小”的問題 （簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點間距離公式計 算），只需另兩邊的和最小即可。一在拋物線上是否存在一點，使之到定直線

9、的垂線，與y軸的平行線和定直 線，這三線構(gòu)成的動直角三角形的周長最大"的問題（簡稱“三邊均動的問題）：在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標一母示后,運用把動三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個開口向下的拋物線來破解。8 .三角形面積的最大值問題：“拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題 （簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）：（方法D先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式-2底高。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，切點即為符合題意要 求的點。（方法2）

10、過動點向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點，從而 把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，進一步可得到s動三角形二彳（ 上（動）下（動）”（x右（定）-x左（定）2,轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。“三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在X軸或y軸上的三角形，或 者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設出動點在 x軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割 后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一個三角形）。

11、利用相似 三角形的性質(zhì)（對應邊的比等于對應高的比）可表示出分割后的一個三角形的高。從而 可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應問題也就輕松解決 To9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問 題”：由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形 （連結(jié)兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最 大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求 法與7相同。10、“定四邊形面積的求解”問題：有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方

12、案（二）：過不在X軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向X軸（或y軸）作垂 線，或者把該點與原點連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面 積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）11.“兩個三角形相似”的問題：兩個定三角形是否相似：（1）已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看 看是否成比例若成比例，貝IJ相似;否則不相似。（2）不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊 的長，看看是否成比例若成比例，貝IJ相似;否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：（1）已知有一個角相等的情形：先借助于相應的函數(shù)關(guān)系式，把動點坐標

13、表示出來（一母示），然后把兩個目標三 角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出 夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應成比例（要注意是否有兩種情況），列出 方程，解此方程即可求出動點的橫坐標，進而求出縱坐標，注意去掉不合題意的點。（2）不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點坐標 求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直 角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標“一母示后，分析在動三 角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角,為動點

14、尋找一個直 角三角形，求出動點坐標，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問 題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例若成比例，則所求動點坐標符合題意，否則 這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標，再臉證或稱為“一找角，二求標，三 驗證:12.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形”的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，則只有一種情 況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。先借 助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標（一母示），按分類的情況，分別利用 相應類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，

15、建立方程。解出此方程，即可求出動點 的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動點縱坐標，注意去掉不合題意 的點（就是不能構(gòu)成三角形這個題意）。13、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題：這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分別設出余 下所有動點的坐標（若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出 動點坐標），任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線（顯然最多有 3條），此時與之對應的另一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一 種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其

16、坐標對 應相等，列出兩個方程，求解即可。進一步有：若是否存在這樣的動點構(gòu)成矩形呢先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證兩條對角 線相等否若相等，則所求動點能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點不存在。若是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組 鄰邊相等否若相等，則所求動點能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點不存在。若是否存在這樣的動點構(gòu)成正方形呢先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一 組鄰邊是否相等和兩條對角線是否相等若都相等，則所求動點能構(gòu)成正方形，否則這樣 的動點不存在。14、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系”的問 題：（此為“單動問題”即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題

17、，后面的19實為本類型的 特殊情形。）先用動點坐標“一母示”的方法設出直接動點坐標，分別表示（如果圖形是動圖 形就只能表示出其面積）或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積），然后由 題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點），如果 問題中求的是間接動點坐標，那么在求出直接動點坐標后，再往下繼續(xù)求解即可。15、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成直角三角若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設出動點坐標（一母示），視題目分類的情 況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線（沒有與y軸平行的直 線）垂直的斜率結(jié)論（兩直線的斜率相乘等于-1）

18、,得到一個方程，解之即可。若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行，此時不能使用斜率公式。補救措施是：過余 下的那一個點（沒在平行于y軸的那條直線上的點）直接向平行于y的直線作垂線或過 直角點作平行于y軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交，則相關(guān)點的坐標可輕松搞定。16、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形”的問題。若定點為直角頂點，先用k點法求出另一直角邊所在直線的解析式（如斜率不 存在，根據(jù)定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程），利用該解析式與所 求點所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再用兩點間的距離公式計算出兩 條直角邊等否若等，該交點合題，反之不合題，舍去。

19、 若動點為直角頂點：先利用k點法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析 式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再分別計算出該點與兩定點 所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結(jié)果是否為-1若為-1,則就說明所求 交點合題；反之，舍去。17、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點的坐標或線段長度”等的問題：題中含有兩角相等，則意味著應該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中 的基本模型或“X”是關(guān)鍵和突破口。18 .“在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常為動三 角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點的坐標或線段長”的問題：（此為“單動問題”即定解析式和動

20、圖形相結(jié)合的問題，本類型實際上是前面14 的特殊情形。）先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上，或者 有一邊平行于X軸或y軸）面積的和或差，設出相關(guān)點的坐標（一母示），按化分后的 圖形建立一個面積關(guān)系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動問題' 解題方法 是“設點（動點）標，圖形轉(zhuǎn)化（分割），列出面積方程，19 .“在相關(guān)函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的情況下，題中又 含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點的坐標或參數(shù)的 值”的問題：此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題）。如果動圖形不是基本模型，就先把動

21、圖形的面積進行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)化或分割后的 圖形須為基本模型），設出動點坐標（一母示），利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形建立面積關(guān) 系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應點的橫坐標，再利用該點所在函數(shù)圖象的 解析式，表示出該點的縱坐標（注意，此時，一定不能把該點坐標再代入對應函數(shù)圖象 的解析式，這樣會把所有字母消掉）。再注意圖中另一個點與該點的位置關(guān)系（或其它 關(guān)系，方法是常由已知或利用（2）問的結(jié)論，從幾何知識的角度進行判斷，表示出另 一個點的坐標，最后把剛表示出來的這個點的坐標再代入相應解析式，得到僅含一個字 母的方程，解之即可。如果動圖形是基本模型，就無須分割（或轉(zhuǎn)化）了，直接先設出 動點坐標（一母式），然后列出面積方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全