(完整版)高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)整理

1、1 1 數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系:anS（n 1）注意通項(xiàng)能否合并。Sn & i,（n 2）.2 2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an-an 1=d=d ， (n n2 2, n n N N ), 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項(xiàng)：若三數(shù)a、A b成等差數(shù)列或anpn q（p、q是常數(shù)）前n項(xiàng)和公式：n n 1Snnd2常用性質(zhì)：1若mnp qm,n, p,q N，貝 U Uamanapaq；2下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)ak,ak m,ak 2m,，仍組成等差數(shù)列；3數(shù)列anb（,b為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；4若an、0是等差數(shù)列，

2、則kan、kanpbn（k、p是非零常數(shù)）、ap nq（ p,q N ）、，也成等差數(shù)列。單調(diào)性：an的公差為d，則：i)d0an為遞增數(shù)列；ii)d0an為遞減數(shù)列；iii)d0an為常數(shù)列；數(shù)列an為等差數(shù)列anpn q（ p,qp,q 是常數(shù)）若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,則Sk、S2kSk、S3kS2k是等差數(shù)列。3 3、等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。等比中項(xiàng)：若三數(shù)a、Gb成等比數(shù)列G2ab,（ab同號(hào)）。反之不一定成立。數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1(n 1)d am(n m)dn a-i an2通項(xiàng)公式：a

3、nn 1n magamq前n項(xiàng)和公式：a11 qnSi1 qa1anq1 q常用性質(zhì)若m n pq m,n, p,qN,則amanapaq；ak，ak m，ak 2m,為等比數(shù)列，公比為qk（下標(biāo)成等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列）3數(shù)列an（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列an；則lg an是公差為lg q的等差數(shù)列；4若an是等比數(shù)列，則can, an2,anr（r Z）是等比數(shù)列，公比依次是5單調(diào)性：ai0,q 1或印0,0 q1a“為遞增數(shù)列；ai0,0 q 1 或 q 0,q1a.為遞減數(shù)列；q 1an為常數(shù)列；q 0an為擺動(dòng)數(shù)列；6既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)

4、列是常數(shù)列。7若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,則Sk、S2kSk、S3kS2k 是等比數(shù)列 4 4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型II觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析， 尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。類型nI公式法：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用 公式an（n構(gòu)造兩式作差求解。& S.1,5 2）用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二21q，qq，為一”，即印和an合為一個(gè)表達(dá)，（要先分n 1和n 2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn) 證能否統(tǒng)一）。類型川| 累加法：形如a

5、n 1anf（n）型的遞推數(shù)列（其中f（n）是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：an41f(n 1) an 1an 2f(n 2)a2aif (1)將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相加，可得:anf(n 1) f(n 2) .f(2)f(1) a(n 2)1若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和2若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和3若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和若f (n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和. .類型W |累乘法：a形如an 1anf(n)口f(n)型的遞推數(shù)列(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù))可構(gòu)亙f (n 1)an 1造:an1f(n 2

6、)an 2亞f(1)a1將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相乘，可得:anf(n 1) f(n 2) . f(2) f(1)a1,( n 2)有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型v |構(gòu)造數(shù)列法：形如an 1panq(其中p, q均為常數(shù)且p 0) 型的遞推式：(1 1 )若P 1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列；(2) 若q 0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；(3)_若p 1且q 0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造 _比數(shù)列來求. .方法有如下兩種：法一：設(shè)an 1p(an), ,展開移項(xiàng)整理得an 1pan( p 1), ,與題設(shè)an 1panq比較系數(shù)(待定系數(shù)法)得

7、 為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列. .再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公p 1式求出an旦的通項(xiàng)整理可得an.p 1a a法二：由an 1panq得anpan 1q(n 2)兩式相減并整理得 丄1np,即anan 1an 1an構(gòu)成以a2印為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列. .求出an 1an的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化 為類型川(累加法)便可求出an.形如an 1panf(n)(p 1)型的遞推式：當(dāng)f (n)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)：法一：設(shè)anAn B p an 1A(n 1) B，通過待定系數(shù)法確定A、B的值，轉(zhuǎn)化成以a1A B為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列anAn B，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出anAn B的通

8、項(xiàng)整理可得an.法二： 當(dāng)f(n)的公差為d時(shí)，由遞推式得：an 1panf(n),anpan 1f (n 1)兩式相減得：an 1a“bnpbn 1d轉(zhuǎn)化為類型V求出bn,再用類型川(累加法)便可求出an.當(dāng)f (n)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí)：法一：設(shè)anf(n) p an 1f (n 1),通過待定系數(shù)法確定 的值，轉(zhuǎn)化成以a1f(1)為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列anf(n)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求 出anf(n)的通項(xiàng)整理可得an.法二：當(dāng)f(n)的公比為q時(shí)，由遞推式得：an 1panf(n)-，anpan 1f (n 1),兩邊同時(shí)乘以q得a.q pqa“ 1qf (n 1

9、)，由兩式相,(p0)an 1p(ananp(am壽即an 構(gòu)成以a1p 1p(anan 1) d，令bnan 1an得:減得an 1anq p（anqan 1），即qanp，在轉(zhuǎn)化為類型V便可求出a*.anqan 1法三：遞推公式為a* 1panqn（其中 p p, q q 均為常數(shù)）或a* 1pa*rqn（其中p p, q,q, r r 均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊冋時(shí)除以n 1an 1q，得：n1qp ? an1nqqq引入輔助數(shù)列bn（其中bn冷），得：bn 1bn1-再應(yīng)用類型VP的方法解決。qqq當(dāng)f （n）為任意數(shù)列時(shí)，可用 通法：在an 1panf（n）兩邊同時(shí)除以pn1

10、可得到an 1anf(n)令nn 1，令6 ,則ppppbn 1bn ，在轉(zhuǎn)化為 類型川（累加法），求出bi之后得anpbn. .p類型w對(duì)數(shù)變換法：形如an 1paq( p 0,an0)型的遞推式在原遞推式an 1paq兩邊取對(duì)數(shù)得Igan1qlganlg p，令bnlg an得：bn 1qbnlg p，化歸為an 1panq型，求出bn之后得an10bn（注意： 底數(shù)不一定要取 1010,可根據(jù)題意選擇）。類型四倒數(shù)變換法：形如an 1anpan 1an(p為常數(shù)且p0）的遞推式：兩邊同除于an 1an，轉(zhuǎn)化為11p形式，化歸為an 1panq型求出丄的表達(dá)式，再求an；anan 1an還

11、有形如 a a,man的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成 丄 印丄m形式，化歸n 1papanq qa an 1q q a anp p為an 1panq型求出 丄的表達(dá)式，再求an. .an類型忸| 形如an 2pan 1qan型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)歹U anan 1的形式求解。方法為設(shè)an 2kan 1h（an 1kan），比較系數(shù)得h k p, hk q，可解得h、k,于是1(2n 1)(2 n 1)1 1 12(2 n 1 2n 1)呼1cnman 1kan是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為a. 1總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方

12、法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式an.5 5、非等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法錯(cuò)位相減法若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列anbn的求和就要采用此法將數(shù)列an0的每一項(xiàng)分別乘以bn的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和 此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法 裂項(xiàng)相消法(a,bi,b2,c為常數(shù))時(shí)，往往可將(an bj(an b2)an變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)：設(shè)an，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得an b an b2，從而可得常見的拆項(xiàng)公式有:n(n 1)n n! (n 1)! n!.分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 一般分兩步：找通向項(xiàng)公式由通項(xiàng)公式確定如何分組 . .panq型。般