空間幾何體的表面積和體積

1、問題提出問題提出 1. 1.對(duì)于空間幾何體，我們分別從結(jié)對(duì)于空間幾何體，我們分別從結(jié)構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面進(jìn)行了研究，為構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面進(jìn)行了研究，為了度量一個(gè)幾何體的大小，我們還須進(jìn)了度量一個(gè)幾何體的大小，我們還須進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何體的表面積和體積一步學(xué)習(xí)幾何體的表面積和體積. . 2. 2.柱、錐、臺(tái)、球是最基本、最簡柱、錐、臺(tái)、球是最基本、最簡單的幾何體，研究空間幾何體的表面積單的幾何體，研究空間幾何體的表面積和體積，應(yīng)以柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積，應(yīng)以柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積為基礎(chǔ)和體積為基礎(chǔ). .那么如何求柱、錐、臺(tái)、那么如何求柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積呢？球的表面積和體積呢？

2、探究一探究一:柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 思考思考1:1:面積是相對(duì)于平面圖形而言面積是相對(duì)于平面圖形而言的，體積是相對(duì)于空間幾何體而言的，體積是相對(duì)于空間幾何體而言的的. .你知道面積和體積的含義嗎？你知道面積和體積的含義嗎？面積面積:平面圖形所占平面的大小平面圖形所占平面的大小 體積體積:幾何體所占空間的大小幾何體所占空間的大小 長方體的表面積長方體的表面積aabc26Sa=表2)Sabacbc=+表（探究探究 棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的展開圖是什么？如何計(jì)算

3、它們的表面積？表面積？棱柱的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖是由是由平行四邊形平行四邊形組成的平面圖形組成的平面圖形棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是由是由三角形三角形組成的平面圖形組成的平面圖形棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由是由梯形梯形組成的平面圖形。組成的平面圖形。 這樣，求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的這樣，求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的問題就可問題就可轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題。的面積問題。.),(,1求它的表面積如下圖面體四各面均為等邊三角形的、已知棱長為例ABCSaSBACD23a變式練習(xí)變式練習(xí)33.26.3.2.81DCBA，表面積的比

4、值為表面積與此正四面體的則正方體的恰好是正四面體的頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)的正方體棱長為B圓柱的展開圖是一個(gè)矩形：圓柱的展開圖是一個(gè)矩形：如果圓柱的底面半徑為如果圓柱的底面半徑為 ，母線為，母線為 ，那么圓柱，那么圓柱的底面積為的底面積為 ，側(cè)面積為，側(cè)面積為 。因此圓柱的。因此圓柱的表面積為表面積為rl2rrl2)(2222lrrrlrSOO圓柱的表面積圓柱的表面積圓錐的展開圖是一個(gè)扇形：圓錐的展開圖是一個(gè)扇形： 如果圓柱的底面半徑為如果圓柱的底面半徑為 ，母線為，母線為 ，那么它，那么它的表面積為的表面積為rl)(2lrrrlrSO Sr2圓錐的表面積圓錐的表面積 設(shè)圓臺(tái)的母線長為設(shè)圓臺(tái)的母線長

5、為l，上、下底面的周長為，上、下底面的周長為c、c，半徑分別是，半徑分別是r、r,求圓臺(tái)的側(cè)面積求圓臺(tái)的側(cè)面積.解：解：S圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè))(21xlc12cx-,cxcxl=+/1() 2clcc x=+-代入代入，得，得1()2cc l=+/rrl/ccxSS=-大扇小扇1()2clclcccc=+-S圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè)/cclcxlrr)(/ 圓臺(tái)的展開圖是一個(gè)扇環(huán)，它的表面積等于圓臺(tái)的展開圖是一個(gè)扇環(huán)，它的表面積等于上、下兩個(gè)底面和加上側(cè)面的面積，上、下兩個(gè)底面和加上側(cè)面的面積，即即)(22 rllrrrSOO2 rr2圓臺(tái)的表面積圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積側(cè)側(cè)

6、面面展展開開圖圖圓臺(tái)圓臺(tái)圓錐圓錐圓柱圓柱名名稱稱側(cè)側(cè)面面積積ccc/c表表面面積積rlrS222)()(22rll rrrSlllrlclS2側(cè)rlclS21側(cè)lrrlccS)()(21/側(cè))(2lrrrlrS思考思考: :在圓臺(tái)的表面積公式中，在圓臺(tái)的表面積公式中，若若r=rr=r，r=0r=0，則公式分別變，則公式分別變形為什么？形為什么？22()Srrr lrl()Sr rl2()Sr rlr=rr=rr=0r=0 例例2:2:一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm20cm，盆底直徑為，盆底直徑為15cm15cm，底部滲水圓，底部滲水圓孔直徑為孔直徑為1.5cm1.5c

7、m，盆壁長，盆壁長15cm15cm，為了，為了美化花盆的外觀，需要涂油漆美化花盆的外觀，需要涂油漆. . 已知已知每平方米用每平方米用100100毫升油漆，涂毫升油漆，涂100100個(gè)這個(gè)這樣的花盆需要多少油漆（精確到樣的花盆需要多少油漆（精確到1 1毫毫升）？升）？ 202015151515221 . 01000mcmS變式練習(xí)變式練習(xí)C0000270.180.120.90.32)23(8) 14(6 .) 13(8)34(6 .) 13(8 .)34(6 .461DCBA，、DCBA，、扇形的圓心角為開圖那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展倍面積的已知圓錐的全面積是底或或則圓柱的全面積為的矩形和長為圓柱的

8、側(cè)面展開圖是邊C變式練習(xí)變式練習(xí)A3 .5 .6 .7 .84333DCBA，、面半徑為則圓臺(tái)較小底圓臺(tái)的側(cè)面積為母線長為倍另一個(gè)底面周長的圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是C幾何體表面上距離最值幾何體表面上距離最值aaDaCaBAAA，a，ABCDP、312.6 .4.22 .303230的最短距離為環(huán)繞側(cè)面一周后回到點(diǎn)出發(fā)則從點(diǎn)為側(cè)面等腰三角形的頂角的側(cè)棱長為已知正四棱錐例1、 長方體長方體AC1中，中，AB=3，BC=2，BB1=1，由由A到到C1在長方體表面上的最短距離是多少？在長方體表面上的最短距離是多少？A1DACBD1B1C1AA1B1BC1D1CC1B1A1BADD1C1A1AB123262

9、023變式練習(xí)變式練習(xí)B222241.23.21.43.213_1832lDlClBlAl，l，、。AA，、頂點(diǎn)的最大截面面積為則過圓錐的高為圓錐的母線長為的最短距離為到點(diǎn)出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回從圓錐底面一點(diǎn)一螞蟻母線長為一圓錐的底面半徑為18思考思考3:3:關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理：關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理： （1 1）相同的幾何體的體積相等；）相同的幾何體的體積相等； （2 2）一個(gè)幾何體的體積等于它的各）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和；部分體積之和； （3 3）等底面積等高的兩個(gè)同類幾何）等底面積等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等；體的體積相等； （4 4）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做）體積相

10、等的兩個(gè)幾何體叫做等積體等積體. . 如果兩個(gè)幾何體滿足下列兩個(gè)條件：如果兩個(gè)幾何體滿足下列兩個(gè)條件：那么，這兩個(gè)幾何體的那么，這兩個(gè)幾何體的體積相等。體積相等。能夠夾在兩個(gè)平行平面內(nèi)，能夠夾在兩個(gè)平行平面內(nèi)， 即：高相等即：高相等用平行于上述兩個(gè)平行平面的用平行于上述兩個(gè)平行平面的任意任意平面去平面去 截這兩個(gè)幾何體，截得的截面截這兩個(gè)幾何體，截得的截面面積總相等面積總相等；任意兩個(gè)錐體，如果它們的底面積和高任意兩個(gè)錐體，如果它們的底面積和高都相等，那么它們的體積有什么關(guān)系呢？都相等，那么它們的體積有什么關(guān)系呢？答相等。答相等。如圖，設(shè)它們的底面積都是如圖，設(shè)它們的底面積都是S，高都是，高都

11、是h，h1hSSS2S1下面我們以三棱錐和圓錐為例加以證明。下面我們以三棱錐和圓錐為例加以證明。柱體、錐體、臺(tái)體的體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積正方體、長方體，以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)正方體、長方體，以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為：一為：V = Sh（S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）一般棱柱的體積公式也是一般棱柱的體積公式也是V = Sh，其中，其中S為為底面面積，底面面積，h為高。為高。棱錐的體積公式也是棱錐的體積公式也是 ，其中，其中S為底為底面面積，面面積，h為高。為高。ShS31拓廣與遷移拓廣與遷移三棱錐體積的推導(dǎo)是的三棱錐體積的推導(dǎo)是的難點(diǎn)，它不但證明了錐難點(diǎn)，它不但證明了錐體的體

12、積公式，同時(shí)也體的體積公式，同時(shí)也給了我們一種求體積的給了我們一種求體積的新方法：新方法：思考題斜三棱柱斜三棱柱ABCABC的側(cè)面的側(cè)面BBCC的面積為的面積為S,AA到此側(cè)面的距離為到此側(cè)面的距離為a,求斜三棱柱的體積求斜三棱柱的體積V 。ABCABCABCAABCBCABCABCABCABC探究探究探究圓錐與同底等高的圓柱體積之探究圓錐與同底等高的圓柱體積之間的關(guān)系？間的關(guān)系？OOO S它是同底同高的圓柱的體積的它是同底同高的圓柱的體積的 。31圓臺(tái)圓臺(tái)(棱臺(tái)棱臺(tái))的體積公式：的體積公式：hSSSSV)(31 其是其是S，S分別為上底面面積，分別為上底面面積，h為圓臺(tái)為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高。（棱

13、臺(tái)）高。思考思考: :在臺(tái)體的體積公式中，若在臺(tái)體的體積公式中，若S=SS=S，S=0S=0，則公式分別變形為，則公式分別變形為什么？什么？S=SS=SS=0S=01()3VSS SS h13VShVSh?)14. 3(,10,10,12,8 . 5)()/8 . 7( 33取大約有多少個(gè)問這堆螺帽高為內(nèi)孔直徑邊長為已知底面是正六邊形共重如下圖六角螺帽鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制例mmmmmmkgcmg V2956V2956（mmmm3 3）=2.956=2.956（cmcm3 3） 5.85.81001007.87.82.9562.956252252（個(gè)）（個(gè)） 變式練習(xí)變式練習(xí)._3_;

14、180132_;1111111112積之比為的體積與余下部分的體則棱錐截下一個(gè)棱錐中在長方體則此棱柱的體積為側(cè)面積為正六棱柱最長對(duì)角線為則它的體積為的半圓圈成一個(gè)圓錐半徑為DDAC，DDAC，DCBAABCD、，cmcm，、，R、3243R180613)2(22ahha56ha32705:1shshVDDAc61213111shshshV6561余下不規(guī)則幾何體的體積用求差法。不規(guī)則幾何體的體積用求差法。變式練習(xí)變式練習(xí)？，ABC，CBCABCAC，BBAA，AA，、高為多少液面水平放置時(shí)當(dāng)?shù)酌娴闹悬c(diǎn)液面恰好過水平放置時(shí)若側(cè)面且側(cè)棱有水一個(gè)直三棱柱容器中盛1111111,846BDACEA1B

15、1C1D1E1 5、 如圖如圖,將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線做一個(gè)截面做一個(gè)截面,求截得的兩部分的體積比求截得的兩部分的體積比. 四面體的底面可四面體的底面可以改變，選擇合適的以改變，選擇合適的面做底面，求體積。面做底面，求體積。（等積變換）（等積變換）5:1。ABCS，SCSBSASASCSCSBSB，SAABCS、的體積求三棱錐且中三棱錐3, 2, 1,6小結(jié)小結(jié) 本節(jié)課主要介紹了求空間幾本節(jié)課主要介紹了求空間幾何體的表面積和體積的公式和方何體的表面積和體積的公式和方法：法： 將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，利用平面圖形求面積

16、的形問題，利用平面圖形求面積的方法求立體圖形的表面積。方法求立體圖形的表面積。球的體積和表面積球的體積和表面積球的體積球的體積球的表面積球的表面積343VRp=24SRp= 某街心花園有許多鋼球某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm3),每個(gè)鋼球重每個(gè)鋼球重145kg,并且外徑等于并且外徑等于50cm,試根據(jù)以上試根據(jù)以上數(shù)據(jù)數(shù)據(jù),判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的,如果是空心如果是空心的的,請(qǐng)你算出它的內(nèi)徑請(qǐng)你算出它的內(nèi)徑.(取取3.14,結(jié)果精確到結(jié)果精確到1cm) 如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯,的三視圖的三視圖,試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的

17、表面積和體積視圖計(jì)算它的表面積和體積(單位單位:cm,取取3.14,結(jié)結(jié)果精確到果精確到1cm3,可用計(jì)算器可用計(jì)算器)168202842041.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉眢w積變?yōu)樵瓉淼膸妆兜膸妆?2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,求這個(gè)球的體積求這個(gè)球的體積. 8倍倍332A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例例. .如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個(gè)頂它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球點(diǎn)都在球

18、O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系例.鋼球直徑是5cm,求它的體積.( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中盒中, ,至少要用多大的紙至少要用多大的紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與