高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修22

1、第一章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1dx等于(b)a2ln2b2ln2cln2 dln2解析因為(2lnx)，所以 dx2lnx|2ln42ln22ln22曲線yx33x21在點(1，1)處的切線方程為(b)ay3x4 by3x2cy4x3 dy4x5解析點(1，1)在曲線上，y3x26x，y|x13，即切線斜率為3利用點斜式得，切線方程為y13(x1)，即y3x2故選b3(2018·全國卷文，6)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x

2、)在點(0,0)處的切線方程為(d)ay2x byxcy2x dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa又f(x)為奇函數(shù)， f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1， f(x)3x21， f(0)1， 曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx故選d4(2018·青島高二檢測)下列函數(shù)中，x0是其極值點的函數(shù)是(b)af(x)x3 bf(x)cosxcf(x)sinxx df(x)解析對于a，f (x)3x20恒成立，在r上單調(diào)遞減，沒有極值點；對于b，f (x)sinx，當(dāng)x(，0)時，f (x)<0

3、，當(dāng)x(0，)時，f (x)>0，故f(x)cosx在x0的左側(cè)區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在其右側(cè)區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以x0是f(x)的一個極小值點；對于c，f (x)cosx10恒成立，在r上單調(diào)遞減，沒有極值點；對于d，f(x)在x0沒有定義，所以x0不可能成為極值點，綜上可知，答案選b5已知函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時取得極值，則a(d)a2b3c4d5解析f (x)3x22ax3，由條件知，x3是方程f (x)0的實數(shù)根，a56(2017·浙江卷)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是(d)解析觀察導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可

4、知，f(x)的函數(shù)值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，對應(yīng)函數(shù)f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增觀察選項可知，排除a，c如圖所示，f(x)有3個零點，從左到右依次設(shè)為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x2>0，故選項d確，故選d7若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于(d)a2b3c6d9解析f (x)12x22ax2b，又因為在x1處有極值，ab6，a>0，b>0，ab()29，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時取等號，所以ab的最大值等于9故選d8函數(shù)f(x)ax3ax22ax1的圖

5、象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是(d)a<a< b<a<c<a< da<或a>解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過四個象限，則f(2)f(1)<0，即(a1)(a1)<0，解得a<或a>故選d9(2018·沈陽一模)設(shè)函數(shù)f(x)xex1，則(d)ax1為f(x)的極大值點bx1為f(x)的極小值點cx1為f(x)的極大值點dx1為f(x)的極小值點解析由于f(x)xex，可得f(x)(x1)ex，令f(x)(x1)ex0可得x1，令f(x)(x1)ex0可得x1，即函數(shù)

6、在(1，)上是增函數(shù)令f(x)(x1)ex0可得x1，即函數(shù)在(，1)上是減函數(shù)所以x1為f(x)的極小值點故選d10(2017·全國卷理，11)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值是(a)a1 b2e3 c5e3 d1解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)·ex1ex1·x2(a2)xa1由x2是函數(shù)f(x)的極值點得f(2)e3·(42a4a1)(a1)e30，所以a1所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1·(x2x2)由ex1>0恒成立，得x2或x1時，f

7、(x)0，且x<2時，f(x)>0；2<x<1時，f(x)<0；x>1時，f(x)>0所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1故選a11已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x3x25，若對任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)2成立，則a的取值范圍是(b)a(0，) b1，)c(，0) d(，1解析由于g(x)x3x25g(x)3x22xx(3x2)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，g5，g(2)8451由于對x1，x2，f(x1)g(x2)2恒成立，f(x)g(x)2max，即x時，f(x)1恒成立，即xlnx1

8、，在上恒成立，axx2lnx在上恒成立，令h(x)xx2lnx，則h(x)12xlnxx，而h(x)32lnx，x時，h(x)<0，所以h(x)12xlnxx在單調(diào)遞減，由于h(1)0，x時，h(x)>0，x1,2時，h(x)<0，所以h(x)h(1)1，a112(2017·全國卷理，11)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a(c)a b c d1解析方法1：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有

9、唯一零點，g(t)也有唯一零點又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a故選c方法2：f(x)0a(ex1ex1)x22xex1ex122，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”若a>0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a1，即a若a0，則f(x)的零點不唯一故選c二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13(2017·南開區(qū)二模)已知f(x)x(2016lnx)，f(x0)2017，則x01_解析f(x)2016lnx12017lnx又f(x0)2017，f(x0)

10、2017lnx02017，則lnx00，x0114(2018·海淀區(qū)校級期末)已知函數(shù)f(x)x22lnx，則f(x)的最小值為1解析函數(shù)的定義域(0，)f(x)2x2·令f(x)0x1; f(x)00x1所以函數(shù)在(0,1單調(diào)遞減，在1，)單調(diào)遞增所以函數(shù)在x1時取得最小值，f(x)minf(1)1故答案為115如圖陰影部分是由曲線y、y2x與直線x2、y0圍成，則其面積為ln2解析由，得交點a(1,1)由得交點b故所求面積sdxdxxlnxln216(2018·玉溪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為1,5，部分對應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所

11、示，給出關(guān)于f(x)的下列命題：x10245f(x)12021函數(shù)yf(x)在x2取到極小值；函數(shù)f(x)在0,1是減函數(shù)，在1,2是增函數(shù)；當(dāng)1a2時，函數(shù)yf(x)a有4個零點；如果當(dāng)x1，t時，f(x)的最大值是2，那么t的最小值為0其中所有正確命題是(寫出正確命題的序號)解析由圖象可知當(dāng)1x0,2x4時，f(x)0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0x2,4x5時，f(x)0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0或x4時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x2時，函數(shù)取得極小值所以正確函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，所以錯誤因為x0或x4時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x2時，函數(shù)取得極小值所以f(0)2，f(4)2，f(2)0，因為f(

12、1)f(5)1，所以由函數(shù)圖象可知當(dāng)1a2時，函數(shù)yf(x)a有4個零點；正確因為函數(shù)在1,0上單調(diào)遞增，且函數(shù)的最大值為2，所以要使當(dāng)x1，t時，f(x)的最大值是2，則t0即可，所以t的最小值為0，所以正確故答案為三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本題滿分10分)(2018·贛州二模)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)2alnx有兩個極值點x1，x2，且x1x2求實數(shù)a的取值范圍解析(1)因為f(x)(x1)2alnx，f(x)2(x1)，(x>0)即f(x)，令g(x)2x22xa，(x0)則(x1x2)是方程2x22xa0的兩個正

13、實根則，得0<a<18(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)當(dāng)a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值為，求a的值解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f (x)a，(1)當(dāng)a1時，f (x)，當(dāng)x(0，)時，f (x)>0，當(dāng)x(，2)時，f (x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)；(2)當(dāng)x(0,1時，f (x)a>0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a，因此a19(本題滿分12分)在曲線yx2(x0)上某一點a處作一切線

14、，使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為，試求切點a的坐標(biāo)及過切點a的切線方程解析如圖所示，設(shè)切點a(x0，y0)，過切點a的切線與x軸的交點為c由y2x知a點處的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0xx令y0，得x，即c(，0)設(shè)由曲線yx2(x0)與過a點的切線及x軸所圍成圖形的面積為s，則ss曲邊aobsabcs曲邊aobx00x2dxx3|x00x，sabcbc·ab(x0)·xx，sxxx，x01，切點a的坐標(biāo)為(1,1)，即過切點a的切線方程為2xy1020(本題滿分12分)(2018·和平區(qū)三模)設(shè)函數(shù)f(x)lnx ax2bx(1)當(dāng)ab時，

15、求函數(shù)f(x)的最大值；(2)令f(x)f(x)x2bx(0x3)，若其圖象上的任意點p(x0，y0)處切線的斜率k恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)依題意，知f(x)的定義域為(0，)，當(dāng)ab時，f(x)lnxx2x，f(x)x令f(x)0，解得x1(x0)因為g(x)0有唯一解，所以g(x2)0，當(dāng)0x1時，f(x)0，此時f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x1時，f(x)0，此時f(x)單調(diào)遞減所以f(x)的極大值為f(1)，此即為最大值(2)f(x)lnx，x(0,3，則有kf(x0)，在x0(0,3上恒成立，所以a(xx0)max，x0(0,3，當(dāng)x01時，xx0取得最大值，所以a21(本題滿分

16、12分)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，其次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)之間大體滿足關(guān)系：p(其中c為小于6的正常數(shù))(注：次品率次品數(shù)/生產(chǎn)量，如p01表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額t(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？解析(1)當(dāng)x>c時，p，所以tx·2x·10當(dāng)1xc時，p，所以t(1)·x·2

17、()·x·1綜上，日盈利額t(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為：t(2)由(1)知，當(dāng)x>c時，每天的盈利額為0，當(dāng)1xc時，t，令t0，解得x3或x9因為1<x<c，c<6，所以()當(dāng)3c<6時，tmax3，此時x3()當(dāng)1c<3時，由t知函數(shù)t在1,3上遞增，所以tmax，此時xc綜上，若3c<6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時，可獲得最大利潤；若1c<3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時，可獲得最大利潤22(本題滿分14分)(2018·全國卷理，21)已知函數(shù)f(x)xaln x(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明：<a2解析(1)解：f(x)的定義域為(0，)，f(x)1若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a2，令f(x)0，得x或x當(dāng)x時，f(x)0；當(dāng)x時，f(x)0所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a2由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1x2，則x21由于1a2a2a