高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修23

1、§3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念.2.會通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果.3.掌握建立線性回歸模型的步驟知識點一線性回歸模型思考某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345請問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關(guān)關(guān)系？y關(guān)于x的線性回歸方程是什么？答案畫出散點圖，由圖可知，樣本點散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關(guān)關(guān)系設(shè)所求的線性回歸方程為x，則0.5，0.4.所以年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為0.5x0.4

2、.梳理(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系(2)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法(3)對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，回歸直線ybxa的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為， ，其中(，)稱為樣本點的中心(4)線性回歸模型ybxae，其中a和b是模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報變量知識點二線性回歸分析具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的線性回歸方程為x.思考1預(yù)報變量與真實值y一樣嗎？答案不一定思考2預(yù)報值與真實值y之間誤差大了好還是小了好？答案越小越好梳理(1)殘差平方和

3、法iyiiyixi (i1,2，n)稱為相應(yīng)于點(xi，yi)的殘差殘差平方和(yii)2越小，模型的擬合效果越好(2)殘差圖法殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高(3)利用相關(guān)指數(shù)r2刻畫回歸效果其計算公式為：r21，其幾何意義：r2越接近于1，表示回歸的效果越好知識點三建立回歸模型的基本步驟1確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量2畫出解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)3由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程)4按

4、一定規(guī)則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數(shù)5得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等1求線性回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗(×)2在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號()3利用線性回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值(×)類型一求線性回歸方程例1某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)

5、的判斷力考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)如圖：(2)iyi6×28×310×512×6158，9，4，6282102122344，0.7，40.7×92.3，故線性回歸方程為0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x9時，0.7×92.34，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系計算：，iyi.代入公式求出x中參數(shù)，的值寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計(2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意

6、義，否則求出的回歸方程毫無意義跟蹤訓(xùn)練1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：x23456y2.23.85.56.57.0由此資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系(1)求線性回歸方程；(2)求使用年限為10年時，該設(shè)備的維修費(fèi)用為多少？考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)由上表中的數(shù)據(jù)可得4，5，90，iyi112.3，1.23，51.23×40.08.線性回歸方程為1.23x0.08.(2)當(dāng)x10時，1.23×100.0812.38.即使用年限為10年時，該設(shè)備的維修費(fèi)用約為12.38萬元類型二回歸分析例2在一段時間內(nèi)，某種商品的價

7、格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x1416182022y1210753求出y對x的線性回歸方程，并說明擬合效果的程度考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解(1416182022)18，(1210753)7.4.1421621822022221 660，iyi14×1216×1018×720×522×3620，可得回歸系數(shù)1.15，所以7.41.15×1828.1，所以線性回歸方程為1.15x28.1.列出殘差表：yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4則(yii)20.3，(yi)253.2.r

8、210.994.所以回歸模型的擬合效果很好反思與感悟(1)該類題屬于線性回歸問題，解答此類題應(yīng)先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)r2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對實際問題進(jìn)行分析(2)刻畫回歸效果的三種方法殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適殘差平方和法：殘差平方和(yii)2越小，模型的擬合效果越好相關(guān)指數(shù)法：r21越接近1，表明回歸的效果越好跟蹤訓(xùn)練2關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070有如下的兩個線性模型：(1)6.5x17.5；(2)7

9、x17.試比較哪一個擬合效果更好考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解由(1)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii0.53.5106.50.5yi201010020(yii)2(0.5)2(3.5)2102(6.5)20.52155，(yi)2(20)2(10)2102022021 000.r110.845.由(2)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii15893yi201010020(yii)2(1)2(5)282(9)2(3)2180，(yi)2(20)2(10)2102022021 000.r110.82.由于r0.845，r0.82,0.845>0.82，r>r.(

10、1)的擬合效果好于(2)的擬合效果例3某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值(xi)2(wi)2(xi)·(yi)(wi)·(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根據(jù)散點圖判斷，yabx與ycd哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3

11、)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計分別為， .考點非線性回歸分析題點非線性回歸分析解(1)由散點圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于68，56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.(3)由(2)知，當(dāng)

12、x49時，年銷售量y的預(yù)報值100.668576.6，年利潤z的預(yù)報值576.6×0.24966.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值0.2(100.668)xx13.620.12.所以當(dāng)6.8，即x46.24時，取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大反思與感悟求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點圖(2)根據(jù)散點圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程(4)分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程跟蹤訓(xùn)練3在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的

13、5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程考點非線性回歸分析題點非線性回歸分析解由數(shù)值表可作散點圖如圖，根據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)，令t，則kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點圖如下：由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.062 57.753694.2521.312 5所以1.55，7.2.所以4.134 4，0.8.所以4.134 4t0.8.所以y與x之間的回歸方程

14、是0.8.1下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是()a角度和它的余弦值b正方形的邊長和面積c正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和d人的年齡和身高考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案d解析函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系a，b，c三項中的兩個變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f()cos ，g(a)a2，h(n)(n2).d選項中的兩個變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選d.2設(shè)有一個線性回歸方程21.5x，當(dāng)變量x增加1個單位時()ay平均增加1.5個單位by平均增加2個單位cy平均減少1.5個單位dy平均減少2個單位考點線性回歸分析題點線性回

15、歸方程的應(yīng)用答案c解析由回歸方程中兩個變量之間的關(guān)系可以得到3如圖四個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是()a b c d考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案b解析由圖易知兩個圖中樣本點在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型4某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回歸直線方程x中的5，據(jù)此模型預(yù)測當(dāng)零售價為14.5元時，每天的銷售量為()a51個 b50個c54個 d48個考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應(yīng)用答案c解析由題意知17.5，39，代入回歸直線方程得126.5,126

16、.514.5×554，故選c.5已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出線性回歸方程考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40×11×32×53×734，xxxx0212223214.(2)2， 42×1.51，故線性回歸方程為2x1.回歸分析的步驟：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是

17、否存在線性關(guān)系等)；(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程x)；(4)按一定規(guī)則估算回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等一、選擇題1對于線性回歸方程x (>0)，下列說法錯誤的是()a當(dāng)x增加一個單位時，的值平均增加個單位b點(，)一定在x所表示的直線上c當(dāng)xt時，一定有ytd當(dāng)xt時，y的值近似為t 考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應(yīng)用答案c解析線性回歸方程是一個模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有

18、些散點不一定在回歸直線上2給定x與y的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r0.690，則()ay與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)by與x的相關(guān)性很強(qiáng)cy與x正相關(guān)dy與x負(fù)相關(guān)考點線性相關(guān)系數(shù)題點線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案d解析因為r<0，所以y與x負(fù)相關(guān)，又|r|0.75,1才表示y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，所以選d.3某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當(dāng)天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程2x60，則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為()氣溫x()1131018杯數(shù)yy0343824a58 b64 c62 d60考點線

19、性回歸分析題點線性回歸方程的應(yīng)用答案b解析由表中數(shù)據(jù)易知10，代入2x60中，得40.由40，得y064.4已知變量x與y負(fù)相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)求得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程可能是()a.2x9.5 b.2x2.4c.0.3x4.4 d.0.4x2.3考點線性回歸方程題點求線性回歸方程答案a解析因為變量x與y負(fù)相關(guān)，所以排除b，d，將樣本平均數(shù)3，3.5代入選項驗證可知，選項a符合題意5對變量x，y進(jìn)行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用答案a解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘

20、差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高6根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為x，則()a.>0，>0 b.>0，<0c.<0，>0 d.<0，<0考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應(yīng)用答案b解析作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線x的斜率<0，當(dāng)x0時，>0.故>0，<0.7已知某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程ybxae(單位：億元)，其中b0.8，a2，|e|0.5，如果今年該地區(qū)的財政收入為10億元，

21、那么年支出預(yù)計不會超過()a9億元 b10億元c9.5億元 d10.5億元考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用答案d解析y0.8×102e10e10.5.8下列數(shù)據(jù)符合的函數(shù)模型為()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3a.y2x by2excy2dy2ln x考點非線性回歸分析題點非線性回歸分析答案d解析分別將x值代入解析式判斷知滿足y2ln x.9為了考查兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地做了100次和150次試驗，并且利用最小二乘法求得的回歸直線分別為l1和l2.已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)

22、的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法中正確的是()al1與l2有交點(s，t)bl1與l2相交，但交點不一定是(s，t)cl1與l2必定平行dl1與l2必定重合考點線性回歸方程題點樣本點中心的應(yīng)用答案a解析回歸直線l1，l2都過樣本點的中心(s，t)，但它們的斜率不確定，故選項a正確二、填空題10在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_考點線性相關(guān)系數(shù)題點線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案1解析根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知，當(dāng)

23、所有樣本點都在一條直線上時，相關(guān)系數(shù)為1.11若一個樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)r2為_考點線性相關(guān)系數(shù)題點線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案0.25解析r210.25.12已知一個線性回歸方程為1.5x45，x1,5,7,13,19，則_.考點線性回歸方程題點樣本點中心的應(yīng)用答案58.5解析9，且1.5x45，1.5×94558.5.13在研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線yebxa的周圍令ln y，求得線性回歸方程為0.25x2.58，則該模型的回歸方程為_考點非線性回歸分析題點非線性回歸分析答案ye0.25x2.58解析因為0.25

24、x2.58，ln y，所以ye0.25x2.58.三、解答題14某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程x，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間？(注：，)考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)散點圖如圖(2)由表中數(shù)據(jù)得iyi52.5，3.5，3.5，54，所以0.7，所以 3.50.7×3.51.05.所以0.7x1.05.回歸直線如圖中所示(3)將x10代入回歸直線方程，得0.7×101.058.05，所以預(yù)測加工10個零件需要8.05小時四、探究與拓展15甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對a，b兩變量進(jìn)行回