高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修23

1、第1課時排列與排列數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列(重點(diǎn))2.理解排列數(shù)公式，能利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算和證明(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1排列的概念從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列2相同排列的兩個條件(1)元素相同(2)順序相同思考：如何理解排列的定義？提示可從兩個方面理解：(1)排列的定義包括兩個方面：取出元素，按一定的順序排列；(2)兩個排列相同的條件：元素相同，元素的排列順序也相同3排列數(shù)與排列數(shù)公式排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列

2、的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號a表示全排列的概念n個不同元素全部取出的一個排列階乘的概念把n·(n1)··2·1記作n！，讀作：n的階乘排列數(shù)公式an(n1)(nm1)階乘式a(n，mn*，mn)特殊情況an！，1！1,0！1思考：排列與排列數(shù)有何區(qū)別？提示“一個排列”是指：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號a只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)兩個排列

3、的元素相同，則這兩個排列是相同的排列()(2)從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法屬于排列問題()(3)有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題()(4)從3,5,7,9中任取兩個數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個冪屬于排列問題()(5)從1,2,3,4中任取兩個數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個點(diǎn)屬于排列問題()解析(1)×因?yàn)橄嗤膬蓚€排列不僅元素相同，而且元素的排列順序也相同(2)因?yàn)槿麑W(xué)生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關(guān)，屬于排列問題(3)×因?yàn)榉纸M之后，各組與順序無關(guān)，故不屬于排列問題(4)因?yàn)槿?/p>

4、取的兩個數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，底數(shù)不同、指數(shù)不同結(jié)果不同結(jié)果與順序有關(guān)，故屬于排列問題(5)因?yàn)榭v、橫坐標(biāo)不同，表示不同的點(diǎn)，故屬于排列問題答案(1)×(2)(3)×(4)(5)2甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有()a3種b4種c6種 d12種c由排列定義得，共有a6種排列方法390×91×92××100可以表示為()aa baca dab由排列數(shù)公式得原式為a，故選b.4a_，a_. 【導(dǎo)學(xué)號：95032026】126a4×312；a3×2×16.合 作 探 究·攻 重 難排列的概念判斷

5、下列問題是否為排列問題(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；思路探究判斷是否為排列問題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān)若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題解(1)中票價只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的

6、，存在順序問題，屬于排列問題所以在上述各題中(2)(5)屬于排列問題規(guī)律方法1解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是“取出元素不重復(fù)”，二是“與順序有關(guān)”2判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是否是排列問題(1)同宿舍4人，每兩人互通一封信，問他們一共寫了多少封信？(2)同宿舍4人，每兩人通一次電話，問他們一共通了幾次電話？解(1)是一個排列問題，相當(dāng)于從4個人中任取兩個人，并且按順序排好有多少個排

7、列就有多少封信，共有a12封信(2)不是排列問題，“通電話”不講順序，甲與乙通了電話，也就是乙與甲通了電話排列的簡單應(yīng)用寫出下列問題的所有排列(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)寫出a，b，c，d四名同學(xué)站成一排照相，a不站在兩端的所有可能站法. 【導(dǎo)學(xué)號：95032027】解(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個不同的兩位數(shù)(2)如圖所示的樹形圖：故所有可能的站法是bacd，badc，bcad，bdac，cabd，cadb，cbad，cdab，dabc，dacb，dbac，dcab

8、，共12種規(guī)律方法在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列跟蹤訓(xùn)練2(1)a，b，c三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為()a3種b4種c6種 d12種(2)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應(yīng)該有_種機(jī)票(1)c(2)12(1)所有的排法有：abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種(2)列出每一個起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示故符合題

9、意的機(jī)票種類有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京、廣州天津、廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種排列數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用探究問題1兩個同學(xué)從寫有數(shù)字1,2,3,4的卡片中選取卡片進(jìn)行組數(shù)字游戲從這4個數(shù)字中選出2個或3個分別能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)或三位數(shù)？提示從這4個數(shù)字中選出2個能構(gòu)成a4×312個無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)；若選出3個能構(gòu)成a4×3×224個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)2由探究1知a4×312，a4×3×224，你能否得出a的意義和a的值？提示a的意義：假定有排好順序的2個空位，

10、從n個元素a1，a2，an中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)a.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知完成上述填空共有n(n1)種填法，所以an(n1)3你能寫出a的值嗎？有什么特征？若mn呢？提示an(n1)(n2)(nm1)(m，nn*，mn)(1)公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是nm1，共有m個因數(shù)；(2)全排列：當(dāng)mn時，即n個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：an(n1)(n2)·2·1n！(叫做n的階乘)另外，我們規(guī)定0！1

11、.所以an(n1)(n2)(nm1).(1)計(jì)算：；(2)求證：aama. 【導(dǎo)學(xué)號：95032028】思路探究：(1)合理選用排列數(shù)的兩個公式進(jìn)行展開(2)提取公因式后合并化簡解(1)1.(2)證明：aa·m·ma.aama.規(guī)律方法 排列數(shù)的計(jì)算方法1排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取元素的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用2應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計(jì)算，這樣往往會減少運(yùn)算量跟蹤訓(xùn)練3求3a4a中的x.解原方程3a4a可化

12、為，即，化簡，得x219x780，解得x16，x213.由題意知解得x8.所以原方程的解為x6.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知下列問題：從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組；從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動；從a，b，c，d四個字母中取出2個字母；從1,2,3,4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)其中是排列問題的有()a1個b2個c3個 d4個b是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動與順序有關(guān)；不是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動與順序無關(guān)；不是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€字母與順序無關(guān)；是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€數(shù)字還需要按順序排成一列24×5×6××(n1)×n等于() 【導(dǎo)學(xué)號：95032029】aa bac(n4)! dad4×5×6××(n1)×n中共有n41n3個因式，最大數(shù)為n，最小數(shù)為4，故4×5×6××(n1)×na.35本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有_種120利用排列的概念可知不同的分配方法有a120種4a6a5a_.120原式aaaa5×4×3×2×1120.5計(jì)