【總結】概率與統計高考常見題型解題思路及知識點總結

1、概率與統計高考常見題型解題思路及知識點總結一、解題思路（一）解題思路思維導圖（二）常見題型及解題思路1.正確讀取統計圖表的信息解題思路及步驟注意事項理解背景讀懂題目所給的背景，理解統計圖表各個量的意義對選項逐一判斷對選項逐一判斷，統計圖表是否能得出該選項的結論，錯誤選項一般是概念錯誤、計算錯誤、以偏概全的錯誤等典例1：（2017全國3卷理科3）某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線圖，根據該折線圖，下列結論錯誤的是（ ）.A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量

2、高峰期大致在7，8月份D各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【解析】由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤，選A.2古典概型概率問題解題思路及步驟注意事項求基本事件總數m每個基本事件要求等可能，若是條件概率問題，在有條件則基本事件總數相對減少求事件A包含基本事件個數n確定A包含基本事件個數時要不重不漏代入公式求概率，事件A已經發(fā)生的條件下在事件B發(fā)生概率典例2：（2018全國2卷理科8）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如在不超過30的素數中，隨機選取

3、兩個不同的數，其和等于30的概率是A. B. C. D. 解：不超過30的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.典例3： (2014全國2卷理科5)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是()A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45解：設某天空氣質量優(yōu)良,則隨后一天空氣質量也優(yōu)良的概率為p,則據條件概率公式得p=0.60.75

4、=0.8，故選A.3幾何概型問題解題思路及步驟注意事項求試驗全部結果所構成區(qū)域長度（或面積或體積）明確表示實驗結果的是一個變量、兩個變量還是三個變量，它們分別用長度（或角度）、面積和體積來表示求構成事件A的區(qū)域長度（或面積或體積）確定構成事件A的區(qū)域長度（或面積或體積）代入公式求概率典例4：(2016全國1卷理科4)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.解：如圖所示,畫出時間軸:小明到達的時間會隨機地落在圖中線段AB中,而當他到達時間落在線段AC或D

5、B時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘,根據幾何概型,所求概率P=.選B.4類似超幾何分布的離散型隨機變量分布列問題（古典概型求概率）解題思路及步驟注意事項寫出隨機變量可能取值明確隨機變量取每一個值的意義求出隨機變量取每個值的概率“從M個不同元素中不放回抽?。ɑ蛲瑫r抽取）n個元素”類型概率問題，用古典概型求概率寫出分布列檢驗所有概率之和是否等于1求數學期望若服從超級和分布，則可帶入公式快速求出5類似二項分布的離散型隨機變量分布列問題（頻率估計概率，相互獨立事件概率計算）解題思路及步驟注意事項寫出隨機變量可能取值明確隨機變量取每一個值的意義求出隨機變量取每個值的概率當有“把頻率當成概率或用頻率

6、估計概率”條件時，“從M個不同元素中抽出n個元素”類型概率問題就變成相互獨立事件的問題寫出分布列檢驗所有概率之和是否等于1求數學期望若服從二項分布，則可帶入公式快速求出典例5（超幾何分布與二項分布辨析）：某工廠為檢驗其所生產的產品的質量，從所生產的產品中隨機抽取10件進行抽樣檢驗，檢測出有兩件次品. （1）從這10件產品中隨機抽取3件，其中次品件數為X，求X分布列和期望；（2）用頻率估計概率，若所生產的產品按每箱100件裝箱，從一箱產品中隨機抽取3件，其中次品件數為Y，求Y分布列和期望;（3）用頻率估計概率，從所生產的產品中隨機抽取3件，其中次品件數為Z，求Z分布列和期望.分析：第（1）問中，

7、抽取產品的總體N=10，所含次品件數M=2，都是明確的，所以該隨機變量的分布為超幾何分布。第（2）問是從一箱產品中抽取，產品的總體N=100是明確的，但其中有多少件次品M是不明確的，有的同學根據樣本可認為M=20，但違背了題目中的“用頻率估計概率”這一條件，或者說沒有理解這句話的含義，本質上就是概率的定義沒有理解。根據概率定義，“用頻率估計概率”這一條件應理解為：從這100件產品中任意抽取1件產品，該件產品是次品的概率是0.2，同時抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成獨立重復實驗，該隨機變量的分布為二項分布。第（3）問是從所生產的全部產品中抽取，而全部產品有

8、多少件題目條件沒給出，這時總體N不明確（若總體N明確，就屬于第（2）問情況），其中所含次品件數M自然也是不明確的。因此，類似的，在“用頻率估計概率”這一條件，該隨機變量的分布為二項分布。解：（1）x的可能取值為0，1，2，根據題意XH(10、2、3)，所以x分布列為：，（2）Y的可能取值為0，1，2，3，根據題意YB(3,0.2)，所以Y分布列為：，（3）Z的可能取值為0，1，2，3，根據題意ZB(3,0.2)，所以Z分布列為：，以上分析用一個表歸納如下：抽取總體個數N總體中所含次品M個數隨機變量分布類型明確明確超幾何分布明確不明確二項分布不明確不明確二項分布從該例以看到，當保持不變，若N越大

9、，每次不放回抽取，抽到次品的概率與相差越小，因此，當N很大時，超幾何分布可以近似看成二項分布。典例6：據報道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點，一時間“英語考試該如何改革”引起廣泛關注，為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內的社會人士對高考英語改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3000人進行調查，就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調查統計，結果如下表：態(tài)度調查人群應該取消應該保留無所謂在校學生2100人120人y人社會人士500人x人z人已知在全體樣本中隨機抽取1人，抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.06（1）現用分層抽樣的方法在所有參與調查的人中抽取300人進行問卷訪談，問應在持“

10、無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？（2）在持“應該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進行深入交流，求第一組中在校學生人數X的分布列和數學期望解：（1）抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.06，解得x=60，持“無所謂”態(tài)度的人數為3000-2100-500-120-60=220，應在“無所謂”態(tài)度抽取220×3003000=22人（2）由（1）知持“應該保留”態(tài)度的一共有180人，在所抽取的6人中，在校學生人數為120180×6=4，社會人士人數為60180×6=2，于是第一組在校學生人數X的可能取值為1,2,3P(X=1)=C41C22C6

11、3=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C20C63=15即X的分布列為：X123P153515EX=1×15+2×35+3×15=2典例7（與函數結合）：（2018全國1卷理科20）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立 （1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點（2）現對一箱產品檢驗了20件，結

12、果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用 （i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？解：（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知，即.所以.（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產品作檢驗.6其他離

13、散型隨機變量分布列問題（頻率估計概率，方案選擇，隨機變量取值意義，與其他知識結合）解題思路及步驟注意事項寫出隨機變量可能取值這類題重點考查是否理解隨機變量取每一個值的意義求出隨機變量取每個值的概率注意對隨機變量所取的值表示多種的情況，多數情況由頻率估計估計概率寫出分布列檢驗所有概率之和是否等于1求數學期望通過數學期望進行決策典例8（與函數結合）：（2107全國3卷理科18）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關如果最高氣溫不低于25，需求量為瓶；如果

14、最高氣溫位于區(qū)間，需求量為瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為瓶為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數學期望達到最大值？解：（1）易知需求量可取，；.則分布列為：（2）當時：，此時，當時取到.當時：，此時，當時取到.當時，此時.當時，易知一定小于的情況.綜上所述當時，取到最大值為. 典例9（與數列結合）：（

15、2019全國1卷理科21）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X（1）

16、求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中，假設，(i)證明：為等比數列；(ii)求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性解：（1）由題意可知所有可能的取值為：，；則的分布列如下：（2），（i）即整理可得： 是以為首項，為公比的等比數列（ii）由（i）知：，作和可得：表示最終認為甲藥更有效的.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.7連續(xù)型隨機變量分布問題正態(tài)分布解題思路及步驟注意事項明確總體的均值和方差一般用樣本的均

17、值和方差估計總體的均值和方差求隨機變量在某范圍概率利用正態(tài)密度曲線關于對稱性求概率典例10：（2107全國1卷理科19）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸（單位：）根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布（1）假設生產狀態(tài)正常，記表示一天內抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望；（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查（）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；（）下面是檢驗員在一天內抽取的個零件的尺寸：9

18、.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得，其中為抽取的第個零件的尺寸，用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到）附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，【解析】（1）由題可知尺寸落在之內的概率為，落在之外的概率為，由題可知，所以.（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產過程的方法合理（ii），因為，所以需對當天的生產過程檢查 因此剔除，剔除數據之后

19、：所以.8最小二乘法求兩個線性變量的回歸方程問題解題思路及步驟注意事項畫散點圖若樣本點大致分布在一條直線附近，則可判斷兩個變量具有線性相關，若題設已知兩個變量線性相關，可省略該步驟求和準確計算和列表計算根據樣本數據特點合理選用公式計算，若各數據與平均數差的有效數學字比原數據少，則選用作差再相乘的公式求，寫出回歸方程運算結果保留兩位小數位數應與題目要求典例11：（2016全國3卷理科18）如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼1-7分別對應年份2008-2014.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數加以說明.(2)建

20、立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數據: yi=9.32, tiyi=40.17, =0.55,2.646.參考公式:相關系數r= 回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,解：(1)由折線圖中的數據和附注中參考數據得因為y與t的相關系數近似為0.99,說明y與t的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.(2)由=1.331及(1)得0.103,1.331-0.103×40.92.所以,y關于t的回歸方程為=0.92+0.10t.將2016年對應的t=9代入回歸方程得:=0.92+0.10×

21、;9=1.82.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸.9兩個變量通過換元可轉化為線性相關問題解題思路及步驟注意事項畫散點圖根據樣本點分布情況確定兩個變量適用的函數模型，若題設已知兩個變量的函數模型，可省略該步驟換元通過換元，使得換元后的兩個變量線性相關（一次函數關系）求線性回歸程用最小二乘法求線性回歸方程還原還原為原來兩個變量的回歸方程典例12：（2015全國1卷理科19）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數據作了初步處理,得

22、到下面的散點圖及一些統計量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程.(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(2)的結果回答下列問題:年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?年宣傳費x為何值時,年

23、利潤的預報值最大?附:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.解：(1)由散點圖的變化趨勢可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w=x,先建立y關于w的線性回歸方程.由于=y-w=563-68×6.8=100.6,所以y關于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為=100.6+68x.(3)由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值=100.6+6849=576.6,年利潤z的預報值

24、=576.6×0.2-49=66.32.根據(2)的結果知,年利潤z的預報值，=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以當x=13.62=6.8,即x=46.24時,取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.10兩個分類變量是否有關的獨立性檢驗問題解題思路及步驟注意事項2×2列聯表注意是用樣本數據而不是總體數據計算卡方注意運算策略，處理分子的交叉相乘時應先提公因式，平方數寫成乘積形式再約分，最后除法運算保留三位小數比較經驗值要根據題設中的百分比找對應的經驗值做比較下結論根據比較結果，把結論完整的表述出來，不能只是說有關或無關典

25、例13：（2018全國3卷理科18）某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數，并將完成生產任務所需時間超過和不超過的工人數填入下面的列聯表：超過不超過第一種生產方式第二種生產方式（3）根據（2）中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：， 解：

26、（1）第二種生產方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產方式的效率更高.（

27、iv）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少，因此第二種生產方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.二、知識點總結（一）知識點思維導圖（二）常用定理、公式及其變形1用樣本的數字特征估計總體的數字特征（1）樣本本均值：（2）樣本標準差：（3）頻率分布直方圖估算樣本

28、眾數、中位數、平均數眾數：最高小矩形中點值；中位數：先確定中位數所在小組，設中位數為m，由直線x=m兩側小矩形面積之和等于0.5列方程求m平均數：各小矩形中點值與其面積的積的和2隨機事件的概率及概率的意義（1）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（2）概率定義：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的頻率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率3概率的基本性質（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若AB為不可能事件，即AB=，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有