第十三講三重積分和線面積分分析

1、第十三講 三重積分、曲線、曲面積分及場論初步(數(shù)一)一、考試要求1、理解三重積分的概念，了解三重積分的基本性質。2、會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。3 、理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關 系。4、掌握計算兩類曲線積分的方法。5、掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑元關的條件，會求全微分的原 函數(shù)。6、了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲 面積分的方法， 了解高斯公式、 斯托克斯公式， 掌握用高斯公式計算曲面積 分，會用斯托克斯公式計算 曲線積分。7、了解散度與旋度的概念，并會計算。8、會用三重積分、曲線積分及曲面積分

2、，求一些幾何量與物理量(平面圖形 的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量、引力、功及流量 等)。9、理解方向導數(shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。二、內容提要1、三重積分的概念f (x, y, z)dV2、兩類曲線積分1 )、對弧長的曲線積分 ( 第一類曲線積分 )n(1) 定義： L f (x,y)ds lim0 f( i, i ) siL0 i 1(2) 性質： 1) 與積分路徑的方向無關，即 AB f (x,y)ds BA f (x,y)dsAB BA2) 可加性 f(x,y)ds f (x,y)ds f (x,y)dsL1 L2L1L22)、對坐標的曲線積分 ( 第二類曲線積分

3、 )n(1) 定義： L P(x,y)dx Q(x,y)dy lim0 P( i , i ) xi Q( i , i) yi L0 i 1(2) 性質： 1) 與積分路徑的方向有關，即LP(x,y)dx Q(x,y)dy L P(x,y)dx Q(x,y)dy2) 可加性P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x,y)dx Q(x,y)dy L1 L2L1L2注：以上兩種曲線積分可分別推廣到空間中去。3)、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系 LPdx QdydxLP忑QdydsdsL(PcosQ cos )dscos ,cos是有向曲線弧L的切線向量的方向余弦，這切線

4、向量的指向與L的方向一致Pdx Qdy Rdz PRds(Pcos Qcos Rcos )dsLL ds ds ds L3、兩類曲面積分1 )、對面積的曲面積分(第一類曲面積分)n(1) 定義： f(x,y,z)dS li叫f( , , ,) Si 1(2) 性質：1)與曲面 的側面選擇無關，即f(x,y,z)dSf(x,y,z)dS，其中一為曲面 的另一側2)可加性f (x,y,z)dSf (x,y,z)dS1f (x,y,z)dS ,215其中2)對坐標的曲面積分(第二類曲面積分)(1)定義:Pdydz Qdzdx Rdxdy性質：1)與積分曲面的側有關，即Pdydz Qdzdx Rdxd

5、y Pdydz Qdzdx Rdxdy2)可加性Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz1QdzdxRdxdyPdydz Qdzdx2Rdxdy，其中1 23)、兩類曲面積分之間的聯(lián)系Pdydz Qdzdx RdxdyP繪一 dzdxQ dSR黔s=P cos Qcos Rcos dS其中cos ,cos , cos為曲面 在點(x,y,z)處的法線的方向余弦。4、場論初步1)、方向導數(shù)設三元函數(shù)u f (x, y,z)在P(x,y,z)處可微，過P(x,y,z)點的有向線段L的方向余弦為cos ,cos ， cos ，貝Uuuup (coscoscos )xyzuL2 )梯度(grad

6、u)設數(shù)量場u（x,y,z）具有連續(xù)的偏導數(shù)，則gradu i j k x y z2亠、gradu .3)、散度(div A)設AP(x,y,z)iQ(x, y,z)jR(x, y,z)k4)、旋度(rot A)設AP(x,y,z)iQ(x, y,z)jR(x, y,z)k注：沿梯度方向的方向導數(shù)為ijk，則，則div Arot A5）、流量設有向量場FF ndSSPi Qj RkPcosSPdydz Qdzdx Rdxdy。，F(xiàn)沿定向曲面S的流通量為Qcos Rcos dS5、重積分的應用*1曲面的面積fy2dxdy質量f （x, y） , S= 1D（其中（X, y,z）為密度函數(shù)，下同）

7、(x, y, z)dV重心 x(x,y,z)dVy (x, y,z)dVz (x,y,z)dV(x, y, z)dV(x, y, z)dV(x,y,z)dV轉動慣量(yz2)(x,y,z)dVIyIzI。引力：空間立體(x2z2)(x, y,z)dV(x2(x2y2)(x,y,z)dVy2 z2)(x,y,z)dV對位于點（xoyoZo）處的單位質點引力Fx G X0dV , Fy G y0dV , Fz G Z°dV rrr其中 r (x xo)2 (y yo)2 (z z。)2.三、重要公式與結論三重積分的對稱性質對稱性若關于xoy(z=0)平面對稱，而1、1)則1是中對應于z0

8、的部分,一 w 2 f(x, y,z)dv, f(x,y, z) f(x,y,z)dV 1f(x,y, z)f (x, y, z) f(x, y,z)0,關于xoz或yoz平面對稱時，也有類似的結果. 輪換對稱性2 2為：x yf (x, y, z)dvz2 R2，(或 x 0, y 0, z 0) f (y,x, z)dv f (z, y,x)dv格林公式 設函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及其一階偏導數(shù)在閉區(qū)域 D上連續(xù)，則Q P - Pdx Qdy ()dxdyLd x y其中L是D的邊界曲線且取正向。注：P,Q及其一階偏導數(shù)要求連續(xù)， L封閉且取正向(沿 L前進時域D總在左手邊)。注：P

9、,Q,R及其一階偏導數(shù)要求連續(xù), 應取外側。P(x3、高斯公式 設P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在閉區(qū)域 上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則Pdydz Qdzdx RdxdyQ R )dxdydz y z其中是閉域的邊界曲面的外側。4、斯托克斯公式設P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面所張成的空間域內有一階連續(xù)的偏導數(shù)，L為曲面的邊界曲線,l Pdx Qdy Rdz則dydzdzdxdxdy=rotF ndSxyzPQR其中曲線L的方向與曲面所取側的法線方向滿足右手法則5、平面曲線積分與路徑無關的四個等價條件設函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域

10、D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則1) l Pdx Qdy與路徑無關Q P2) , (x,y) Dx y3) 巳Pdx Qdy 0, L為任一簡單分段光滑圭寸閉曲線4)u(x,y)(x,y)(xo，yo)PdxQdy6、第一類積分的對稱性(1)第一類曲線積分具有對稱性：1)設L關于x=0對稱，則L f (x, y)dsLi是L的右半部分0,f關于x奇2)設L關于y=0對稱，則L f (x,y)ds2 L f(x,y)ds, f關于 x偶2f(x,y)ds, f關于 y偶L1Li是L的上半部分3)輪換對稱性：若x與y互換，L不變，則L f (x,y)ds L f (y,x)ds(2)第一類曲面積分具有對

11、稱性：Qf關于x奇設工關于 x=0 對稱，則f(x,y,z)dS2 f(x,y,z)dS f關于 x偶1工1是工的x 0部分類似地有關于y=0,z=0的對稱性情形 輪換對稱性：若x，y，z互換，工不變，則f(x,y,z)dS f(y,x,z)dS f (z, y,x)dS四、典型題型與例題題型一、三重積分的計算f (x, y, z)dxdydz為三次積分，其 中為 z x2 2y2 及 z 2 x2所圍成的閉區(qū)域存在函數(shù) u(x,y), (x,y) D,使 du(x,y)=Pdx+Qdy,且例2、計算 zdxdydz，其中為三個坐標面及平面x y z 1所圍成的閉區(qū)域.例3*、計算I (x2

12、y2)dV，其中 為平面曲線y 2Z繞z軸旋轉一周x 0形成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域。例4計算I. x2 y2dV ,其中 是由圓柱面x2 (y 1)2 1,旋轉拋物面8z x2 y2,以及平面z 0所圍成的區(qū)域。例5、計算 I(x2 y2)dxdydz，其中 是x2寸 z2與z a(a 0)所圍的立體例6計算 (x y z)2dxdydz，其中 是由z x2 y2和x2 y2 z22所圍空間閉區(qū)域。例7*、設密度為1的立體 由不等式.x2 y2 z 1表示，試求 繞直線x=y=z 的轉動慣量分析點Mo(X0,yo,Z0)到直線l : - X1 - yi - Z1的距離為lmnijklm

13、nxo Xi yo yi zo ziJl2 m2 n2解質點m對直線L的轉動慣量為md2，d是質點到L的距離. 上任意點(x,y,z)到直線L的距離的平方d2i j k1 1 1x y z3扣y)2(x z)2 (y x)2所求轉動慣量為2(y x) dv2/ 222、.2(yz3(xyz )dv32z 222、21(xyz )dvdz330D(z21 2z2 213dz0 0d (0 'r z)rdr5 .1 2 2 I -(y z) (z x)zx xy)dv(x2 y2 z2)dxdy,D(z): x2 y2 z2例8、設f(u)具有連續(xù)的導數(shù)，f(0)=0,求limt 01t7

14、f( X2 y2 z2)dV, : x2 y2t2.題型二、對弧長的曲線積分的計算方法重要提示：計算線面積分之前，應盡可能把曲線、曲面方程先代入被積函數(shù) 進行化簡，但轉化為格林公式或高斯公式后，卻不能再代入計算！:2 2例 9、計算y ds,其中 L: x2 y22yLx (y 1)例10*、設曲線是球面x2 y2 z22(x y )dS .1與平面x+y+z=1的交線，試求積分例11、2(x y )dSz's f dS 3 2 , |計算x2dS,C:Cx2R208 L f (x, y,z)ds，求1與x y z 0的交線。例12、已知連續(xù)函數(shù)f (x, y,z) 2x2 y2 z:

15、l f (x, y, z)ds，其中 L 為 x2 y2 z2題型三、對坐標的曲線積分的計算方法例13、 計算 (xy 1)dx 2x y dy,其中L是曲線4x y24Lx y2例14、計算曾上從A(1,0)到B(0,2)的一段弧。ydx,其中L是以(1,0)為中心，半徑為R(>0,R 1)的正向圓周。 y比較*( 07-1)：設曲線L: f(x,y) 1過第二象限點M和第四象限N， 是L上 從M到N的一段弧，則下列積分小于0的是B A f (x, y)dx， B f (x, y) dy， C f (x, y)ds， D df (x, y)例15、（04數(shù)1）計算Lxdy 2ydx,其

16、中L為正向圓周x2 y2 2在第一象限的 部分。例 16、 計算 2 y 2 dx 2x 2dy,其中 L 為自點 A(-1,0)沿 y x21 至 B(2,3)L x y x y的弧段。例17、（格林公式）計算1匚ydx V 冒,其中:C （x 1） y1）C為圓周x2 y2 2y 0 ,且取正向2）C為橢周4x2 y2 8x 0 ,且取正向例18、（逆問題）已知曲線積分2（xdy ydx） A（常數(shù)），其中（x）是L （x） y非負可導函數(shù)且（1）1, L是繞原點（0,0）周的任意正向閉曲線，試求出（x）及A.例19*、(逆問題)設x>0時f(x)連續(xù)可微，且f(1)=2,對右半平面

17、(x>0)內任意閉曲 線 C 有-4x3ydx xf(x)dy0.1)求 f(x);C2)計算 IL4x3ydx xf (x)dy,其中 L 是由 A(1,0)到 B(2,3)的一段弧3解1)由題設，得上皿上4xf(x) f(x) 4x3xy1 2f (x) f (x) 4x2x1由 f (1)2.解得 f (x) x3-x2)因積分與路徑無關，選取沿A C B路徑34I -(2 1)dy 51AC CB 0'' 3例20*、已知(1)0, (1)0，試確定(x)使方程3x22 (x)ydx x2 (x) sin ydy 0C1et成為全微分方程，并求上述方程滿足初始條件

18、y(1)-的特解.設特解為*Ae3tA 10C1etC2e2t3 3te10即有(x)C1x3 3一 x10由(1)0,(1)0，得 G 丄,C22/、 11 13 3(x)- x2x25 x10故解P3x22(x)yQx2(x) sin y，由QP3x2 2(x)2x (x)x2(x)，xy即2 x(x)2x(x)2 (x)3x3.令xte，則d(d1)2d 23e3t，即dtdtdt23e3t對應齊次方程組的通解為例21*、(空間曲線積分)計算空間曲線積分I *(y z)dx (z x)dy (x y)dz其中L為x2 y2 a2與平面1(a 0,h 0)的交線，從z軸正向往z軸負 a h

19、向看去，曲線L是逆時針方向。題型四、對面積的曲面積分的計算例2225所截得的部分計算 (x y z)dS,工為平面y z 5被柱面x2例23計算曲面積分I (ax by cz d)2dS，其中 為球面: x2 y2 z2 R2.例 24*、的質量.解設有曲面:x2y2z22x,它的面密度為(x,y)z2,求它x于是:(x 1)2 m (x21 (xx 1 z2y2y1)z2z2)dS1,1為 在第一卦限部分，則4,(x 1)(二)2x(x22y(二)2y2 2、y z )dS1,y 0.丄2z4 2xdS1D1 1 (x 1)2 y2dxdy4 2x、1( z)2( z)2dxdy =8a ，

20、 x yDi (x,y)y0,(x 1)2 y2。，令 x 1 r cos , y rsin 得m 8 d IrC0Srdr 800：,2rx'1 r=8 (L) 0 8 .注：注意的取值！r.1 r2dr0cos d1 r 2dr721題型五、對坐標的曲面積分的計算方法2例25、計算ax±=罟，其中為下半球面z.a2x2y2 的上側，a為大于0的常數(shù)例26、計算I ydydz xdzdx z2dxdy，其中 是錐面z . x2 y2被平面z=1和z=2所截出部分的外側。例 27 計算 I : : xdydz ydzdx zdxdy，其中(x2 y2 z2)21) 是球面：x

21、2 y2 z2 R2外側，2) 是不含原點在其內部的光滑閉曲:(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 1外側,3) 是含原點在其內部的光滑閉曲面：2x2 3y2 4z21外側例28*設對于半空間x>0內任意的光滑有向封閉曲面 S，都有2 x：xf(x)dydz xyf(x)dzdx e zdxdy 0,S其中函數(shù)f(x)在(0,+ )內具有連續(xù)的一階導數(shù)，且lim f (x)1.求f(x).x 0解由題設和高斯公式得2x0. xf (x)dydz xyf (x)dzdx e zdxdyS(xf (x) f (x) xf (x) e2x)dV，例 29、計算以 zdx xdy ydz ,

22、:x y z 1被三坐標面所截成的三角形的整其中 為S圍成的有界閉區(qū)域，號對應曲面取外側或內側。由S的任意性,知xf(x)f (x) xf (x) e2x 0, x0.即 f (x)1(-1)f(x) <6x2 8y2在點P0處沿方向n的方向導數(shù).e2x，x0xx這是一'階線性非齊次微分方程，其通解為1(1 bdx 1 2xf(x) e x e e(丄x1)dxdx CxeX(eC).xx由于lim2xxf (x) lim 一 1,故必有 lim (e2xCe )0，即 C+1=0,從而x 0x 0xx 0xC= -1. 因此有f(x) (ex 1).x解F(x,y,z)= 2x23y2z