從2014四川省部分地區(qū)高三一診數(shù)學(xué)壓軸題探討高等數(shù)學(xué)知識(shí)在高考中的應(yīng)用

1、從2014四川省部分地區(qū)高三一診數(shù)學(xué)壓軸題探討高等數(shù)學(xué)知識(shí)在高考中的應(yīng)用【高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景】（一）羅爾中值定理【定理描述】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得?！径ɡ碜C明】證明：在閉區(qū)間上連續(xù)，則必有：存在。若，則，為常數(shù)函數(shù)，則內(nèi)任意一點(diǎn)都可以作為，使得成立；若，由知，和中至少有一個(gè)在內(nèi)某點(diǎn)取得，不妨設(shè)。在開區(qū)間上可導(dǎo)，則在的極限存在，即：為上的最大值，所以必有。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.（二）柯西中值定理【定理描述】若函數(shù)、滿足：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；（2）在， 。則：至少存在一點(diǎn)使得?！径ɡ碜C明】作輔助函數(shù)：易知在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，即滿足羅爾定理

2、的條件。在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即：即。（三）拉格朗日中值定理【定理描述】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)使得?！径ɡ碜C明】證明：由柯西中值定理：函數(shù)、滿足：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；（2）在， 。至少存在一點(diǎn)使得。即：。（四）函數(shù)的凹凸性1、凹凸函數(shù)的幾何特征Ø 幾何特征一：（形狀特征） （凹函數(shù)） （凸函數(shù)） 如圖，設(shè)是凹函數(shù)曲線上兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，則，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)于，交于B，凹函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的部分位于弦的下方;凸函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的部分位于弦的上方。簡(jiǎn)記為：形狀凹下凸上。Ø 幾何特征

3、二：（切線斜率特征）（凹函數(shù)） （凸函數(shù)）設(shè)是函數(shù)曲線上兩點(diǎn)，函數(shù)曲線與之間任一點(diǎn)處切線的斜率：凹函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率隨增大而增大；:凸函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率隨增大而減??；簡(jiǎn)記為：斜率凹增凸減。Ø 幾何特征三：（增量特征）（凹函數(shù)） （凸函數(shù)） （凹函數(shù)） （凸函數(shù)）設(shè)函數(shù)為凹函數(shù)，函數(shù)為凸函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，由第二排的圖可知，當(dāng)自變量逐次增加一個(gè)單位增量時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)增量越來越大；函數(shù)的相應(yīng)增量越來越??；由此，對(duì)的每一個(gè)單位增量，函數(shù)的對(duì)應(yīng)增量，凹函數(shù)的增量特征是：越來越大；凸函數(shù)的增量特征是：越來越??；簡(jiǎn)記為：增量凹大凸小。2、凹凸函數(shù)的幾種常見性質(zhì)：

4、設(shè)是定義在上的函數(shù)：Ø 性質(zhì)1：在內(nèi)連續(xù)，若，成立為凸函數(shù)；成立為凹函數(shù)；Ø 性質(zhì)2：，為凸函數(shù)；若當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，則嚴(yán)格上凸；為凹函數(shù)；若當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，則嚴(yán)格下凹；Ø 性質(zhì)3：若在內(nèi)可導(dǎo)，：為凸函數(shù)；為凹函數(shù)；Ø 性質(zhì)4：若在內(nèi)可導(dǎo)：?jiǎn)握{(diào)遞增為凸函數(shù)；單調(diào)遞減為凹函數(shù)；Ø 性質(zhì)5：若在內(nèi)二階可導(dǎo)：為凸函數(shù)；為凹函數(shù)；Ø 性質(zhì)6：設(shè)，若的圖形在上是凸的，則若的圖形在上是凹的，則幾何意義：如圖所示，在弧AB上任取兩點(diǎn)，其中，若的圖形在上是凸的（或凹的），則弦斜率小于（大于）過點(diǎn)的切線斜率，大于（小于）過點(diǎn)的切線斜率，即弦MN斜率的

5、大小總是在過兩端點(diǎn)的切線的斜率之間。Ø 性質(zhì)7：設(shè)（1）若的圖形在上是凸的，則（2）若的圖形在上是凹的，則幾何意義：如圖所示，在弧上任取3點(diǎn)，其中。當(dāng)?shù)膱D形在上是凸的(凹的)時(shí)，弦的斜率大于(小于)弦的斜率琴生（Jenson）不等式若函數(shù)在區(qū)間I 是凸的，則有不等式 其中下面推導(dǎo)一個(gè)關(guān)于凸函數(shù)的直接不等式，設(shè)為凸函數(shù)，為上的任一弦，設(shè)，不妨設(shè) ，則直線 的方程為 從而由上所述凸函數(shù)幾何性質(zhì)有 【2014成都一診壓軸題理】已知函數(shù)，.（1） 若，求曲線在處的切線方程（2） 若對(duì)任意，都有恒成立，求的最小值；（3） 設(shè)。若為曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足，且，使得曲線在處的切線與直線平行，求證

6、：【標(biāo)準(zhǔn)解答】【高數(shù)解答】 不難看出本題第三問的題設(shè)部分正好是拉格朗日中值定理的描述。本題結(jié)論形似函數(shù)凹凸性，利用函數(shù)凹凸性及定積分的幾何意義求解本題會(huì)有意想不到的效果?！?014眉山一診壓軸題理】已知函數(shù)，.（1） 若直線與的反函數(shù)相切，求實(shí)數(shù)的值；（2） 設(shè)，討論曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3） 設(shè)，比較與的大小，并說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】解:(1) f (x)的反函數(shù). 設(shè)直線y=kx+1與相切與點(diǎn) .所以 4分(2) 當(dāng) x > 0,m > 0 時(shí), 曲線y=f (x) 與曲線 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù). 5分由, 則 h(x)在 h(x) 6分所以對(duì)曲線y=f (x) 與

7、曲線 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論如下: 當(dāng)m 時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m= ,有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m 有2個(gè)公共點(diǎn); 8分(3) 設(shè) 9分令. ,且 . 12分 所以【高數(shù)解法】分析：易知與函數(shù)的凹凸性有密切關(guān)系，與拉格朗日定理有密切關(guān)系，因此可參考【成都一診壓軸題】解法求解?！?014綿陽一診壓軸題理】已知函數(shù)（I）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求的值；（II）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（III）如果函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：.解：（I）， 于是由題知1-a=2，解得a=-1 ，于是1=2×0+b，解得b=14分（II）由題意即恒成立， 恒成立設(shè)，則x(-，0)0(0，+)-0

8、+h(x)減函數(shù)極小值增函數(shù) h(x)min=h(0)=1， a<19分（III）由已知， x1，x2是函數(shù)g(x)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)x1<x2）， a>0（若a0時(shí)，即g(x)是R上的增函數(shù)，與已知矛盾），且， ，兩式相減得：，于是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證(x1-x2)>，即證(x1-x2)->0，令x1-x2=t，t<0即證不等式當(dāng)t<0時(shí)恒成立設(shè)， 由(II)知，即， (t)<0， (t)在t<0時(shí)是減函數(shù) (t)在t=0處取得極小值(0)=0 (t)>0，得證 14分【2014資陽一診壓軸題理】已知函數(shù)（）

9、.（）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，求證：（其中是的導(dǎo)函數(shù)）【解】（）當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，則切線方程為，即.2分（），則，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在處取得極大值.4分又，則，在上的最小值是.6分在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8分（）的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，方程的兩個(gè)根為，則兩式相減得.又，則.10分下證（*），即證明，即證明在上恒成立.12分，又，在上是增函數(shù)，則，從而知，故（*）式0，即成立.14分【2014資陽一診壓軸題文】已知函數(shù)（）.（）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（

10、）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若對(duì)區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解】（）當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，則切線方程為，即.2分（），則，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在處取得極大值.4分又，則，在上的最小值是.6分在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8分（）解法1：不妨設(shè)，恒成立等價(jià)于，即.10分 令，由具有任意性知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，恒成立，即恒成立，12分，在上恒成立.令，則，13分在上單調(diào)遞增，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是.14分解法2：由不等式可知，函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)任一割線的斜率都小于2，如圖所示.由于對(duì)區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)，都存在割線平行于過點(diǎn)的切線，而斜率小于2，所以點(diǎn)的切線斜率也小