高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.5 夾角的計算訓(xùn)練案 北師大版選修21

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 52.52.5 夾角的計算夾角的計算a.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知向量m m，n n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若 cosm m，n n22，則l與所成的角為()a30b45c135d150解析：選 b.因為 cosm m，n n22，所以m m，n n135，故l與所成的角為45.2設(shè)abcd，abef都是邊長為 1 的正方形，fa平面abcd，則異面直線ac與bf所成的角等于()a45b30c90d60解析：選 d.設(shè)ada a，

3、abb b，afc c，|a a|b b|c c|1.acabada ab b，bfbaafb bc c.acbf(a ab b)(c cb b)b b2|ac|bf|cosac，bf 所以 cosac，bf12，故ac與bf所成的角為 60.3正四棱錐sabcd中，saab2，則直線ac與平面sbc所成角的正弦值為()a.36b.66c.33d.63解析：選 c.設(shè)平面abcd的中心為o，以oa，ob，os為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，a( 2，0，0)，c( 2，0，0)，s(0，0， 2)，b(0， 2，0)，sb(0， 2， 2)，bc( 2， 2，0)，ac(2 2，0，0)，設(shè)n

4、n(x，y，z)為平面sbc的法向量，由n nsb，n nbc得yzx，可取n n(1，1，1)，cosac，n nacn n|ac|n n|33.故ac與平面sbc所成角的正弦值為|cosac，n n|33.4已知正三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則ab1與側(cè)面acc1a1所成角的正弦值等于()a.64b.104c.22d.32解析：選 a.取ac中點為d，連接bd，得bd為平面acc1a1的法向量，設(shè)aba a，acb b，aa1c c，則ab1abbb1a ac c，bdbaada a12b b，cosab1，bdab1bd|ab1|bd|64，6 e d b c 3 1

5、 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f

6、 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5故ab1與平面acc1a1所成角的正弦值為|cosab1，bd|64.5 已知三條射線pa，pb，pc的兩兩夾角都是 60， 則二面角apbc的余弦值為()a.13b.63c.32d.33解析：選 a.在pa、pb、pc上取點d、e、f使得pdpepf，可知三棱錐dpef為正四面體，取pe中點h，連接dh，fh，得dhf為二面角apbc的平面角，設(shè)pfa a，peb b，pdc c，則hdhppd12b bc c，hfhppf12b ba a，coshd，

7、hfhdhf|hd|hf|13.6在空間中，已知二面角l的大小為23，n n1 1，n n2 2分別是平面，的法向量，則n n1 1，n n2 2的大小為_解析：因二面角l的大小是它們兩個半平面的法向量夾角或夾角的補角當(dāng)二面角l的大小為23時，則n n1，n n2的大小為23或23.答案：3或237如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為 2，m，n分別是c1d1，cc1的中點，則直線b1n與平面bdm所成角的正弦值為_解析：建立如圖坐標(biāo)系，d(0，0，0)，b(2，2，0)，b1(2，2，2)，m(0，1，2)，n(0，2，1)，db(2，2，0)，dm(0，1，2)，b1n(2，0，1

8、)，設(shè)n n(x，y，z)為平面bdm的法向量，由n ndb0，n ndm0，得yx2z，可令n n(2，2，1)，cosn n，b1nnb1n|n n|b1n|53，故b1n與平面bdm所成角的正弦值為|cosn n，b1n|53.答案：538.已知三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱與底面垂直，體積為94，底面是邊長為 3的正三角形若p為底面a1b1c1的中心，則pa與平面abc所6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3

9、 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5成角的大小為_解析：法一：34( 3)2aa194，

10、得aa1 3.易得apa1是pa與平面abc所成角，a1p2332 31，tanapa1aa1a1p31 3，故apa13.法二：令a1c1a a，a1b1b b，a1ac c，則|a a|b b|c c| 3，pa1a1p13(a ab b)，papa1a1a13a a13b bc c，|pa1|pa1pa11，|pa|papa2，cospa1，papa1pa|pa1|pa|12，故pa與平面abc所成角的大小為3.答案：39.在三棱柱abca1b1c1中，a1a底面abc，acb90，aa1acbc2，d為ab中點(1)求證：bc1平面a1cd；(2)求直線aa1與平面a1cd所成角的正弦

11、值解：(1)證明：連接ac1交a1c于o點，則do為abc1的中位線，故dobc1，又do平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)以ca，cb，cc1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則a(2，0，0)，a1(2，0， 2)，d(1， 1， 0)， 設(shè)平面a1dc的法向量為n n(x，y，z)， 由n ncd0，n na1d0，得xy0，xy2z0，令x1 得n n(1，1，1)設(shè)直線aa1與平面a1cd所成角為，則 sin|cosaa1，n n|22 3|33.10如圖，已知四邊形abcd是邊長為 1 的正方形，af平面abcd，ce平面abcd.(1)證明

12、：bdef；(2)若af1，且二面角befc的大小為 30，求ce的長解：(1)證明：連接ac，因為af平面abcd，ce平面abcd.所以afce，所以四邊形acef在同一平面內(nèi)，因為af平面abcd，所以afbd，又因為abcd為正方形，所以acbd，因為afaca，所以bd平面acef，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5

13、 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所以bdef.(2)以點a為坐標(biāo)原點，分別以ab，ad，af所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)cea，則b(1，0，0)，

14、f(0，0，1)，e(1，1，a)所以bf(1，0，1)，be(0，1，a)設(shè)平面bef的一個法向量為m m(x，y，1)，得到m mbf（x，y，1）（1，0，1）0，m mbe（x，y，1）（0，1，a）0，所以m m(1，a，1)由(1)知平面cef的一個法向量是db(1，1，0)，所以|cosdb，m m|a1|2a22cos 3032.所以a2，即ce2.b.能力提升1 在正四棱錐pabcd中，pa2， 直線pa與平面abcd所成角為 60，e為pc的中點，則異面直線pa與be所成角為()a90b60c45d30解析：選 c.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則pao60，所以op 3，

15、oa1，ab 2，p(0，0， 3)，a(22，22，0)，b(22，22，0)，c(22，22，0)，e(24，24，32)，ap(22，22， 3)，be(3 24，24，32)，cosap，be22 222，所以ap，be45，即異面直線pa與be所成角為 45.2.如圖所示，sa底面abc，abbc，de垂直平分sc，且分別交ac，sc于d，e，又saab，sbbc，則以bd為棱，以bde與bdc為面的平面角的度數(shù)為()a90b30c60d45解析：選 c.以a為原點，以ac所在直線為y軸，以as所在直線為z軸，以和as，ac都垂直的直線af為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)sa1，因為sa

16、平面abc，所以as是平面abc的一個法向量6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2

17、3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5因為saab1，sbsa2ab2 2，又sbbc，所以bc 2，所以ac 3.因為de垂直平分sc，所以e為sc的中點，又sbc是等腰三角形，所以besc，所以sc平面edb，所以es是平面ebd的一個法向量由題設(shè)知s(0，0，1)，e0，32，12 .所以as(0，0，1)(0，0，0)(0，0，1)，es(0，0，1)0，32，12 0，32，12 ，所以esas12，|es|023

18、221221，|as| 0202121，所以 coses，asesas|es|as|121112，所以es，as60.兩法向量所成角或其補角為兩平面所成角，所以平面bde與平面bdc所成的角為 60.3空間四邊形oabc中，oboc，aobaoc3，則 cosoa，bc的值是_解析：設(shè)oaa a，obb b，occ c，則a a，b ba a，c c3，|b b|c c|.cosoa，bcoabc|oa|bc|a a（c cb b）|oa|bc|a ac ca ab b|a a|c cb b|0.答案：04把正方形abcd沿對角線ac折起，當(dāng)以a，b，c，d四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線b

19、d和平面abc所成的角的大小為_解析：當(dāng)vdabc最大時，平面dac平面abc.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e

20、d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5設(shè)ac的中點為o，連接od，ob，建立坐標(biāo)系，設(shè)|ab|a，b(22a，0，0)，d(0，0，22a)，od(0，0，22a)，bd(22a，0，22a)，知od為平面abc的法向量，cosod，bdodbd|od|bd|22，故od，bd45.答案：455.如圖，在四棱錐pabcd中，pc底面abcd，底面abcd為直角梯形，abad，abcd，ab

21、2ad2cd2，e是pb的中點(1)求證：平面eac平面pbc；(2)若平面pac與平面eac夾角的余弦值為63，求直線pa與平面eac夾角的正弦值解：(1)證明：因為pc平面abcd，ac平面abcd，所以acpc，因為ab2，adcd1，所以acbc 2，所以ac2bc2ab2，所以acbc，又bcpcc，所以ac平面pbc，因為ac平面eac，所以平面eac平面pbc.(2)以c為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則c(0，0，0)，a(1，1，0)，b(1，1，0)設(shè)p(0，0，a)(a0)，則e(12，12，a2)，ca(1，1，0)，cp(0，0，a)，ce(12，12，a2)，取

22、m m(1，1，0)，則m mcpm mca0，所以m m為平面pac的法向量設(shè)n n(x，y，z)為平面eac的法向量，則n ncan nce0，即xy0，xyaz0，取xa，ya，z2，則n n(a，a，2)，依題意，|cosm m，n n|m mn n|m m|n n|aa2263，則a2.于是n n(2，2，2)，設(shè)直線pa與平面eac的夾角為，則 sin|cospa，n n|pan n|pa|n n|23，即直線pa與平面eac夾角的正弦值為23.6.(選做題)如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd2a，ad 2a，點e是sd上的點，且dea(02)(1)求證：對任意的(0，2，都有acbe；(2)設(shè)二面角caed的大小為，直線be與平面abcd所成的角為，若 tantan1，求的值解：(1)證明：以d為原點，da，dc，ds的方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d(0，0，0)，a(