高等數(shù)學(xué)：第十二章 習(xí)題課

1、1第十二章第十二章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)2. 2. 熟練掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法熟練掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法以以 及交錯級數(shù)的萊布尼茲定理及交錯級數(shù)的萊布尼茲定理 1. 1. 掌握級數(shù)收斂與發(fā)散的概念和性質(zhì)掌握級數(shù)收斂與發(fā)散的概念和性質(zhì)3. 3. 知道函數(shù)項級數(shù)的收斂及和函數(shù)的概念知道函數(shù)項級數(shù)的收斂及和函數(shù)的概念4. 4. 熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域的求法域的求法.5. 5. 知道函數(shù)的泰勒級數(shù)及函數(shù)泰勒級數(shù)收斂到該知道函數(shù)的泰勒級數(shù)及函數(shù)泰勒級數(shù)收斂到該函數(shù)的充要條件函數(shù)的充要條件26. 6. 熟練掌握常見函數(shù)的麥

2、克勞林級數(shù)的展開式及其熟練掌握常見函數(shù)的麥克勞林級數(shù)的展開式及其收斂域，并能夠應(yīng)用這些函數(shù)的展開式將其它函數(shù)收斂域，并能夠應(yīng)用這些函數(shù)的展開式將其它函數(shù)間接地展開成冪級數(shù)，會借助于這些函數(shù)的展開式間接地展開成冪級數(shù)，會借助于這些函數(shù)的展開式求某些冪級數(shù)的和函數(shù)以及相關(guān)級數(shù)的和。求某些冪級數(shù)的和函數(shù)以及相關(guān)級數(shù)的和。7. 7. 熟練掌握傅里葉級數(shù)的收斂定理，并能夠準確寫熟練掌握傅里葉級數(shù)的收斂定理，并能夠準確寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，會將出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)，會將定義在各種區(qū)間類型定義在各種區(qū)間類型上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。3 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項級數(shù)、

3、常數(shù)項級數(shù) niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散4性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級

4、數(shù)的基本性質(zhì)5常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當當 nun一般項級數(shù)一般項級數(shù)4.絕對收斂絕對收斂6定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns2 2、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散

5、) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .7(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當 l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;8設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效

6、.設(shè)設(shè) 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 , ,則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; ;1 時失效時失效. .9定義定義 正正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法10定義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂

7、; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法115 5、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,12則稱則稱0 x為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點收斂點, ,

8、否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù))(1xunn 的所有收斂點的全體稱為的所有收斂點的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)13(1) (1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).,00時時當當 x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6 6、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 014定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )(2) (2) 收斂性收斂性15如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸

9、軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當當Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當當RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論16定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當當0 時

10、時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;17a.a.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算18乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)19b.b.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)的分析運算性質(zhì): :

11、冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項求導(dǎo)任意次并可逐項求導(dǎo)任意次.207 7、冪級數(shù)展開式、冪級數(shù)展開式nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).(1) 定義定義21定理定理 )(xf在點

12、在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .22(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnn

13、n 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.23),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式24)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x

14、 nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x25(1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數(shù)在任意兩個不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系8 8、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)26 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數(shù)三角級數(shù)27其

15、中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數(shù)稱為傅里葉級數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa28(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個個周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1)

16、當當x是是)(xf的連續(xù)點時的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于)(xf;(2) 當當x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;29 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù).(4) (4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當當周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數(shù)數(shù)時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann30 當周期為當周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù).31奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓32