線性代數(shù)之行列式的性質(zhì)及其計(jì)算

1、.第二節(jié)行列式的性質(zhì)與計(jì)算§ 2.1行列式的性質(zhì)考慮Dana21La12a22Lan2LLLLa1na2nL將它的行依次變?yōu)橄鄳?yīng)的列，得Dtanai2La21a22La1 na2nLLLLan1an2L稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等(DT事實(shí)上，若記dtgb12b21b22L L L Lbn1bn2LLLLDT( 1)(P1P2Lbnpbmb2nLbnn(1)(P1P2L “玄心?？ apnnD則 bijaji (i, j 1,2,l ,n)說(shuō)明：行列式中行與列具有同等的地位，因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的結(jié)論對(duì)列也同樣成立.性質(zhì)2互換行列式的兩行rj）或兩

2、列（q Cj），行列式變號(hào).12 3123例如0 8 63513510 8 6(ri推論 若行列式D有兩行（列）完全相同，則DO.證明：互換相同的兩行,則有D D,所以D 0.性質(zhì)3行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù) k，等于數(shù)k乘以此行列式，即anLkai1La12Lkai2Lan1an2nnLLLLL推論：（1） D中某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式符號(hào)的外面;（2） D中某一行（列）所有元素為零，貝U DO ;性質(zhì)4:行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式等于零.性質(zhì)5:若行列式某一行（列）的所有元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和.這兩個(gè)行列式的這一行

3、（列）的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行元素與原行列式相同即a11a12La1nLLLLai1 bi1ai2bi2LainbnLLLLan1an2Lann證：由行列式定義D （ 1）（PlP2L Pn）a1pia2p2L 佝ana12La1na11a12La1nLLLLLLLLai1ai2Lainbi1b2LbinLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lannba)LanPn(P1P2LPn)al p, a2 P2 L biPi LanR -anPn( 1)Pi 2P2aiPiL性質(zhì)6行列式D的某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)k加到另一行（列）的相應(yīng)元素上，行列式的值不變（D

4、D），即計(jì)算行列式常用方法：利用性質(zhì)2,3,6,特別是性質(zhì)6把行列式化為上（下）三角形a11a12La1na11a12La1nLLLLriLLLLai1ai2Lainai1 kaj1ai2 kaj2LainkajnLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lann行列式，從而，較容易的計(jì)算行列式的值.例1:計(jì)算行列式232123(1)D32304212解：r1r223(1)D320443111213114(2)11315111332123224r221018834331108622504254ri266661111111113111311ri m02006611311131i 2,3,4

5、00201113111300026 (1 2 2 2)48.D1a-i11L1r1a1a20L0Dna10a3L0i 2,3,L nMMMMMa100Lan1n丄1C1 a_c1i 2aa?a3Lan0i 2,3,L ,nL0解：1L1a2L0LLL0Lana?a3Lan11L10a2L0a1LLLL00Lan11L11 a2 L 0 (箭形行列式)L L L L10 L anaL an(1a&L an(112321232r430 r30188018858 300586200586214300303700029382r44(11431( 1)58 刃 286.ri此方法稱為歸邊法.例2

6、:計(jì)算n階行列式1a11L1xaLa11 a2L1DnaxLaLLLLLLLL11L1anaaLx(1)Dn(a 0,i 1,2,L,n)(2)注意到行列式各行元素之和等于x (n 1)a,有x(n1)aaLa1aLac1 cx(n1)axLa1xLaDnLLLx (n 1)aLLLLi 2,3,L ,nLx(n1)aaLx1aLxXi 2,3,L ,n(n1)aL°a°Lx an 1X (n 1)a(x a)例3:設(shè)Daii LMak1 Lc11LMa1kM°akkc1kbnLb1nMMMCnkbn1Lbnna11La1kbnLb1nD1MM,D2MMak1La

7、kkbn1Lbnn證明：DD1D2.證：對(duì)D1作行運(yùn)算rikrj,把D1化為下三角形行列式P11°D1 MOP11LPkk；Pk1 LPkk對(duì)D2作列運(yùn)算Ci kCj把D2化為下三角形行列式qi1D2M O qn1 L°Pnkq11 L qnn .kCj,把D化為先對(duì)D的前kk行作行運(yùn)算ri krj ,然后對(duì)D的后n列作列運(yùn)算q下三角形行列式:P11MO°DPk1LpkkC11LC1kqnMMMOCn1LCnkqn1L q故，DP11L PkkqnL qnnd1d2.思考練習(xí)1.計(jì)算行列式2512a11a12Lan3714a2 1a22La2nDn5927MMMM

8、4612an1an2LannD(n2)abbccaabcaibib1C1cla12a1b1Ga2b2b2C2qa2a2b2C22.證明3.證明abacaebdcddebfcfef4abcdef2 ab22 cd2(a (b (c(d1)21)21)21)2(a (b (c (d2)22)22)22)2(a (b (c (d3)23)23)23)24.計(jì)算行列式2a3a2b4a3b2c3a6a3b10a6b3c答案152215221522c1c31734r2 r1,r3 2r10216r2 r30113(1)D42957r4r1011302161642012001201Dn i1522152 2

9、3 2r2011343011 3r4r20030003 00033000 3a111Ln1c c1a211Ln1qa2,1n2,3,L ,nMMMM3)c3 c2aanb1b1 Lcnc1ac2 ciabcacaa1b1biciciaiaibiciaiC1aia2b2b2c2c2a2a2b2C2a2C2a2bca2cabcaCbic1ai2ci2aibiciaiCib2C2a22qa2b2C2a2C20,n2.左邊=aaia2C2 C3abacq C2bacCiqabc2aibiaiCi2biaiCi2aibiCia2b2a2C2b2a2c2a2b2C2左邊i i ir2ri111r2r.11

10、1ii iabcdef002abcdef020>3 1iii020002abcdef4abcdef.(2)左邊2a 2a 1 4a 4 6a 9a2 2a 1 2 6b2 2b 1 4b 4 6b 9C3 2c 2b2 2b 1 2 62c 2c 1 4c 4 6c 9C4 3c 2C2 2c 1 2 6d2 2d 1 4d 4 6d 9d2 2d 1 2 6Ci qi 2,3,40右邊3.證4.解：從第4行開始，后行減前行得,abcd>4>3abcdabcd0aabab c0aa ba bc>4>30aa ba b c0a2ab3a2b c3>200a2a

11、b00a2a b0a3ab6a3b c00a3ab000aD§ 2.2 行列式按行(列)展開對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證:ai1ai2ai3a22a23a21a23a21a23a21a22a23aiiai2ai3a32a33a31a33a31a33a31a32a33可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算 .問(wèn)題：一個(gè)n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n1階行列式來(lái)計(jì)算?、余子式與代數(shù)余子式ai1ai2Laina2ia22La2n中，劃去元素aj所在的第i行和第j列，余下LLLLanian2Lann定義：在n階行列式D的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的n 1階行列式，稱為 元素aj的余子式，

12、記作Mj ；而a11ai2a13例如三階行列式a21a】22a23中元素a31a32a32兀素a23的代數(shù)余子式為A232 3(1) M231011四階行列式0251中元素x的代31x230301A （ 1）' jMj稱為元素aj的代數(shù)余子式a'j的余子式為M 23 a31a32M 231 1 1攵余子式為 民2( 1)3 2 05 150 0 1a11a12La1n定理 n階行列式Da21a22La2nLLLLan1an2Lann代數(shù)余子式的乘積之和,即Da'1Ai1a'2A或Da1j Aa2j證（1）=1=元糸a11位于第一行、第一列,a110L0此時(shí)Da2

13、1a22La2n(1嚴(yán)LLLLj11an1an2Lanna11(1) (j2L jn)a2j2Lanjna1 M11(j2jaLjn)而 A ( 1)11M11M11,故 Da11A11 ；anLa1 jLainMMMMM(2)D0La'jL0MMMMMan1LanjLann將D中第'行依衣次與前1行對(duì)調(diào)，調(diào)換、行列式按行（列）展開等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的2 L % An ('1,2,L , n)、2j L anjAnj (j 1,2,L ,n)而該行其余元素均為零；-jn)(ML jn)a1 j1 a2 j2 L anjn( Ua1j1a2j2 L a

14、njnj1 1'1次后位于第一行；將D中第j列依次與前j 1列對(duì)調(diào)，調(diào)換j 1次后位于第一列；經(jīng)(i 1) (j 1) i j 2次對(duì)調(diào)后，aj就位于第一行、第一列，即aiia12 La1na11ai1 0 Lan1an2Lannan1an2 Lai na11%La1nLLLLL0L00LainLLLLLannan1an2Lanna12 LL L L0ai2LL L LD (1)ij 2ajMi(1)i jaijMjaij一般地a11a12La1 nLLLLDai1 0 L0 0ai2L0L0L0anLLLLan1an2Lannai1 Ai1ai2 Ai2L 4n An冋理有 Da1j

15、Aja2j A2 jL anj Anjana12 La1n推論n階行列式Da21a22La2n的任意一行的各元素與另一行(列)對(duì)an1an2Lann應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即a Aai j Atai2As2 L ain Asn a2j A2t L anj Ant0(is)0(jt)a11Lan L% La1nD1a21La2j La2jLa2nMMM MM MMan1LanjLanjLa2ni列j列按第t列展a1 j A1ta2j A2tLanj Ant( jt).證考慮輔助行列式該行列式中有兩列對(duì)應(yīng)元素相等而D1 0，所以t) 0.關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)D,i j,0,i j;nai

16、k Ajkk 1D ijD昇其中j 0',：j，.在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)（n 1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或 某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義但展開定理在理論上是重要的.三、行列式的計(jì)算利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開，變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式計(jì)算行列式常用方法：化零，展開.例4:計(jì)算四階行列式11311222222111C3 C110

17、00按第2行展2 1r1 2D11146121146C4 2g3146r?(1)2172171217111100C2c1按第1行展1353521462135211224.C3q39039217239解:12510例5已知4階行列式302 2 D0753,求 M41M 42 M 43 M 44的值其中Mjj為a：j的余子式.解：（方法1）直接計(jì)算A4i（i 1,2,3, 4）的值，然后相加（略）（方法2）利用行列式的按列展開定理，簡(jiǎn)化計(jì)算M 41M 42M 43M 441A14A24A34A441 A411A42(1) A431 A4430403403402222722214111283428.

18、0700111002111111例6:計(jì)算n階行列式Xy0L00010L00XyL00002L0MMMMMM1DnMMMMM000LXy000Ln 1y00L0Xn00L0Dn按第1列展解：(1)Dna11A11 a21A21按第1列展 Dna11 A11Xy0L00y00L000XyL00Xy0L00MMMMMM1 y( 1)n 1MMMMMM000LXy000Ly0000L0X000LXyx( 1)11 ny .(1)n100M0n 1(1)n1 n!0 2 L0(1)n1 n M M MM0 0 L n 2ab00ab0aba b00aba b0ab00ab例7:計(jì)算四階行列式D4解：按第1行展開，有a ba b00a ba bD4 (a b)( 1)11a ba b0(a b)( 1)1 40a ba b00a ba b00對(duì)等式右端的兩個(gè)3階行列式都按第3行展開，得(a b)2(a b)2例8: 證明范得蒙行列式（Vandermonde11Lx,x2 LLLLn 1 n 1,x,x2L1XnLn 1Xn(x1 j i nXj)(n 2),其中（Xjxj）表示所有可能的（Xi Xj）（j i）的乘積.1 j